复变函数论

1. 复变函数论 主讲：王明华

2. 第一章 复数与复变函数 §1复数 §2复平面上的点集 1、平面点集的基本概念 1、复数域 2、 区域与曲线 2、复平面 3、复数的模与辐角 §3复变函数 4、复数的乘幂与方根 1、复变函数的概念 5、公轭复数 2、复变函数的极限 6、复数在集合上的应用 3、复变函数的连续性 4、复球面与无穷远点

3. 每个复数z具有x+iy的形状，其中x和y∈R ， 是虚数单位; x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作x=Rez,y=Imz。 第一章 复数与复变函数 §1复数 1、复数域： 复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么z称为一个虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。 。

4. C也可以看成平面 R2，我们称为复平面。 作映射： 则在复数集与平面R2之间建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。 2、复平面： 复数的四则运算定义为：设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

5. 表示复数z位置，也可以借助z极坐标 来表示。 这里使原点与直角坐标的原点重合，极轴与正实轴重合。 向量的长度称为复数的模 。 复数可以等同于平面中的向量，z=x+iy。 引进了复平面后，我们在“数”和“点”之间建立了联系。为了方便起见，今后我们不在区分“数”和“点”。 3、复数的模与辐角 、

6. 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

7. 那么z的全部辐角为 ， 注意1： 注意2： 当z=0时，辐角不确定，没有辐角。 辐角主值的定义：

9. 及 例1求 , ,复数可以表示成 利用直角坐标与极坐标的关系 . (1.6) 特别当r=1时有 ,这种复数称为单位复数. 利用Euler公式 (1.7) 解: ,

10. , 并且容易验证 我们利用(1.7)把(1.6)写成 (1.9) 即 ， 我们分别称(1.6)、(1.9)为非零复数的三角形式和指数形式. 利用 复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法： 设z1、z2是两个非零复数，则有 则有 其中后一个式子应理解为集合相等。

11. ， 同理，对除法，有 即 其后一个式子也应理解为集合相等。

12. , 4、复数的乘幂与方根 4．1 乘幂 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。 当r=1时，则得De Moivre公式：

13. ，设 设 ，则 ，因为 ， ，从而 ， ，故 为半径圆的内接正n边形的 注意：从几何上看, 个值就是以原点为中心， n个顶点。 4．2 开方 。

14. 例2：求 解：

15. 的公轭复数： 。 ， 例3.证明 证明： 5、公轭复数 注：

16. 1) 、连接z1和z2两点的线段: 过z1和z2两点的直线: Z1、z2和z3共线 (t为非零实数) 2)、以z0为心R为半径的圆: 或者 3)、实轴 虚轴 4)、射线 6、复数在集合上的应用 6.1 曲线的复方程 注:

17. 例4. 为等边三角形 为等边 即 ,平方得: , 6.2 用复数证明几何问题 证明:

18. 定义1:设有点Z1和Z2，则 为点Z1和Z2的距离,记为 定义2:以Z0为心， -领域,记为 为半径的圆 即为点Z0的 ,点集 定义3:设有点 • 若 含有 的无穷多点，则 为 的聚点 为 2) 若 的孤立点 ，但 不是 的聚点,即 不含 的点,则 注:聚点的其他三个等价定义 1、平面点集的基本概念 §2复平面上的点集 • 1.1 原始概念---------距离 • 1.2 基础概念---------领域 1.3 点与点集关系概念

19. 的内点 1) 若 为 ,则 2) 若 为 ,则 的外点 既有 3) 若 为 中点也有非 的点, 则 的边界点 全部边界点的集合,称为 的边界,记为 ，使得 定义5: 如果 ，则称E 是有界集，否则称E是无界集。 ,点集 定义4:设有点 注: 2、 区域与曲线 2.1 区域 定义6: 若E的所有点为内点的,则E为开集. 若E的所有聚点均属于E,则E为闭集. 定义7: 点集E，如果满足： （1）是开集； （2）E中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来， 而使这条折线上的点完全属于E。(或连通)

20. 则称E是一个区域。 区域E加上其边界C称为闭域。记为 。 例 上连续，则称集合 设已给 , 如果 和 都在闭区间 为一条连续曲线。 如果对 的端点，我们有 上任意不同两点t1及t2 ，但不同时是 2.2曲线 ，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条 简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。 定理1(若尔当定理)：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区 域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

21. 则称集合 为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。 光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上， 设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都 属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。 2.3 几个重要的定理 定理2: 有界无穷点集必有聚点 定理3: (闭集套定理) 定理4: 有界闭域存在有限覆盖

22. 1.1 定义：设E为一复数集，若对E内每一个复数z，有惟一确定的复数w与之对应， 则称在E上确定了一个单值函数 ，若对E内每一个复数z， 有几个或无穷个多个复数w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数 。E为函数 的定义域，对与E，w的全体所成集M称 为函数 的值域。 常写成 2： 1) 若 ，则 2) 若 ，则 §3复变函数 1、复变函数的概念 例： 单值函数 多值函数 注 1：若无声明，一般均指单值函数

23. 例1：将 写成z的一元函数。 解：因为 所以 例2：映射 ，试问它把 z 平面上的下列曲线分别映为w平面的何种曲线 1) 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧 2) 倾角 以及 ） 的直线（可以看成是两条射线 3) 双曲线 解：设 1.2 几何表示 则

24. 为： 1） ， 变成 ，即 的上半圆 2） ： ， 两射线变成 3）由 ，有 ，故 ，从而 变成直线u=4 注4： 为 定义2：设 定义于 ， 的聚点， 为一复数，若 ，记为 ，有 。则称 沿E趋于 时，存在极限 从而 2、复变函数的极限 注3：复变函数极限有与实变函数类似性质： 唯一性、局部有解性、局部保号性、四则运算。

25. 定理1：设 则 ，有 ， 而 ， 处的极限。 在 例3：讨论 证明： 由此即证。

26. 由于沿不同斜率m的直线y=mx趋于z=0，对应极限不同，故由于沿不同斜率m的直线y=mx趋于z=0，对应极限不同，故 不存在。 ，则称 的聚点，若 定义于 ， 为 定义3：设 沿 在 连续。 定理2：设 ，在 在 连续 连续。 定义于E，若 定义4：设 有 ，则 在E上一致连续。 解：当z沿直线y=mx趋于0时有 3、复变函数的连续性 注5：复变函数连续与实变函数类似性质： 局部有解性、局部保号性、四则运算连续性、复合函数的连续性

27. 定理3：若 在有界闭集E上连续则 1） 在E上有界 2） 在E上有最大值和最小值 例4：设 3） 在E上一致连续 ，试证 在原点不存在极限，从而在原点不连续。 证：令变点 ，则 从而 （沿正实轴 ） （沿第一象限的平分角线 ） 故 在原点不存在极限，从而在原点不连续。

28. 1．扩充复平面：复平面+无穷远点 面。考虑球面 在点坐标是 的三维空间中，把 xOy面看作就是 ： 取定球面上一点 称为球极。我们可以建立一个复平面C到 之间的一个1-1 4、复球面与无穷远点 2．扩充复平面解析集合模型：复球面

29. 对应： 对应于球极射影为 ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点 ，称 为扩充复平 。 ， ， 。 其实部、虚部、辐角无意义，模等于 ；基本运算为（a为有限复数）： 的运算 3．“数” 我们称上面的映射为球极射影。

30. 本章《完》