POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY

1. POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

2. POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY - sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku (väčšinou sú použiteľné pre kvantitatívne štatistické znaky, len niektoré pre kvalitatívne štatistické znaky) Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

3. popisné charakteristiky: • charakteristiky polohy najviac • charakteristiky variability používané • charakteristiky šikmosti • charakteristiky špicatosti Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

4. 1.1.Charakteristiky polohy alebo stredné hodnoty vyjadrujú určitú úroveň (polohu) znaku, okolo ktorej sú ostatné hodnoty viac či menej koncentrované Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

5. charakteristiky polohy: • priemery - aritmetický - geometrický - harmonický každý môže byť jednoduchý alebo vážený • ostatné stredné hodnoty - modus - medián Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

6. charakteristiky polohy – vlastnosti: • majú byť typickou hodnotouštatist. súboru • musia byť jednoznačne presne definované • pri výpočte sa do úvahy berú všetky jednotky štat. súboru • majú byť ľahko zistiteľné • mali by slúžiť k porovnávaniu stredných hodnôt za niekoľko súborov • majú čo najmenej podliehať náhodnostiam výberu Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

7. Priemer predstavuje často rovnomernosť alebo normu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každý zje hus, je možné, že niektorí zjedia dve, resp. viac, iní žiadnu. Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

8. 8 400 Sk 9 400 Sk priemer 9 600 Sk 11 200 Sk 9 400 Sk priemer 10 000 Sk 12 700 Sk 6 500 Sk 1.1.1. Priemery • aritmetický priemer ( napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď.) Priemerná mzda (jednoduchý aritm. priemer) 8 400 Sk 6 500 Sk 9 600 Sk 10 000 Sk 11 200 Sk12 700 Sk 29 200 Sk : 3 = 9 400 Sk 29 200 Sk : 3 = 9 400 Sk Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

9. aritmetický priemer jednoduchý vážený n – počet pozorovaníx1, x2, x3.....xn j=1,2,3,....n ni=n Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

10. Príklad: vážený aritmetický priemer Každú známku musíme násobiť (vážiť) počtom študentov, až potom urobíme súčet (vážený súčet), ktorý podelíme počtom študentov Priemerna známka bude: Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

11. Výpočet aritmetického priemeru z intervalov. rozdelenia početností Priemerný plat pracovníka predstavuje 11 767 Sk Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

12. vlastnosti aritmetického priemeru: • stálosť súčtu hodnôt • súčet odchýlok od priemeru sa rovná 0 • súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

13. Aritmetický priemer nemá väčšinou žiadny odraz v skutočnosti. Každá priemerná rodina má 2,2 dieťaťa, našťastie to neznamená to, čo vidíme na obrázku. Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

14. geometrický priemer- používa sa pri časových radoch (rast HDP za tri roky, vývoj inflácie za päť rokov...) jednoduchý vážený Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

15. Vývoj HNP SR za rr.95-99 v US$ na obyv a rok. V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. na 108,12% V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. o 8,12% Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

16. Z jednotlivých koeficientov rastu možno vypočítať: priemerný koeficient rastu _ 4 k = (1,148.1,081. 1,003 . 0,974)= 1.0493 Za obdobie rr. 95-99 HNP v SR rástol ročne približne o 4,9% Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

17. Úloha: Predpokladajme, že ideme 30 km ďaleko a prvých 15 km prejdeme rýchlosťou 15 km za hod. a druhých 15 km rýchlosťou 75 km za hod. Akú priemernú rýchlosť sme dosiahli za hodinu? Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

18. Harmonický priemer (jednoduchý) Prvú trať ideme rýchlosťou 15km/hod… k jej prejdeniu potrebujeme práve 1hod. - 60 minút (15/15*60) Druhú trať (15 km) ideme rýchlosťou 75 km/hod…. K jej prejdeniu potrebujeme len 12 minút (15/75*60)  celková doba jazdy je teda 72 minút. Aritmetický priemer Nás zmýli výslekom (15+75)/2=45km za hodinu. K zisteniu priemernej doby jazdy pre oba úseky potrebujeme 60min+12min= 72/2 = 36 minút pre každý úsek jazdy, čo predstavuje priemernu rýchlosť 25 km / hod. Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

19. 1.1.2.Ostatné stredné hodnoty • význam pri nesymetrických rozdeleniach u kvantitatívnych znakov, • pri kvalitatívnych znakoch Medián - prostredná hodnota vštatistickom súbore usporiadanom podľa skúmaného znaku ( napr. výška prostredného pracovníka) Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

20. Medián je prostredná hodnota v usporiadanom štatistickom súbore. Usporiadame ženy podľa výšky, a zistíme, ktorá z nich je prostredná. Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

21. určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je nepárny počet štatistických jednotiek n- nepárny počet Medián Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

22. určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je párny počet štat. jednotiek Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

23. určovanie mediánu pri intervalovom rozdelení početností • dá sa určiť len mediánový interval, do ktorého patrí, v rámci tohto intervalu potom medián určíme približne na základe absolútnych početností a -dolná hranica medián. intervalu h-rozpätie medián. intervalu -početnosť medián. intervalu - kumulat. početnosť po medián. interval Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

24. Výpočet mediánu z interval. rozdel. početností Prostredný plat je 11 869 SK, čo znamená, že 50% pracovníkov má vyšší a 50% pracovníkov nižšší ako 11 869 Sk Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

25. Modus - - najpočetnejšia alebo najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štat. súbore - je definovaný v jednovrcholových rozdeleniach početností Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

26. bezprostredne sa dá určiť v štat. súbore, ak poznáme individuálne hodnoty znaku x a ich početností • v prípade intervalového rozdelenia početnosti sa priamo určí iba modálny interval, t.j. interval s najväčšou početnosťou v štat. súbore. V rámci tohto intervalu sa modus určí: Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

27. na základe vzťahu početností modálneho a priľahlých intervalovň a - dolná hranica modálneho intervalu h - rozpätie intervalu d0- rozdiel medzi početnosťou modálneho a predchádzajúceho intervalu d1- rozdiel medzi početnosťou modálneho a nasledujúceho intervalu Najpočetnejším platom je 12 175 Sk Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

28. Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. súbore - symetrické rozdelenie - nesymetrické rozdelenie - pozitívna asymetria - negatívna asymetria Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

29. Porovnanie modusu, mediánu a strednej hodnoty Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

30. Intervalové rozdelenie platov Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

31. 1.2. Charakteristiky variability variabilita – menlivosť hodnôt znaku v štatistickom súbore miery variability: • miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len niektoré hodnoty znaku v súbore • variačné rozpätie • kvantilové rozpätie • kvartilové rozpätie • kvartilová odchýlka Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

32. b)miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore: - absolútne - priemerná odchýlka - rozptyl - smerodajná (štandardná) odchýlka - relatívne - pomerná priemerná odchýlka - variančný koeficient Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

33. rozptyl – s2 (disperzia, variancia) • druhý centrálny moment, priemerný štvorec odchýlo k od priemeru, meria variabilitu v druhých mocninách mernej jednotky- preto je neinterpretovateľný • počíta sa ako: jednoduchý vážený Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

34. Smerodajná (štandardná ) odchýlka- s vyjadruje variabilitu súboru v pôvodných merných jednotkách Relatívna miera variability: - variančný koeficient – v - meria variabilitu v % (slúži na porovnávanie variability znakov vo viacerých súboroch Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

35. Variabilita v rozdelení platov Variabilita platov meraná smerodajnou odchýlkou predsta- vuje 1 006 Sk, čo znamená, že za predpokladu jednovrcholo- vého približne symetrického rozdel. Platov sa v intervale 11 767 Sk +-1 006 Sk nachádza asi 68% platov pracovníkov. Variabilita platov meraná smerod. odchýlkou predstavuje asi 8,55% z priemerneho platu. Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

36. Charakteristiky šikmosti: a) Pearsonova miera šikmosti- určuje mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približná =0 symetrické rozdelenie >0 pozitívna asymetria 0 negatívna asymetria Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

37. b) koeficient šikmosti ( asymetrie ) – je presnejšia (momentová) miera šikmosti, je bezrozmerné číslo, vyhodnocuje sa : 1 = 0 symetrické rozdelenie 1 > pozitívna (ľavostranná)asymetria 1 < negatívna (pravostranná) asymetria Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

38. 1.4.Charakteristika špicatosti • koeficient špicatosti - 2 bezrozmerné číslo 2 = 0 normálne rozdelenie 2< 0 plochšie rozdelenie 2 > 0 špicatejšie rozdelenie Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

39. g2 > 0 g2 > 0 g2 = 0 g2 < 0 g1 > 0 g1 = 0 g1 < 0 Koeficient šikmosti Koeficient špicatosti Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

40. Príklady rozdelení Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.

41. Grafické zobrazenia Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc.