第七节二重积分

第七节二重积分 一、二重积分的概念与性质 1. 一个实例——曲顶柱体的体积曲顶柱体：以xOy平面上的有界闭区域D为底,以曲面 z = f(x ,y)为顶。 z z =f(x ,y) 现求曲顶柱体体积V （1）分割：将区域D任意分成n个小区域 (同时表示面积) O y 对应微小曲顶柱体的体积记为 D x （2）近似:在中任取一点，则

（3）求和： （4）取极限：（为直径最大的小区域的直径） (区域的直径是指：区域中两点距离的最大值) 2. 二重积分的定义

定义设z=f(x ,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数，将D任意地分割为n个小区域，它们的面积记为 (i=1,2, … ,n) ,在每一个小区域上任取一点 ,作乘积的和式 , 用表示n个小区域的最大直径。当时,若和式的极限存在,则称此极限值为函数z=f(x ,y)在区域D上的二重积分，记作其中f(x ,y)称为被积函数,D称为积分区域, 称为被积式，称为面积元素，x与y称为积分变量。

可以证明（从略）：当函数f(x ,y)在有界闭区域D上连续时，f(x ,y)在D上的二重积分一定存在。今后总假定：f(x ,y)在D上连续。回顾：曲顶柱体的体积二重积分的几何意义：曲顶柱体体积的代数和。特别，表示D的面积。

3. 二重积分的性质 性质1 性质2 性质3 （区域D恰被连续曲线分为区域D1和D2）性质4 若在D上有，则由于，故特别有

性质5 设M和m分别为f(x ,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，则 ( 为D的面积) 性质6（中值定理）设函数f(x ,y)在有界闭区域D上连续，为区域D的面积，则在D上至少有一点，使得下式成立：几何意义：曲顶柱体的体积等于某一同底的平顶柱体的体积。

二、二重积分的计算 割D。此时，面积元素为。故二重积分往往可记为 1. 在直角坐标系下计算二重积分当二重积分存在时，结果与区域D的分法无关.因此，为方便计，可用平行于坐标轴的直线网来分可以证明(从略): y （1）当区域D用 D 表示时，有 O a b x

（2）当区域D用 表示时，有上述把二重积分化为二次积分的方法称为累次积分法(或逐次积分法) y d D c O x 对于复杂区域D,可分成上述形式的若干个简单区域计算即可。

y 例1 计算其中D是由直线x=1,x=2, y=1,y=3所围成的区域。 3 2 D 1 O 1 2 x 例2 计算 y y=2 2 D y=x 1 其中D是由直线y=2, y=x和双曲线xy=1所围成的区域。 xy=1 O x

2. 在极坐标系下计算二重积分 在直角坐标系下计算二重积分有时并不方便（如圆环域D），这时可考虑用极坐标计算。我们有（证明从略）：其中为极坐标系下的面积元素。 dr r O x

特别，对圆环域D: 有 (注意，D: ) 例3 计算例4 计算积分其中D为圆域:

布置作业： P227: 1(1)(3)(4). 2(1)(3)

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