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Polygone und Polyeder

Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone. Oktagon. Quadrat. Dreieck. Hexagon. Pentagon. 120 º. 30 º. 30 º. 30 º. 108 º. 72 º. 54 º. 54 º. 54 º. 36 º. 36 º. 36 º. 108 º. 36 º. 72 º. 72 º. 36 º. 36 º. 36 º. 1. 1. 108 º. y. 1. 36 º. x. 36 º. 72 º. 36 º. A. 1. 1.

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Polygone und Polyeder

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Presentation Transcript

  1. Polygone und Polyeder

  2. Reguläre Polygone Oktagon Quadrat Dreieck Hexagon Pentagon

  3. 120º 30º 30º 30º

  4. 108º 72º 54º 54º 54º

  5. 36º 36º 36º 108º 36º 72º 72º

  6. 36º 36º 36º 1 1 108º y 1 36º x 36º 72º 36º

  7. A 1 1 B E y F 1 x D C Also . Aber . Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.

  8. A 1 1 B E y F 1 x D C

  9. Der Goldene Schnitt 1 x 1-x

  10. Konstruktion von 2 1

  11. Pentagon: • Konstruiere das Goldene Dreieck • Konstruiere das Pentagon

  12. Welche regulären Polygone können mit Zirkel und Lineal konstruiert werden? The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!

  13. Platonische Körper Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele Flächen zusammen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder 20 12

  14. Beispiel Oktaeder Boot konvex nicht konvex

  15. “of a Fractal Nature” Photography by Gayla Chandler http://www.public.asu.edu/~starlite/

  16. Warum fünf Platonische Körper? Schritt 1: Peripheriewinkel der Seitenflächen Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon Partition des Polygons in n Dreiecke Summe aller Winkel: Summe aller Winkel im Zentrum: Summe der Peripheriewinkel: Ein Peripheriewinkel:

  17. Warum fünf Platonische Körper? Peripheriewinkel: Dreieck: Quadrat: Pentagon: Hexagon: Septagon:

  18. Warum fünf Platonische Körper? Schritt 2: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein:

  19. Warum fünf Platonische Körper? Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: . Dreiecke:

  20. Warum fünf Platonische Körper? Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: . Quadrat:

  21. Warum fünf Platonische Körper? Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: . Pentagon:

  22. Flächen, Kanten, Ecken, … Tetraeder

  23. Flächen, Kanten, Ecken, … Hexaeder

  24. Flächen, Kanten, Ecken, … Oktaeder

  25. Flächen, Kanten, Ecken, … Ikosaeder

  26. Flächen, Kanten, Ecken, … Dodekaeder

  27. Euler-Zahl

  28. Duale Polyeder

  29. Duale Polyeder Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

  30. Duale Polyeder Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

  31. Netze von Körpern

  32. Netze von Körpern

  33. Netze von Körpern

  34. Netze von Körpern

  35. Netze von Körpern

  36. Netze von Körpern

  37. Ein Netz aber verschiedene Körper:

  38. Ein Körper aber verschiedene Netze:

  39. Ein Körper aber verschiedene Netze:

  40. Welcher Körper ist das? http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

  41. Welcher Körper ist das? http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

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