6. Gravita čné pole

1. 6. Gravitačné pole Naša Slnečná sústava sa nachádza v galaxii Mliečna cesta(po anglicky “Milky Way”), ktorá má tvar disku, blízko jej okraja vo vzdialenosti okolo 26000 svetelných rokov od jej stredu. Naša galaxia je členom lokálnej skupiny galaxií, ktorej členom je aj galaxia Andromeda nachádzajúca sa vo vzdialenosti 2.3x106 svetelných rokov. Lokálna skupina je súčasťou Lokálneho Superclustera galaxií. Merania urobené v 1980-tych rokoch naznačujú, že Lokálny Supercluster a supercluster pozostávajúci z clusterov Hydra a Centaurus sa pohybujú k výnimočne masívnej oblasti nazývanej “Great Attractor”. Sila, ktorá drží pokope vesmírne telesá od hviezd cez galaxie až po superclustre galaxií a možno ich ženie k Great Attractor-u, je gravitačná sila. Newtonov gravitačný zákon V rokoch 1665-1666 odvodil Isaac Newton (1643-1727) zákon vyjadrujúci vzájomné silové pôsobenie dvoch hmotných bodov dané ich hmotnosťami. Použil pri tom Kep- lerove zákony, ktoré popisujú pohyb planét našej slnečnej sústavy, a platnosť zákona overil na pohybe nášho Mesiaca okolo Zeme a štyroch najväčších Jupiterových mesia- cov. Zo zákona vyplýva, že každé teleso vo vesmíre priťahuje každé iné. Túto vlas- tnosť telies nazývame gravitácia. Zem priťahuje telesá oveľa väčšou gravitačnou si- lou, akou sa tieto priťahujú navzájom. Napr. Zem priťahuje 200 gramové jablko gravitačnou silou o veľkosti zhruba 1.95 N. Oproti tomu človek priťahuje jablko

2. gravitačnou silou, ktorá má veľkosť tiaže čiastočky prachu. Newtonov gravitačný zákon vyjadrený v matematickej forme znie (1) Rovnica (1) vyjadruje silu, ktorou pôsobí častica (hmotný bod) o hmotnosti na časticu (hmotný bod) o hmotnosti a naopak. Vektor vždy leží v spojnici oboch častíc a má smer k priťahujúcej častici. Vektor v rovnici (1) je poloho- vý vektor určujúci polohu priťahovanej častice vzhľadom na časticu priťahujúcu. Jeho veľkosť r je rovná vzdialenosti oboch častíc. Vektory a sú teda vždy rovnobežné a opačne orientované, ako ukazujú aj obrázky na nasledujúcom slide. Preto vystupuje vo vzťahu (1) znamienko “-”. Keďže vektor môžeme napísať v tvare , kde je jednotkový vektor majúci smer a orientáciu vektora , Newtonov gravitačný zákon (1) môžeme napísať aj takto (2) Veličina G vystupujúca v rovniciach (1) a (2) sa nazýva gravitačná konštanta a jej hodnota je.

3. Pre lepšiu ilustráciu sme na tomto obrázku vykreslili smer a orientáciu vektorov síl, polohových vektorov a im príslušných jednotkových vektorov v oboch možných prí- padoch – keď častica o hmotnosti m1 je priťahujúca, t. j. častica o hmotnosti m2je priťahovaná, a naopak. V prvom prípade vektor určuje polohu častice 2 vzhľa- dom na časticu 1. Jeho začiatok je teda v častici 1 a koniec v častici 2. Potom sila , ktorou častica 1 pôsobí na časticu 2 je

4. Keď zvolíme za priťahujúcu časticu 2, t. j. priťahovaná bude častica 1, polohový vektor určujúci polohu častice 1 vzhľadom na časticu 2 bude rovnobežný s polohovým vektorom , bude mať rovnakú veľkosť ako tento vektor a opačnú orientáciu. Pre silu , ktorou častica 2 bude priťahovať časticu 1, bude teda platiť Sily a sú teda rovnobežné opačne orientované vektory s rovnakou veľkosťou Možno teda konštatovať, že dve hmotné častice (hmotné body) sa navzájom priťa- hujú rovnako veľkými opačne orientovanými gravitačnými silami a tvoria teda pár podľa Newtonovho tretieho pohybového zákona. Tieto sily nezávisia od umiestne- nia častíc a  ani od prítomnosti iných objektov, aj keby boli medzi nimi.

5. Newtonove teorémy o vrstve Newtonov gravitačný zákon v tvare (1), resp. (2), platí pre bodové objekty. Na zákla- de Gaussovho zákona pre gravitačné pole možno však dokázať platnosť dvoch New- tonových teorémov o vrstve, ktoré umožňujú rozšírenie platnosti (1) resp. (2) na prí- pad homogénnych guľových vrstiev a z nich zložených telies. Prvý Newtonov teorém o vrstve hovorí: Gravitačnému pôsobeniu homogénnej guľo- vej vrstvy na častice alebo iné homogénne guľové vrstvy umiestnené vo vzdialenosti väčšej, ako je vonkajší polomer vrstvy, je ekvivalentné gravitačné pôsobenie časti- ce umiestnenej v strede krivosti vrstvy s hmotnosťou rovnou hmotnosti vrstvy.

6. Z tohto tvrdenia vyplýva, že ak máme guľu pozostávajúcu z homogénnych vrstiev, a  teda aj homogénnu guľu, jej gravitačné pôsobenie na objekty mimo nej je také isté, ako gravitačné pôsobenie častice umiestnenej v strede gule majúcej hmotnosť rovnú súčtu hmotností jednotlivých vrstiev, t.j. celej gule. Znenie druhého Newtonovho teorému o vrstve je:Intenzita gravitačného poľa vnútri homogénnej guľovej vrstvy je nulová. Platnosť tohto teorému o vrstve je dôsledkom toho, že ak by sme umiestnili vnútri ho- mogénnej guľovej vrstvy hmotný objekt (častica, teleso), gravitačné sily, ktorými by pôsobili všetky hmotnostné elementy vrstvy na tento objekt, by sa navzájom vyrušili. Princíp superpozície gravitačných síl Pre vzájomné gravitačné pôsobie hmotných objektov platí princíp superpozície. V  prípade sústavy N častíc (hmotných bodov) o hmotnostiach tento princíp hovorí, že celková sila , ktorou pôsobí na j-tu časticu tejto sústavy ostat- ných N-1 častíc, je daná vektorovým súčtom kde , , je sila, ktorou pôsobí i-ta častica na vybranú j-tu časticu.

7. Z prvého Newtonovho teorému o vrstve vyplýva, že tento princíp môžeme formulo- vať aj pre pôsobenie medzi objektami predstavujúcimi homogénne gule a objekty po- zostávajúce z jednej alebo viacerých homogénnych guľových vrstiev. Ak chceme určiť celkovú gravitačnú silu pôso- biacu na teleso o hmotnosti , ktoré môže byť predstavované časticou, homogénnou guľovou vrstvou, homogénnou guľou, alebo guľou pozos- távajúcou z homogénnych guľových vrstiev (ďa- lej len guľa, guľová vrstva), v dôsledku prítom- nosti telesa iného charakteru s hmotnosťou (ďalej len teleso), musíme toto teleso rozdeliť na nekonečne malé (infinitezimálne) hmotnostné elementy , ktoré môžu mať vo všeobec- nosti rôzne hustoty. Polohové vektory udávajúce polohu častice, resp. stredu gule alebo guľovej vrstvy, vzhľadom na bod, v ktorom sa nachádza hmotnostný ele- ment , majú rôzny smer a vo všeobecnosti aj rôznu veľkosť. Gravitačná sila, ktorou pôsobí každý takýto element na časticu, resp. guľu alebo guľovú vrstvu, je na základe Newtonovho gravitačného zákona (1), resp. (2), (3)

8. Elementárna sila bude vždy ležať v spojnici elementu a častice, resp. stre- du krivosti gule alebo guľovej vrstvy, bude mať smer ku hmotnostnému elementu a  pôsobisko v bode umiestnenia častice, resp.v strede krivosti gule alebo guľovej vrs- tvy. Pre rôzne body telesa a im príslušné hmotnostné elementy budú mať teda ele- mentárne sily (3) rôzne smery a vo všeobecnosti aj rôzne veľkosti (so zmenou polohy elementu sa môže meniť r a objemová hustota ). Podľa princípu superpo- zície celková sila , ktorou pôsobí teleso o hmotnosti na časticu, guľovú vrstvu, alebo guľu o hmotnosti , je vektorovým súčtom elementárnych síl dan- ých rovnicou (3), ktorými pôsobia jednotlivé hmotnostné elementy vypĺňajúce celý objem telesa na časticu, guľovú vrstvu, alebo guľu. Keďže ide o elementárne príspevky, tento súčet je reprezentovaný integrálom Intenzita gravitačného poľa Príslušné fyzikálne pole, ktoré sprostredkúva vzájomné gravitačné pôsobenie hmot- ných objektov, je gravitačné pole. Toto pole je v každom bode priestoru v okolí hmotného objektu, alebo súboru hmotných objektov, ktorý ho produkuje, charakteri- zované veličinou, ktorú nazývame intenzita gravitačného poľa. Intenzitu gravitačného poľa v ľubovoľnom bode v okolí objektu, ktorý je zdrojom poľa, určíme ako podiel

9. gravitačnej sily , ktorou pôsobí tento objekt na tzv. pokusnú časticu umiestnenú v  tomto bode, a hmotnosti pokusnej častice m, t.j. (4) Ako vidíme zo (4), intenzita gravitačného poľa je vektorová veličina. V každom bode poľa má taký smer, aký by mala gravitačná sila , keby v tomto bode bola u- miestnená pokusná častica. Intenzitu gravitačného poľa produkovaného jednou časticou (hmotným bodom) o hmotnosti M v ľubovoľnom bode priestoru v okolí tejto častice, ktorého poloha vzhľadom na časticu je daná polohovým vektorom , vyjadríme použijúc rovnice (1), resp. (2),a (4) (5) Ako vidíme, táto intenzita nezávisí od hmotnosti pokusného telesa m, ale len od cha- rakteristík zdroja gravitačného poľa, ktoré skúmame – častice o hmotnosti M. Ako je zrejmé z predošlého výkladu, posledný vzorec udáva aj intenzitu gravitačného po- ľa v okolí homogénnej guľovej vrstvy o hmotnosti M alebo gule zloženej z homogén-

10. nych guľových vrstiev a celkovej hmotnosti M, pričom počiatok polohového vektora je v  strede krivosti týchto útvarov. Podobne ako pre gravitačnú silu aj pre intenzitu gravitačného poľa platí princíp superpozície, avšak len v prípade, ak je gravitačné pole slabé. Ak teda je splnená táto podmienka, potom inten- zita gravitačného poľa produkovaného sústa- vou N častíc o hmotnostiach v ľubovoľnom bode priestoru je daná vektorovým súčtom V horeuvedenom vzťahu je gravitačná sila, ktorou pôsobí i-ta častica sústavy na pokusnú časticu o hmotnosti m umiestnenú v bode priestoru, v ktorom intenzitu gravitačného poľa určujeme, a je polohový vektor určujúci polohu pokusnej čas- tice vzhľadom na bod, v ktorom je umiestnená i-ta častica. Opäť poznamenajme, že posledný vzorec platí aj v prípade, že zdrojom poľa je sústava homogénnych guľových vrstiev alebo gulí zložených z homogénnych guľových vrstiev, pričom polohové vek- tory majú svoj počiatok v strede krivosti týchto telies.

11. Ak chceme zistiť intenzitu gravitačného poľa telesa všeobecných a konečných rozme- rov o hmotnosti M, rozdelíme toto teleso na nekonečne malé hmotnostné elementy dM, ktoré sa môžu vyznačovať rôznou hustotou a pre ktoré polohové vektory určujúce polohu bodu, v ktorom intenzitu zisťujeme, vzhľadom na element dM majú rôzny smer a môžu mať aj rôznu veľkosť. Každý z  elementov dM produkuje elementárnu intenzitu podľa vzťahu Celková intenzita je potom vektorovým súčtom elementárnych intenzít, t.j. integrálom kde integrujeme cez celý objem telesa.

12. Práca a potenciálna energia v gravitačnom poli. Konzervatívne pole. Už vieme, že gravitačná sila, ktorou pôsobia dve častice jedna na druhú, má smer spojnice týchto častíc, nech sú umiestnené akokoľvek, a závisí len od ich vzájomnej vzdialenosti a hmotnosti. Ak si vyberieme jednu z častíc, ktorej hmotnosť označíme M a fixujeme ju v priestore tak, aby sa nepohybovala, gravitačnásila, ktorou bude tá- to častica pôsobiť na nejakú inú časticu o hmotnosti m umiestnenú v ľubovoľnom bo- de priestoru, bude vždy orientovaná do jedného bodu – centra síl, ktorým je bod, kde je umiestnená častica o hmotnosti M. Takejto sile hovoríme radiálna alebo centrálna. Nech na náš systém jednej pohyblivej a jednej statickej častice nepôsobia nijaké von- kajšie sily. Potom sa bude pohyblivá častica pohybovať len v dôsledku pôsobenia gravitačnej sily produkovanej centrom síl. Dráha, ktorú bude pohyblivá častica pri tom opisovať, nemusí byť spojnica oboch častíc. Takáto situácia nastáva napr. pri vodorovnom alebo šikmom vrhu, alebo pri pohybe telies po naklonenej rovine, kedy centrom síl je častica umiestnená v strede Zeme a majúca hmotnosť Zeme (ak Zem považujeme za dokonalú guľu skladajúcu sa z homogénnych guľových vrstiev). Nech sa pohyblivá častica pohybuje pod gravitačným účinkom centra síl po dráhe, ktorá má z nejakého dôvodu tvar ako na obrázku na nasledujúcom slide. Keďže gra- vitačná sila je centrálna, bude mať v rôznych bodoch tejto dráhy rôzny smer a rôznu veľkosť. Ak teda chceme vypočítať prácu, ktorú vykoná gravitačná sila pri pre- miestnení pohyblivej častice pozdĺž tejto dráhy, musíme ju rozdeliť na elementárne

13. úsekyreprezentované vektormi , ktoré majú dĺžku dl, smer dotyčnice k dráhe a o- rientáciu v smere pohybu častice. Elementár- na práca vykonaná gravitačnou silou pozdĺž elementárneho posunutia predstavovaného vektorom je (6) kde je uhol zvieraný vektormi a a je vektor, ktorý získame ako pravouhlý priemet vektora do smeru sily , pričom je jeho dĺžka.Dôvod znamienka “-`` v rovnici (6) je nasledovný: Ak sa častica pri svojom pohybe premiestňuje po takej časti dráhy, na kto- rej klesá jej radiálna vzdialenosť od centra síl, elementárne posunutia dr odpovedajúce tejto časti dráhy sú záporné čísla (, kde je radiálna vzdialenosť od centra síl na začiatku elementárneho posunutia a je radiálna vzdialenosť od cen- tra síl na konci elementárneho posunutia, t.j. ). Keďže smery vektorov a sú na takejto časti dráhy súhlasné, skalárny súčin je kladné číslo, t.j. znamienko “-`` “skryté`` v dr musí byť vykompenzované druhým znamienkom “-`` explicitne vystupujúcim v rovnici (6). Ak sa častica pohybuje po takej časti dráhy,

14. že sa jej radiálna vzdialenosť od centra síl zväčšuje, odpovedajúce elementárne posu- nutia dr sú kladné. Smer vektorov a je však opačný, takže ich skalárny súčin je záporné číslo rovné –Fdr. Celková práca vykonaná gravitačnou silou pozdĺž celej dráhy je potom súčtom ele- mentárnych prác dW, t.j. integrálom (7) kde a sú začiatočný a koncový bod dráhy a a sú veľkosti polohových vektorov týchto bodov vzhľadom na centrum síl.Zdôraznime, že v posledných dvoch integráloch v (7) integrujeme pozdĺž radiálnej čiary majúcej počiatok v centre síl. Ďalej ukážeme, že gravitačné pole je konzervatívne pole. To znamená, že práca ko- naná gravitačnou silou produkovanou centrom síl a pohyblivou časticou na tejto čas- tici závisí len od polohy začiatočného a konečného bodu jej dráhy a nie od tvaru tejto dráhy. Majme teda situáciu ako na obrázku na nasledujúcom slide, kde bod O predstavuje centrum síl (gravitačných) a dva ľubovoľné body a sú spojené dvoma drá- hami ľubovoľného tvaru 1 a 2. Poloha bodu je vzhľadom na bod O určená polo- hovým vektorom a poloha bodu vzhľadom na O je určená polohovým vek- torom . Dvom ľubovoľným kružnicovým oblúkom so stredom krivosti v centre síl a s polomermi r a  r+|dr| , kde |dr| je absolútna hodnota elementárneho prírastku

15. radiálnej vzdialenosti r, odpove- dajú na krivke 1 vektor elemen- tárneho posunutia a na kriv- ke 2 vektor elementárneho posu- nutia . a sú sily, ktorými pôsobí centrum síl v  bode O na časticu pohybujúcu sa po jednej alebo druhej dráhe smerom k centru síl. V mieste priesečníkov jednej či druhej drá- hy s kruhovým oblúkom o polo- mere r+|dr| majú tieto sily rov- nakú veľkosť, keďže sú centrálne, a teda ich veľkosť závisí len od radiálnej vzdialenosti od centra síl. Vyberme vektory a tak, že veľkosti ich priemetov do smeru síl a sú rovnaké a rovné |dr|. Elementárne práce vykonané gravitačnou silou produkovanou centrom síl na po- hyblivej častici pri jej elementárnom posunutí po dráhe 1 alebo 2 z radiálnej vzdiale- nosti r+|dr| do radiálnej vzdialenosti r od bodu O sú teda vzhľadom na (7)

16. kde sme položili . Pripomeňme, že pre dráhy ako na obrázku a pri smere pohybu pohyblivej častice z bodu P1 do bodu P2je elementárne posunutie dr vždy záporné. Skalárny súčin je však vzhľadom na smer, ktorý nadobúda- jú vektory a kladné číslo, preto v poslednej rovnosti v posledných dvoch rov- niciach musí byť znamienko “-``. Tvrdenie reprezentované poslednými dvoma rovnicami platí pre ľubovoľné dva kružnicové oblúky so stredom krivosti v centre síl (bod O) a s polomermi líšiacimi sa elementárnou hodnotou |dr|. Celkové práce vykonané gravitačnou silou pri premiestnení častice z bodu do bodu po dráhe 1, resp. 2, sú teda rovnaké a dané integrálom (7), čo znamená, že ich hodnota nezávisí od tvaru dráhy, po kto- rej bola častica premiestnená. Navyše, keďže veľkosť gravitačnej sily závisí len od radiálnej vzdialenosti jej pôsobiska od centra síl, hodnota integrálu (7) bude závi- sieť len od radiálnej vzdialenosti začiatočného (bod ) a koncového (bod ) bodu dráhy od centra síl. Gravitačná sila je teda naozaj konzervatívna sila. Ďalším príkladom konzervatívnej sily je elektrostatická sila, pretože podobne ako gravitačná sila je to sila centrálna.

17. Použijúc hore uvedené argumenty vyjadrime prácu vykonanú gravi- tačnou silou pri premiestnení časti- ce z bodu do bodu v gra- vitačnom poli centra síl predstavo- vaného hmotným objektom o hmot- nosti M po dráhe trochu kompliko- vanejšej, ako sú dráhy na obrázku na slide 13.Ako vidíme, poloha bodu vzhľadom na centrum síl je daná polohovým vektorom , poloha bodu vzhľadom na centrum síl je daná polohovým vektorom , pričom . Kružnicové oblúky A, B, C, D majú stred krivosti v centre síl. Polomer kružnicového oblúka A je . Polomer oblúka B je daný vzdialenosťou centra síl a bodu c, v ktorom smer dotyčnice k dráhe je totožný so smerom dotyčnice k oblúku B. Polomer kružnicového oblúka C je rovný vzdialenosti centra síl a bodu b, v ktorom smer dotyčnice k dráhe je totož- ný so smerom dotyčnice k oblúku C. Nakoniec polomer oblúka D je . Bod a je priesečníkom dráhy častice a oblúka B a bod d je priesečníkom dráhy častice a ob-

18. lúka C. Práca W vykonaná gravitačnou silou pri premiestnení častice z do bude súčtom W= + + + + kde je práca odpovedajúca posunutiu častice z bodu do bodu a, atď. Na základe (6) a (7) môžeme túto rovnosť napísať v tvare kde je vzdialenosť bodov a a c od centra síl M a je vzdia- lenosť bodov b a d od centra síl M. Zopakujme, že znamienko “-`` v prvom, druhom, štvrtom a piatom integráli v posled- nej rovnici vyplýva z toho, že vektory a na dráhach, ktorým tieto integrály odpovedajú, sú nesúhlasne orientované a elementárne posunutia dr sú kladné. Pri pohybe častice po tretej časti dráhy z bodu b do bodu c sú tieto vektory súhlasne o- rientované, takže skalárny súčin je kladné číslo. Napriek tomu však vystupu- je v odpovedajúcom integráli tiež znamienko “-``, lebo vzhľadom na smer integrácie je pre túto časť dráhy elementárny prírastok dr záporné číslo, t.j. číslo je kladné. Vzhľadom na rovnosť platí pre tento integrál

19. kde znamienko “-`` pohltilo prehodenie hraníc inegrovania a elementárny prírastok dr v treťom integráli v tejto rovnici je v dôsledku tohto prehodenia kladné číslo. Z poslednej rovnice vyplýva, že druhý a tretí integrál vo výraze pre prácu uvedenom na predchádzajúcom slide majú rovnakú veľkosť a opačné znamienka, takže sa vzá- jomne odčítajú. Súčet ostávajúcich integrálov v tejto rovnici teda bude kde integrujeme pozdĺž radiálnej čiary spájajúcej centrum síl a vzdialenosti a bodov a od tohto centra. Tým sme ukázali, že nezávisle od toho, po akej dráhe je konaná práca centrálnej sily, môžeme túto dráhu nahradiť úsekom radiálnej čiary prechádzajúcej centrom síl ležiacim medzi vzdialenosťami počiatočného a kon- cového bodu dráhy od tohto centra. Použijúc posledný integrál, resp. jeden z posledných dvoch integrálov v (7), môžeme teda vypočítať prácu, ktorú vykoná gravitačná sila reprezentovaná centrom síl na pohyblivej častici pri jej premiestnení z bodu, ktorého poloha vzhľadom na cen- trum síl je udaná polohovým vektorom , do bodu, ktorého poloha je udaná vzhľadom na centrum síl polohovým vektorom , pričom budeme integrovať pozdĺž radiálnej vzdialenosti kon-

20. cov týchto vektorov. S použitím Newtonovho gravitačného zákona (1), resp (2), pre gravitačnú silu pôsobiacu medzi dvoma hmotnými bodmi o hmotnostiach, ktoré ozna- číme m a M, integrál (7) nadobudne tvar (8) Poznamenajme, že nemusíme integrovať práve pozdĺž radiálnej čiary spájajúcej cen- trum síl a počiatočnú a konečnú vzdialenosť častice od tohto centra. Na základe prvých dvoch integrálov v (7) môžeme integrovať po ľubovoľnej dráhe spájajúcej po- čiatočnú a konečnú polohu častice, ktoré môžu byť špecifikované polohovými vektor- mi majúcimi počiatok v ľubovoľnom referenčnom bode, t.j. nie práve v centre síl. Takto môžeme určiť prácu ľubovoľnej sily a nie len centrálnej, pre ktorú platia po- sledné dva integrály v (7), resp. vzorce (8). Ak v rovnici (8) pôjdeme s do nekonečna a označíme r, dostaneme novú veličinu, ktorá je funkciou vzájomnej polohy systému častíc m a M a ktorú nazýva- me potenciálnou energiou tohto systému. Je teda (9)

21. Prvý integrál vo vzťahu (9) hovorí, že potenciálna energia systému dvoch hmotných objektov je práca,ktorú musia vykonať sily poľa produkovaného týmito objektami pri ich premiestnení z  konečnej vzájomnej vzdialenosti r do nekonečnej vzájomnej vzdialenosti. Tomuto tvrdeniu je ekvivalentné tvrdenie reprezentované druhým integ- rálom v (9): Potenciálna energia sústavy dvoch hmotných objektov je rovná práci, ktorú musí vykonať vonkajšia sila pri premiestnení týchto objektov konštantnou rých- losťou z nekonečnej do konečnej vzájomnej vzdialenosti r. Pre náš konkrétny prípad gravitačného poľa dostaneme z (8) alebo (9) (10) Táto rovnica predstavuje gravitačnú potenciálnu energiu systému dvoch častíc o  hmotnostiach m a M, ktoré sú vo vzájomnej vzdialenosti r. Nehovoríme teda o poten- ciálnej energii len jednej alebo druhej častice. Zo vzťahu (10) plynie, že gravitačná potenciálna energia systému dvoch častíc je nulová, t.j. najväčšia pre nekonečnú vzá- jomnú vzdialenosť častíc a že s ich zmenšujúcou sa vzájomnou vzdialenosťou sa stá- va viac zápornou. Na záver poznamenajme, že gravitačná potenciálna energia je druhom potenciálnej energie. Potenciálna energia je jednou z dvoch foriem mechanickej energie. Druhou formou mechanickej energie je energia kinetická. V systémoch, na ktoré nepôsobia žiadne vonkajšie sily, je súčet týchto

22. dvoch foriem mechanickej energie konštantný – platí zákon zachovania mechanickej energie. Prostredníctvom vnútorných síl pôsobiacich v takýchto systémoch sa môže kinetická energia meniť na potenciálnu energiu a naopak, pričom ich súčet je kon- štantný, t.j. zachováva sa. Po anglicky zachovávať je “conserve”. Preto týmto silám hovoríme konzervatívne a poliam, ktoré im príslušia, konzervatívne polia. Potenciál gravitačného poľa. Súvislosť intenzity a potenciálu. Potenciálna energia (10) predstavuje charakteristiku gravitačného poľa sústavy dvoch hmotných objektov. Nech jeden z týchto objektov je pokusná častica o hmot- nosti m a druhýnech je častica, systém častíc, teleso so spojito rozloženou hmotnos- ťou alebo sústava telies so spojito rozloženou hmotnosťou. Potom môžeme zaviesť veličinu, ktorá nezávisí od hmotnosti pokusnej častice vzťahom (11) Veličinu V v (11)nazývame potenciálom gravitačného poľa produkovaného hmot- ným objektom alebo sústavou hmotných objektov. Je to skalárna veličina a podobne ako intenzita je charakteristikou gravitačného poľa hmotného objektu alebo sústavy hmotných objektov v každom bode priestoru v ich okolí nezávisle od toho, či je v  tomto bode umiestnený iný hmotný objekt alebo nie.

23. Na základe (11) a definície potenciálnej energie môžeme potenciál v ľubo- voľnom bode priestoru, ktorého polohový vektor vzhľadom na počiatok zvolenej sú- radnicovej sústavy je , definovať ako prácu, ktorú musia vykonať sily poľa pro- dukovaného hmotným objektom alebo sústavou hmotných objektov pri premiestnení bodového hmotného objektu s jednotkovou hmotnosťou z tohto bodu do nekonečna. Vyjdúc z definície (11) môžeme teraz vyjadriť potenciál gravitačného poľa budené- ho časticou (hmotným bodom), sústavou častíc a telesom so spojito rozloženou hmotnosťou (zovšeobecnenie na sústavu telies so spojito rozloženou hmotnosťou je priamočiare). Potenciál gravitačného poľa produkovaného časticou o hmotnosti M v bode P, kto- rého poloha vzhľadom na M je daná polohovým vektorom (za počiatok súradni- covej sústavy sme teda zvolili bod, v ktorom je umiestnená častica), dostaneme, ak do (11) dosadíme vyjadrenú vzťahom (5), t.j. (12) Pri odvodení rovnice (12) sme využili, že platí , keďže integrujeme pozdĺž spojnice častice, ktorá je zdrojom poľa, a ľubovoľného bodu v okolí tejto častice, ktorej poloha je daná vzhľadom na M polohovým vektorom , a vektory a sú súhlasne orientované, pričom elementárny prírastok je

24. vzhľadom nasmer integrácie kladné číslo. Poznamenajme, že pri odvodení (12) sme mohli integrovať pozdĺž dráhy ľubovoľné- ho tvaru. V dôsledku toho, že gravitačná sila je centrálna sila, môžeme vždy takúto dráhu na základe (7) nahradiť radiálnou čiarou, ktorá má počiatok v centre síl a ktorá spája toto centrum s konečnou polohou prenášanej častice. Výsledok integrovania potom bude závisieť len od polohy častice vzhľadom na centrum síl a nie vzhľadom na iný referenčný bod. Prvé tvrdenie vyplýva aj z faktu, že gravitačná sila je konzer- vatívna, a teda práca ňou konaná závisí len od počiatočnej a koncovej polohy pre- miestňovanej častice a nie od toho, akou dráhou sme medzi týmito bodmi prešli. Nech teraz v nejakej oblasti priestoru je N častíc s hmotnosťami a my chceme určiť potenciál gravitačného poľa budeného týmito časticami v neja- kom bode P, ktorého polohový vektor vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy je . Intenzita gravitačného poľa, ktorého zdrojom sú tieto častice, je daná superpo- zíciou intenzít budených všetkými N časticami. Označme teda vektory určujúce polohu bodu P vzhľadom na body, v ktorých sa častice nachá- dzajú, . Dosadením príslušnej inten- zity do definičného vzorca (11) získame vzťah

25. (13) kde sme urobili N integrácií, pričom sme integrovali pozdĺž spojnice každej z častíc a bodu P a využili sme, že vektory a sú súhlasne orientované, takže platilo . Prácu vykonanú silami gravitačného poľa budeného N časti- cami pri premiestnení častice s jednotkovou hmotnosťou z polohy danej vzhľadom na počiatok SS polohovým vektorom alebo vzhľadom na i-tu časticu poloho- vým vektorom teda vypočítame ako súčet prác vykonaných jednotlivými gravi- tačnými silami budenými jednotlivými zdrojovými časticami . Poz- namenajme, že podobne ako pri odvodení (12) sme aj tu mohli integrovať pozdĺž ľu- bovoľných dráh. Tieto však, ako vieme, môžeme vždy nahradiť radiálnymi čiarami spájajúcimi centrá síl s konečnou polohou prenášanej častice, čo sme aj pri našej integrácii využili. Potenciál produkovaný telesom so spojito rozloženou hmotnosťou získame zovšeo- becnením výpočtu (13). Namiesto konečných hmotností diskrétnych častíc budú v  príslušnom vzorci vystupovať infinitezimálne (nekonečne malé) hmotnostné elemen- ty dM, na ktoré teleso rozdelíme, a namiesto sumy budeme mať integrál cez celý ob- jem telesa. Opäť budeme určovať potenciál vľubovoľnom bodeP, ktorý sa nachá- dza v okolí telesa o hmotnosti M budiaceho gravitačné pole. Tomuto bodu nech od-

26. povedá v danej SS polohový vektor .Každému hmotnostnému elementu dM pri- radíme vektor , ktorý vyjadruje polohu bodu P vzhľadom na bod, v ktorom je dM umiestnený. Výpočet bude teda analogický výpočtu (13). Do vzorca (11) dosadí- me vzťah vyjadrujúci intenzitu gravitačného poľa budeného telesom so spojito rozlo- ženouhmotnosťou a budeme integrovať pozdĺž radiálnych čiar spájajúcich elementy dM s bodom P. Výsledok je vzorec kde sme opäť položili . Potenciál budený ľubovoľným telesom so spo- jito rozloženou hmotnosťou v ľubovoľnom bode v jeho okolí teda dostaneme ako sú- čet prác konaných gravitačnými silami budenými jednotlivými hmotnostnými elemen- tami telesa pri premiestnení objektu s jednotkovou hmotnosťou z tohto bodu do neko- nečna. Presuňme v gravitačnom poli, ktoré je v každom bode priestoru dané vektorom inten- zity , časticu s hmotnosťou m z bodu, ktorému prislúcha vo zvolenej súradnico- vej sústave polohový vektor , do bodu, ktorému odpovedá polohový vektor , po dráhe ľubovoľného tvaru. Keďže intenzita , a teda aj výsledná gravitačná sila pôsobiaca na časticu, je vo všeobecnosti rôzna v rôznych bodoch poľa, je práca, ktorú pritom vykonajú gravitačné sily, súčtom elementárnych prác vykonaných počas

27. elementárnych posunutí po tejto dráhe, t.j. integrálom Keďže gravitačné pole je pole konzervatívne, je zmena potenciálnej energie častice pri presunutí sa v tomto poli pozdĺž nejakej dráhy daná záporne vzatou prácou, ktorú pri tomto procese vykonajú sily poľa. Je teda kde je potenciálna energia častice v bode špecifikovanom polohovým vektorom a je potenciálna energia častice v bode, ktorému odpovedá polohový vektor . Vzhľadom na to, že platí prvá rovnosť v (11), je potom rozdiel potenciálov me- dzi uvažovanými dvoma bodmi poľa kde a sú potenciály v bodoch udaných príslušnými polohovými vektormi a .

28. Vieme teda, ako vypočítame potenciál gravitačného poľa budeného hmotným objek- tom alebo sústavou hmotných objektov v každom bode priestoru, ak poznáme vektor jeho intenzity v každom bode priestoru. Je možný aj opačný postup – zo znalosti potenciálu môžeme vypočítať intenzitu. Východiskom môže byť posledná rovnica, kde rozdiel potenciálov prepíšeme do iného tvaru použijúc integrál, t.j. Aby bola splnená posledná rovnosť v tejto rovnicimusí platiť kde vektor posunutia odpovedá elementárnej zmene potenciálu dV. Z definície diferenciálu máme v kartézskej súradnicovej sústave čo možno napísať ako skalárny súčin

29. V poslednej rovnici sú vektory s jednotkovou dĺžkou orientované postupne v kladnom smere súradnicových osí x, y, z a dx, dy, dz sú x-ová, y-ová a z-ová zložka vektora posunutia . Výraz v prvej zátvorke v tejto rovnici je gradient potenciálu V a jeho označenie je alebo gradV. Skombinovaním posledných 3 vzťahov do- staneme pre intenzitu gravitačného poľa (14) Rovnica (14) hovorí, že intenzita gravitačného poľa v ľubovoľnom bode priestoru v  okolí zdroja poľa sa rovná záporne vzatému gradientu potenciálu, ktorý prislúcha to- muto bodu. Gravitačné pole Zeme Predpokladajme, že Zem je homogénna guľa, alebo guľa zložená z homogénnych guľových vrstiev. Potom na základe prvého Newtonovho teorému o vrstve a (1), resp. (2), na časticu o hmotnosti m umiestnenúvo vzdialenosti rod stredu Zeme väč- šej ako polomer Zeme pôsobí gravitačná sila kde je hmotnosť Zeme a je jednotkový vektor ležiaci v spojnici stredov oboch telies a smerujúci od stredu Zeme k častici. Poznamenajme, že táto rovnica

30. platí podľa prvého Newtonovho teorému o vrstve aj vtedy, ak namiesto častice uvažu- jeme homogénnu guľovú vrstvu, homogénnu guľu alebo guľu zložená z homogén- nych guľových vrstiev. Vzdialenosť r v tejto rovnici by potom bola vzdialenosť medzi stredom Zeme a stredom krivosti týchto útvarov. Ďalej predpokladajme, že Zem nerotuje, a neuvažujme odpor vzduchu. Potom na základe druhého Newtonovho pohybového zákona je gravitačné zrýchlenie telesa, ktoré môžeme považovať za teleso vyššie uvedeného typu (ďalej len teleso), ktoré mu udeľuje Zem, dané rovnicou (15) Ako vidíme, gravitačné zrýchlenie telesa v gravitačnom poli Zeme nezávisí od jeho hmotnosti a jeho vyjadrenie je totožné s vyjadrením intenzity gravitačného poľa Ze- me. Ľavá a pravá strana (15) predstavuje rovnosť dvoch vektorov. Dva vektory sa rovnajú, ak majú rovnakú veľkosť, smer a orientáciu.Potom z (15) vyplýva, že má smer a orientáciu jednotkového vektora , t.j. bude ležať v spojnici stredov Zeme a telesa a je orientované do stredu Zeme. Veľkosť jednoducho určíme, ak napíšeme (15) v tvare

31. Veľkosť gravitačného zrýchlenia ag vo vzdialenosti od stredu Zeme je potom (16) Poznamenajme, že rovnice (15) a (16) rovnako platia, ak namiesto Zeme uvažujeme ľubovoľnú homogénnu guľu alebo guľu zloženú z homogénnych guľových vrstiev. Nameraná hodnota zrýchlenia, ktorú by Zem udeľovala telesám na jej povrchu, sa však mierne líši od gravitačného zrýchlenia daného rovnicou (15), keď v nej položíme , smerom aj veľkosťou. Sú na to tri hlavné dôvody. Prvý je, že Zem nie je dokonalá guľa. Je mierne sploštená na póloch, takže gravitačné zrýchlenie bude mať tendenciu naras- tať smerom od rovníka k pólom, pretože sa zmenšuje vzdialenosť od ťažkého jadra

32. Zeme. Druhý dôvod je, že Zem nie je zložená z homogénnych guľových vrstiev – minimál- ne jej povrchová vrstva, zemská kôra, má v závislosti od zemepisnej šírky a dĺžky rôznu hustotu a rôzny tvar, čo samozrejme ovplyvňuje aj hodnotu gravitačného zrýchlenia v rôznych bodoch zemského povrchu. Tretí dôvod je rotácia Zeme, v dôsledku ktorej na telesá na povrchu Zeme pôsobí odstredivá sila. Preto keď meriame zrýchlenie, ktoré ude- ľuje telesám Zem, prístrojom pevne spojeným s povrchom Zeme, výsledkom nášho merania nie je gravitačné zrýchlenie, ale tiažové zrých- lenie, ktoré označujeme a ktoré je výsledni- cou gravitačného a odstredivého zrýchlenia, t.j. V poslednej rovnici je vektor ležiaci v kolmej spojnici osi otáčania Zeme a bodu, v ktorom meriame . Jeho veľkosť je polomer kruhovej dráhy, ktorú opisuje tento bod v dôsledku rotácie Zeme. Situáciu ilustruje obrázok, na ktorom pre názornosť je pomer veľkostí odstredivého zrýchlenia a gravitačného

33. zrýchlenia oveľa väčší, ako v skutočnosti. Korekcia vzhľadom na odstredivú silu je najväčšia na rovníku, kde je veľkosť od- stredivého zrýchlenia V poslednej rovnici je rovníkový polomer Zeme a je uhlová rýchlosť jej rotácie, ktorá je rovnaká v každom bode zemského povrchu. Výpočtom z rovnice (16) dostaneme pre veľkosť gravitačného zrýchlenia na povrchu Zeme (pri absencii všet- kých troch vplyvov) hodnotu okolo 9.8 ms-2. Je teda evidentné, že korekcia gravitač- ného zrýchlenia na odstredivú silu je taká malá, že ju pri bežných výpočtoch môžeme zanedbať. Hodnoty v rôznych výškach nad povrchom Zeme

34. Gravitácia vnútri Zeme Uvažujme, ako by sa menila gravi- tačná sila pôsobiaca na časticu o hmotnosti m nachádzajúcu sa vnútri Zeme pri jej postupnom približova- ní k stredu Zeme. Na základe Newtonovho gravitačného zákona (1), resp. (2), a jeho dvoch teorémov o vrstve by proti sebe pôsobili dve tendencie: 1. Tendencia zväčšovať gravitačnú silu, lebo sa zmenšuje vzdialenosť r od stredu Zeme. 2. Tendencia zmenšovať gravitačnú silu, lebo sa zmenšuje množstvo hmoty obsiahnu- té v guli o polomere r. Sférická vrstva s vonkajším polomerom a vnútorným po- lomerom r neprodukuje vo vzdialenosti r od stredu Zeme nijakú silu, ako hovorí dru- hý Newtonov teorém o vrstve. Pre homogénnu Zem by prevládla druhá tendencia a gravitačná sila by klesala lineár- ne s klesajúcim r (možno ukázať, že jej veľkosť by bola ). V skutoč- nej Zemi však gravitačná sila s klesajúcim r najskôr stúpa, dosiahne v určitej vzdiale-

35. nosti od stredu Zeme svoje maximum, a potom klesá až na nulu v jej strede. Pohyb v homogénnom gravitačnom poli Uvažujme dve telesá, napr. časticu o hmotnosti m a homogénnu guľu alebo guľu zlože- nú z homogénnych guľových vrstiev, ktorá je oveľa väčšia, t.j. má veľký polomer R. Nech vzdialenosť častice a stredu gule je r, takže gravitačná potenciálna energia systé- mu týchto dvoch telies je daná rovnicou (10). Predpokladajme ďalej, že , kde h je veľmi malé v porovnaní s R, t.j. častica sa pohybuje v malých výškach nad povrchom gule. Platí teda . Potenciálnu energiu (10) potom môžeme rozvinúť do radu podľa mocnín h/R. Za tým účelom upravíme (10) do tvaru Výraz rozvinieme do radu na základe známeho rozvoja (17) V našom prípade a . V prípade Zeme, keď uvažujeme h rádovo desiatky metrov a R rádovo milióny metrov, je , čo jeveľmi malé číslo. To znamená, že jeho mocniny budú ešte menšie čísla [ ,

36. atď.], takže ich príspevky k celkovej potenciálnej energii budú zanedbateľné. Preto sa v rozvoji (17) obmedzíme len na jeho prvé dva členy, t.j. zanedbáme členy úmerné x2 a všetkým ostatným vyšším mocninám x. Pre potenciálnu energiu v malej výške nad povrchom nášho veľkého guľového telesa teda dostaneme aproximáciu kde je veľkosť gravitačného zrýchlenia, ktoré udeľuje guľa častici tesne pri jej povrchu, ako vyplýva zo vzorca (16). Rozdiel potenciálnych energií sys- tému častica-guľa v dvoch stavoch – keď je častica v relatívne malej výške h nad po- vrchom gule a na povrchu gule – je teda zhruba rovný (18) Rovnica (18) tiež hovorí, že pre malé výšky nad povrchom gule s veľkým polomerom môžeme veľkosť gravitačného zrýchlenia ag(R+h) v malej výške h nad ním s veľkou presnosťou aproximovať jeho hodnotou na povrchu gule ag(R), pretože R+h a R sa líšia zanedbateľne málo. Pre Zem je toto zrejmé z čísel uvedených na predchádzajúcom slide. S výrazom na pravej strane (18) sme sa stretli v kapitole o energii a práci, ak zamení- me ag(R) pre Zem za veľkosť tiažového zrýchlenia g na povrchu Zeme, keďže tieto dve veličiny sa líšia veľmi málo. Tam sme uviedli, že výraz mgh predstavuje potenciálnu energiu systému Zem-malé teleso pre malé výšky nad povrchom Zeme.

37. To, čo sme práve povedali na dvoch predchádzajúcich slidoch, je jeho odôvodnením. Ako však vyplýva z (18), nejde v skutočnosti o absolútnu potenciálnu energiu systému Zem-malé teleso, ale rozdiel potenciálnych energií tohto systému vo výške h nad povrchom Zeme a na povrchu Zeme. Teraz si predstavme, že guľou je Zem a časticou baseballová lopta. Takéto priblíženie je možné, keďže rozmery a hmotnosť lopty sú mnohonásobne menšie ako rozmery a  hmotnosť Zeme. Vieme z predchádzajúcej časti a z predchádzajúcich úvah, že Zem bude udeľovať lopte pohybujúcej sa v blízkosti jej povrchu zrýchlenie veľkosti oko- lo 9.8 ms-2. Lopta podľa zákona akcie a reakcie pôsobí na Zem rovnako veľkou gravi- tačnou silou, ako Zem na loptu a podľa druhého Newtonovho pohybového zákona je táto sila rovná súčinu hmotnosti Zeme a zrýchlenia, ktoré jej lopta udeľuje. Keď uva- žujeme len veľkosti týchto síl, platí takže pre veľkosť zrýchlenia Zeme dostaneme kde sme dosadili známu hodnotu G a polomeru Zeme a kg.

38. Ako vidíme, zrýchlenie Zeme je také malé, že ho nemôžeme pozorovať. Preto v situ- áciách, keď sa jedná o systém dvoch telies, v ktorom jedno z telies má zanedbateľnú hmotnosť a rozmery v porovnaní s druhým telesom, hovoríme len o pohybe ľahkého a veľmi malého telesa v gravitačnom poli ťažkého a oveľa objemnejšieho telesa a po- tenciálnu energiu (18) nazývame potenciálnou energiou ľahkého a veľmi malého telesa v gravitačnom poli ťažkého a oveľa objemnejšieho telesa. Pripomeňme, že vzo- rec (18) platí, pokiaľ sa obmedzíme na malé vzdialenosti od povrchu ťažkého a ob- jemnejšieho telesa a  že predstavuje rozdiel potenciálnych energií. To je však práve veličina, ktorá nás vo fyzike zaujíma. Úniková rýchlosť Je to rýchlosť, ktorú musíme udeliť telesu, aby uniklo z gravitačného poľa iného tele- sa. V prípade Zeme ju nazývame aj druhá kozmická rýchlosť. Jej hodnotu nájdeme zo zákona zachovania mechanickej energie. Za týmto účelom zanedbajme gravitačné pôsobenie ostatných nebeských telies a považujme systém Zem-teleso za izolovaný. Potom mechanická energia, t.j. súčet kinetickej a potenciálnej energie tohto systému, musí mať v každom stave systému rovnakú hodnotu. Aby teleso práve uniklo z gravi- tačného poľa Zeme, musíme mu udeliť na povrchu Zeme takú rýchlosť, aby v neko- nečne (prakticky v dostatočne veľkej vzdialenosti od Zeme), kde je jeho gravitačná potenciálna energia podľa definície nulová, práve dosiahlo nulovú rýchlosť , t.j. aj jeho kinetická energia, a teda aj celková mechanická energia, budú rovné nule. Z 

39. rovnosti hodnôt mechanických energií na začiatku pohybu na povrchu Zeme a na kon- ci pohybu v nekonečne teda dostaneme odkiaľ

40. Príklady únikových rýchlostí Ceres ... najmasívnejší asteroid Sírius B ... biely trpaslík, ktorý je spoločníkom hviezdy Sírius Neutrónová hviezda ... zrútené jadro hviezdy po jej výbuchu ako supernovy

41. Keplerove zákony Sú to empirické zákony, ktorými sa riadia pohyby planét. Vypracoval ich Johannes Kepler (1571-1630) na základe pozorovaní Tycha Brahe (1546-1601). Isaac New- ton (1642-1727) neskôr ukázal, že jeho gravitačný zákon vedie k týmto zákonom. Keplerove zákony môžu byť aplikované nielen na planéty našej slnečnej sústavy, ale aj na ľubovoľný prirodzený alebo umelý satelit obiehajúci okolo masívneho centrál- neho telesa. • Zákon dráh. Všetky planéty sa pohybujú po eliptických dráhach, pričom Slnko le- • ží v jednom z ich ohnísk. Na obrázku je eliptická dráha planéty o hmotnosti m obiehajúcej okolo Slnka, ktoré má hmotnosť M. Keďže predpokladáme, že , je ťažisko sústavy Slnko-planéta približne v strede Slnka. a ... hlavná poloos elipsy e ... excentricita elipsy. Je to číslo zvolené tak, že ea je vzdialenosťstredu elipsy od oboch jej ohnísk. Excentricity planét Slnečnej sústavy sú veľmi malé, takže ich dráhy vyzerajú ako kružnice, pre ktoré , a teda sa stotožnia ohniská F a

42. Excentricita dráhy Zeme je 0.0167. ... perihélium – najmenšia vzdialenosť Slnko-planéta ... afélium – najväčšia vzdialenosť Slnko-planéta 2. Zákon plôch. Spojnica planéty a Slnka opisuje rovnaké plochy v rovine dráhy plané- ty za rovnaký čas, t.j. rýchlosť , s ktorou táto čiara opíše plochu A, je konštan- tná. Z tohto zákona vyplýva, že planéta sa bude pohybovať najpomalšie, keď je od Slnka najvzdialenejšia, a najrýchlejšie, keď je ku Slnku najbližšie. Teraz ukážeme, že tento zákon je ekvivalentný zákonu zachovania momentu hybnosti. Na prvom obrázku plocha tvaru rovnoramenného trojuholníka veľmi dobre aproxi- muje plochu opísanú spojnicou Slnka a planéty za krátky čas . Keďže výška tohto trojuholníka je r a základňa , platí . Toto vyjadrenie pre

43. je tým presnejšie, čím je menší čas , až v limite bude toto vyjad- renie dávať plochu úplne presne. Ak je teda infinitezimálny prírastok plochy za infinitezimálny čas dt rovný dA a tomu odpovedajúci prírastok uhla je , potom okamžitá rýchlosť, s ktorou spojnica Slnka a planéty opisuje plochu v rovine dráhy planéty, je kde je okamžitá uhlová rýchlosť rotujúcej spojnice Slnko-planéta, t.j. uhlová rýchlosť spojnice Slnko-planéta v momente, keď je dĺžka tejto spojnice r. Veľkosť momentu hybnosti planéty je daná vzťahom keďže . Skombinovaním posledných dvoch rovníc teda dostaneme odkiaľ vyplýva, že veľkosť momentu hybnosti planéty je konštantná (jeho smer je tiež konštantný, ako vyplýva z vektrového súčinu ), pretože je konštantná rýchlosť, s ktorou opisuje spojnica Slnko-planéta plochu v rovine dráhy planéty pri jej pohybe

44. okolo Slnka. 3. Zákon periód. Štvorec periódy, s ktorou obieha planéta okolo Slnka, je priamo ú- merný tretej mocnine jej hlavnej poloosi. Toto tvrdenie ukážeme pre kruhovú dráhu planéty s hmotnosťou m obiehajúcej okolo masívneho centrálneho telesa s hmotnosťou M, ktorej polomer je r. Predpokladajme, že sa nemení veľkosť obvodovej rýchlosti planéty pri jej obiehaní okolo centrálneho telesa, takže jej zrýchlenie má len normálovú zložku orientovanú do stredu jej kruho- vej dráhy. Potom podľa druhého Newtonovho pohybového zákona môžeme položiť gravitačnú silu, ktorou pôsobí masívne teleso na planétu, rovnú odstredivej (normá- lovej) sile, t.j. kde predstavuje normálové (odstredivé zrýchlenie). Keď do poslednej rovnice dosadíme , dostaneme 3. Keplerov zákon

45. Posledná rovnica platí aj pre eliptické dráhy, keď polomer r nahradíme hlavnou polo- osou a. Tretí Keplerov zákon teda hovorí, že pomer má takú istú hodnotu pre všetky planéty obiehajúce okolo centrálneho telesa s hmotnosťou M. Pre plané- ty Slnečnej sústavy je tento pomer (2.96-3.01)x10-34 rok2m-3. Einstein a gravitácia V tejto kapitole sme vysvetľovali gravitáciu pôsobením síl, ktorých zdrojom sú hmotnosti telies. Podľa Einsteina však gravitáciu možno vysvetliť zakrivenosťou náš- ho 4-rozmerného časopriestoru, ktorý je popísaný troma priestorovými súradnicami plus časom. Hovoríme, že čas a priestor sú prepojené (“entangled”). Jedným z javov, ktoré hovoria v  prospech Einsteinovej teórie gra- vitácie, je gravitačná šošovka schematicky znázornená na ob- rázku. Princíp javu je, že svetlo vychádzajúce z kvazaru (extrém- ne jasný a extrémne vzdialený zdroj svetla) sa ohýba v blízkos- ti veľmi masívnych objektov, ako sú napr. masívna čierna diera

46. alebo galaxia. Na Zemi potom pozorujeme nie jeden kvazar, ale celý súbor jeho ob- razov v smere ohnutých lúčov. Niekedy tieto obrazy tvoria prstenec, ktorý nazýva- me Einsteinov prstenec. Keďže svetlo je prúdom fotónov, t.j. častíc, ktoré nemajú hmotnosť, nemožno jeho ohýbanie sa vysvetliť klasickou newtonovskou teóriou gra- vitácie. Jedným z možných vysvetlení teda je, že v okolí masívnych objektov je ča- sopriestor zakrivený, v dôsledku čoho sú zakrivené aj dráhy telies alebo častíc, ktoré sa v blízkosti takýchto objektov pohybujú. Dodnes nie je jasné, či je gravitácia spôsobená hmotnosťami telies, alebo zakrivením časopriestoru, či fundamentálnou časticou – gravitónom.