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深化高中教学改革要关 注义教数学课标的新变化 —我们能从义教数学课标修订中吸取什么？重庆师范大学黄翔

一、问题提出—为什么要关注课标新变化 二、关注数学课程中的10个核心概念三、关注数学课程目标的新变化四、关注数学课程内容的新调整

一、问题提出—为什么要 关注义教《课标》新变化 • 为深化高中数学课程改革提供思考 • 为此次高中数学课标修订提供参考 • “如何处理好初、高中的衔接？”是从整体上推进基础教育课程改革亟待解决的问题

《课程标准》在各阶段上的 协调性是值得关注的问题 • 在当前深入推进课改的实践中，义务教育数学与高中数学脱节的问题也引起了人们的关注。出现这一问题的原因是多方面的。作为对课程实践起指导作用的课程文本——《课程标准》在各阶段上的协调性可能是更值得关注的问题 • 课程标准的价值取向、基本理念、目标要求及内容标准是教师课堂教学的基本依据，必然对教师教学产生重要影响。反之，如果初、高中课程标准衔接不理想，也势必影响初、高中课堂教学的衔接

基于高中课标与义教课标的 比较研究，发现的问题： • 通过义务教育课标与高中课标的比较，发现两者在课程目标结构上差异较大，在一些重要目标点上缺乏应有的协调性和贯通性 • 事实上，尽管义务教育数学与高中数学有各自不同的阶段性特征，进而也应该有各自不同的一些培养要求，但在体现数学学科本质性要求的提法上却应有一致性和整体性，在重要的课程目标点上更应有连续性和贯通性（见本人论文《数学教育学报》2012.3期）

高中数学课标修订调研发现的问题及建议：（高中数学课标修订调研组报告）高中数学课标修订调研发现的问题及建议：（高中数学课标修订调研组报告） • 初高中内容出现部分脱节，具体表现在乘法公式、二次函数、几何、十字相乘、韦达定理、因式分解、不等式、函数、符号运算等内容上存在不衔接。 • 许多人都同意，在高中《课标》中像新修订的《义务教育课标》那样，将数学“双基”扩充为“四基”，但同时也提出，对“四基”的界定和作用应该进一步精致化。一些受访的数学家特别强调数学的思想方法，认为这才是知识遗忘之后还可以起作用的东西。

从高中数学教师现状看： • 不熟悉义教数学课程的结构，因而缺乏对数学内容主线的整体把握，存在“见木不见林”的现象，这不利于从系统上帮助学生形成合理的知识结构 • 对“初、高中过渡的问题”在教学上缺乏有效的解决措施

从统整的角度推进高中数学课程改革： • 此次数学义教课标修订所关注的热点问题同样是深化高中数学课程改革、修订高中数学课标所应该关注的问题

当前课改深入推进的一个特点： 课程改革与社会发展同步，与时俱进地体现着时代发展对教育和课程提出的新要求。

课程改革应始终坚持三个方面要求： 国家对人才培养的要求教育改善民生的要求促进学生发展的要求始终坚持这三项要求，是坚持课改正确方向，深化课改的保障。

基于此背景，此次课程修订注意强化了 如下要求，这给高中课标修订以启示：课程改革的核心是人才培养模式变化要加强对学生创新精神和实践能力的培养（“四基”、“四能”）要以课程为载体实实在在推进素质教育（明确提出数学素养）要体现教育的均衡、公平，（人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展）要更好体现数学课程的基本特点和本质（课程理念、“四基”、10个核心概念）

由于上述原因，我们应对义教数学课程标准的新变化有所了解，并在此基础上对深化高中数学课改作思考由于上述原因，我们应对义教数学课程标准的新变化有所了解，并在此基础上对深化高中数学课改作思考

我最近的三篇文章 阐述了一些主要的变化 • 数学课程基本理念的丰富与发展 ——从义务教育数学课标的修订看数学课程理念的新变化（《中国教育学刊》2012.8） • 义务教育数学课程目标的新变化（《课程.教材.教法》2013.1） • 数学课程标准中的十个核心概念（《数学教育学报》2012.4）

二、关注数学课程中的10个核心概念 ——从6个关键词到10个核心概念核心概念

核心概念有何意义？ • 核心概念课程内容的核心或主线，它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键 • 核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标 • 它们体现的都是学习主体——学生的特征，如感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面

关于课标中的10个核心概念——原课标也称为“关键词”关于课标中的10个核心概念——原课标也称为“关键词” 原课标：数感符号感空间观念（6个）统计观念应用意识推理能力修改后：数感符号意识运算能力（10个）模型思想空间观念几何直观推理能力数据分析观念应用意识创新意识

核心概念之一：数感 • 关于数感（Number Sense），在原标准中未作内涵解释，只从外延上指出它所包括的内容。 • 此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。

修订后《标准》关于数感的提法 • 《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

将数感表述为“感悟” • 原来，对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中常常感到“虚” ，找不到教学支点。 • 将数感表述为“感悟”不仅使这一概念有了较为明晰的界定，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。 • 它揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分

《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。

核心概念之二：符号意识 何为符号意识？ • 所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统 • 符号意识（Symbol sense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。

符号感（Symbol Sense）为何改为符号意识？ 英文单词一样，但改动后中文意义有所不同符号感主要的不是潜意识、直觉符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题

符号意识的含义 • 《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用” 符号理解及运用

符号“操作”意识 • 其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等

符号表达与符号思考 • 其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。 • 概括起来，符号意识的要求就具体体现于符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。

例：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。例：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。 1,1,2；1,1,2；，，； A,A,B；A,A,B；，，； □，□ ，；□，□，；，，； • 通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。符号表达的多样性

发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考” • 例：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？” 如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。

核心概念之三：空间观念（1）空间观念的含义核心概念之三：空间观念（1）空间观念的含义 • 空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径 • 空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造

（2）《标准》中空间观念所提出的要求 • 《标准》从四个方面提出了要求： • 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； • 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； • 描述图形的运动和变化； • 依据语言的描述画出图形等。

核心概念之四：几何直观——此次新增的核心概念核心概念之四：几何直观——此次新增的核心概念《标准》中几何直观的含义： • 标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形描述”和“图形分析”。它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形描述”和“图形分析”。 • 前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画； • 后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。

几何直观的培养 使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题 • 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观

例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，５次一共喝了这杯可乐的多少？例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，５次一共喝了这杯可乐的多少？通常算法是：把５次可乐加起来求和其实，可以：／１４／１２１－１２１／３２／３＝３１／８还可推广ｎ次　喝了多少？？／６１１１／３２

即使是很抽象的数学也　可以通过图形直观变得简单,如：即使是很抽象的数学也　可以通过图形直观变得简单,如：　对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的长线段三等分，取一份；……如此类推，中间取出的线段越来越小，无限接近于0 · ３ · · １ · · · · １／３ · · · · １／３２／３１３ · · · ．．．．．．．．．当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于

圆面积为3个单位 1/3 1/3 2 2 1/3 1/3 1 1

注意寻求一些数学对象的几何意义

学会从“数”与“形”　　　两个角度认识数学学会从“数”与“形”　　　两个角度认识数学　　　数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。华罗庚：　数缺形时少直观，形少数时难入微。　数形结合百般好，隔离分家万事休。

重视变换、运动——让图形动起来 • 几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法 • 在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、长方形等；另一方面，在学习、研究非对称图形时，又往往是运用对称图形为工具的 • 对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩……,充分利用图形的变化来分析、解决问题

重视用“图形法” 解决问题 掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

启示：应正确认识几何的教育功能 高中数学课程中，仅仅把几何作为培养逻辑推理能力载体的认识是片面的。事实上，通过几何培养学生的几何直观能力同样重要。教师应改变不太喜欢“画图”的习惯，在高中数学课程中，应有意识地、更多地借助图形语言来思考问题，培养学生的直观洞察力。

核心概念之五：数据分析观念——由统计观念改为数据分析观念核心概念之五：数据分析观念——由统计观念改为数据分析观念原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。

数据分析观念的要求： • 一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息 • 二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法 • 三是体验性要求：通过数据分析体验随机性

核心概念之六：运算能力——此次增加的核心概念核心概念之六：运算能力——此次增加的核心概念运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。

（1）标准对运算能力的要求 • 《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

（2）对运算能力的认识 • 运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征。 • 运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

核心概念之七：推理能力 此次《标准》提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点： • 一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。

突出了合情推理与演绎推理 • 二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

使学生多经历“猜想——证明”的探索过程 • 在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。 • 教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。

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