Алгебра логики.

1. Алгебра логики.

2. Логика Логика – это наука о формах и способах мышления. Основные формы мышления – • понятие, • высказывание, • умозаключение.

3. Алгебра логики Алгебра логики появилась в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Он начал решать логические задачи алгебраическими методами. Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

4. Логические высказывания • Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

5. Логические высказывания • Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. • Ложным будет высказывание, если оно противоречит реальной действительности. Например: «3х3 = 9» - истинное высказывание. «БоракОбама– студент КБК 6» - ложное.

6. Логические высказывания Не всякое предложение является логическим высказыванием. -Пример:6- четное число следует считать высказыванием, т.к. оно истинное -Пример:Рим – столица Франции Тоже высказывание, только ложное.

7. Логические высказывания -Пример:Заходите завтра не является логическим высказыванием Приведите примеры истинных, ложных логических высказываний и примеры, не являющиеся логическими высказываниями

8. Простые и составные высказывания Логические высказывания делятся на простые (элементарные) и составные. Составные высказывания получаются из простых с помощью логических связок «и», «или», «не», «если, то», «тогда и только тогда» и др.

9. Простые и составные высказывания Пример: «Петров - врач» , «Петров - шахматист». При помощи связки «и» получаем составное высказывание «Петров – врач и шахматист» При помощи связки «не» получаем составное высказывание «Петров – не врач»

10. Логические переменные • В алгебре логики суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

11. Логические переменные Пример: А=«Петров - врач» В= «Петров - пожарный». Тогда С= А или В С=«Петров – врач или пожарный» D= А и не В D=«Петров – врач и не пожарный»

12. Логические переменные Логические переменные могут принимать только два значения 1 и 0. Если высказывание, определяющее логическую переменную – истинно, то переменная равна 1, если ложно, то 0.

13. Логические переменные А = «Два умножить на два равно четырем». В = «Два умножить на два равно пяти». В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).

14. Логические операции В алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции и записывать логические формулы, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

15. Операция конъюнкции Логическая связка И Обозначение &, ^, • F = A ^ B В языках программирования and; Название: Логическое умножение. Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда истинны и А и В.

16. Операция конъюнкции Таблица истинности для операции логического умножения

17. Операция дизъюнкции Логическая связка ИЛИ Обозначение v F = A v B В языках программирования or; Название: Логическое сложение. Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда ложны и А и В.

18. Операция дизъюнкции Таблица истинности для операции логического сложения

19. Операция инверсии Логическая связка НЕ Обозначение F = A Название: Логическое отрицание. Значение функции F ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

20. Операция инверсии Таблица истинности для операции логического отрицания

21. Операция импликации Логическая связка ЕСЛИ, ТО Обозначение  F = A  B Название: Логическое следование. Значение функции F ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а В - ложно.

22. Операция импликации Таблица истинности для операции логического следования

23. Операция эквивалентность Логическая связка ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА Обозначение  F = A  B Название: Логическое тождество. Значение функции F истинно тогда и только тогда, когда ложны А и В оба истинны или А и В оба ложны.

24. Операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Таблица истинности

25. Таблица истинности Решать логические формулы удобно при помощи таблицы истинности. Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

26. Таблица истинности Алгоритм построения таблицы истинности 1. Количество строк в таблице = 2N, где N – количество переменных. 2. Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций.

27. Таблица истинности Алгоритм построения таблицы истинности 3. Установить последовательность выполнения логических операций. 4.Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных. 5. Заполнить таблицу 1 и 0.

28. Порядок выполнения логических операций Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились о приоритетах. • отрицание • умножение • сложение • следование

29. Пример построить таблицу истинности для выражения F=X ^ Y

30. Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ x v y x y

31. Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ y x z ^ ^z

32. Пример построить таблицу истинности для выражения

33. Пример построить таблицу истинности для выражения F= ^ y x z ^ ^z

34. Самостоятельно построить таблицы истинности для выражений