Download
1 / 23
250 likes | 593 Vues
חישוב שדה חשמלי על ציר הסימטריה של טבעת טעונה. נתונה טבעת מעגלית, בעלת רדיוס a , הטעונה באופן אחיד במטען חיובי +Q . מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים. ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר x. +. Q. +. +. a. +. +. +. +. x. +. +. +.
E N D
חישוב שדה חשמלי על ציר הסימטריה של טבעת טעונה
נתונה טבעת מעגלית, בעלת רדיוס a, הטעונה באופן אחיד במטען חיובי +Q. מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים. ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר x. + Q + + a + + + + x + + +
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של הטבעת כפונקציה של המרחק x ממרכז הטבעת. + Q + + a + + x + + + + +
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי, עלינו לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד, כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי. dq המטען dq הנו המטען ביחידת האורך הקטנה. + + + + a נוכל לראות את הטבעת כאוסף של מטענים נקודתיים שגודלם dq + + Q + + + + +
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq על השדה במרחק x ממישור הטבעת. dq + + Q + + a + + x + + + + +
גם הוא משפיע על השדה בנקודה עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dq נוסף הנמצא בדיוק מול המטען הראשון. dq + + Q + + a + + x + + + + +
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה, נקבל כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען. לכן נקבל כי בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x לכיוון החיובי, כמתואר בתרשים. dq + + Q + + a + + x + + + + +
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב. בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x + Q + + a + + x + + + + +
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה בציר X . dq + + Q + + a + + x + + + + +
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי + + Q + + a + + x + + + x + +
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה + + Q + + a + + x + + + x + +
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה בכיוון ציר x שתורם אלמנט מטען אחד. dq + + Q + + a + + x + + + + +
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות את כל הקבועים ניתן להוציא כגורם משותף + Q + + a + + + + + x + +
נשאר לסכום את אלמנטי המטען שסכומם נותן את מטען הטבעת + Q + + a + + + + + x + +
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על ציר הסימטריה שלה, במרחק X ממישור הטבעת. קשר זה נכון לכל x , חיובי או שלילי + Q + + a + + + + + x + +
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0 מתקבל E=0 + Q + + a + + + + + x + +
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי. נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת הפונקציה ערך מכסימלי
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו את השדה של מטען נקודתי, כלומר במרחק רב מהטבעת נוכל להתייחס אליה כמטען נקודתי "המרוכז" במרכזה. כאשר x>>a (אבל לא שואף לאינסוף). + + + a + + Q + + + + + +
