M.E.D.A.L.

1. M.E.D.A.L. IUP-MIAGE 1ère année Module d’Enseignement à Distance pour l’Architecture Logicielle Les réseaux de PETRI (2) Diapositive n° 1 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

2. AVERTISSEMENT L’usage de ce document, sous quelque forme que ce soit (électronique, papier…), à titre personnel ou devant des étudiants, est autorisé et libre de droits, à la condition expresse qu’il soit conservé dans l’état (et notamment qu’il comporte la page de garde et cet avertissement). Tout autre usage, notamment commercial, toute diffusion via un serveur informatique, une liste de diffusion… est soumis à l’accord PRÉALABLE de son auteur. Ce document constitue un TOUT. Toute coupe, toute modification non autorisée par son auteur sera assimilée à une atteinte aux droits de l’auteur et poursuivie comme telle devant les tribunaux. Diapositive n° 2 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

3. Cours magistral M.E.D.A.L. Evaluation Références Contexte Exercices MEDAL Corrigés des exercices Etudes de cas Auto-évaluation Diapositive n° 3 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

4. informations M.E.D.A.L. fonctions PLAN comportements 1) Introduction 2) Notions de base Cours magistral 3) Utilisation des Réseaux de PETRI 4) Extensions intéressantes - le modèle E-A-P 5) Conclusion - le modèle relationnel - les réseaux de PETRI - les modèles de traitement de Merise Diapositive n° 4 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

5. 4.1) Arcs inhibiteurs 4.2) Réseaux colorés 2.1) Arcs, places et transitions 2.2) Jetons, poids et marquages 2.3) Notions complémentaires 2.4) Dynamique des RdP 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente 3.1.2) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter 3.2) Vérification de propriétés 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.2) Vérification de propriétés 3.2.3) A propos de l’équation d’état Cours magistral 1) Introduction M.E.D.A.L. 4) Extensions intéressantes 2) Notions de base 3) Utilisation des Réseaux de PETRI PLAN 5) Conclusion Diapositive n° 5 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

6. 1) Rappels M.E.D.A.L. • Modèle comportemental, • Formalisme basé sur quelques notions simples comme place, transition, arc, jeton, • évolution du système reposant sur un moniteur d’exécution, qui sélectionne les transitions, consomme des jetons et en produit d’autres, • Visualisation de cette évolution sous la forme d’un graphe des marquages accessibles. Diapositive n° 6 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

7. 3) Utilisation des Réseaux de PETRI M.E.D.A.L. Les réseaux de PETRI sont un langage d’expression de la synchronisation de processus entre eux. Si l’on veut se servir correctement de cet outil, il faut en comprendre la logique. La modélisation en sera meilleure, à la condition toutefois d’éviter quelques erreurs. L’un des avantages de ce langage réside dans la possibilité de formalisation qu’il offre. Une fois « réduit » à des objets mathématiques, un RdP peut faire l’objet de calculs pour, par exemple, effectuer une vérification de propriétés. Diapositive n° 7 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

8. P1 P3 P4 T2 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente M.E.D.A.L. La logique sous-jacente aux transitions est le ET. Les places en entrée d’une transition sont liées les unes aux autres par un ET : Pour déclencher T2, il faut un jeton dans la place P1 ET un jeton dans la place P3 ET un jeton dans la place P4. Diapositive n° 8 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

9. P1 T1 P3 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente M.E.D.A.L. De la même façon, les places en sortie d’une transition sont liées les unes aux autres par un ET. Le déclenchement de T1 produit un jeton dans la place P1 ET un jeton dans la place P3. Diapositive n° 9 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

10. 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente M.E.D.A.L. Il n’est pas possible de mettre en place un NON (ceci sera permis par les arcs inhibiteurs -voir paragraphe consacré aux extensions), ni en entrée, ni en sortie. Le OU ne peut pas se modéliser, ni en entrée ni en sortie (bien qu’un artifice puisse le laisser penser). Ceci sera également permis par une extension, la coloration des jetons et des transitions -voir paragraphe consacré aux extensions. Diapositive n° 10 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

11. Ta Px Tb 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente M.E.D.A.L. Beurk !! Un jeton dans Px sera consommé par Ta OU par Tb, selon le choix du moniteur. Ce choix n’est pas bien visible sur le RdP. Diapositive n° 11 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

12. Px Ta Py Ta-bis Pz 3.1) Modélisation 3.1.1) Logique sous-jacente M.E.D.A.L. Beurk n° 2 !! Tout n’est cependant pas réglé, car il y a maintenant 1 ou 2 jetons dans Pz… et on ne peut pas faire la distinction entre les jetons qui viennent de Px (via Ta) et ceux qui viennent de Py (via Ta-bis). Diapositive n° 12 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

13. 3.1.2) Modélisation 3.1.2.1) Que faire avec les RdP ? M.E.D.A.L. Il y a plusieurs modélisations possibles d’un système : - description détaillée des processus mis en jeu, - description globale du système. plein de petits réseaux - transitions-puits, - transitions-sources. un gros réseau à synchroniser entre eux Diapositive n° 13 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

14. 3.1.2) Modélisation 3.1.2.2) Quels sont les éléments ? M.E.D.A.L. Les éléments disponibles pour la modélisation sont en nombre restreint : - transitions, - préconditions, postconditions, - places, - traitements, - arcs, - connecteurs, - jetons. - événements (discrets, continus), - ressources. La technique qui consiste à associer traitements et transitions (les flèches bleues) nous paraît la plus « naturelle ». Diapositive n° 14 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

15. Préconditions de T1 T1 T1 est terminée Préconditions de T2 Préconditions de Tx = Postconditions de T1 T2 Tx Postconditions de T2 Postconditions de Tx PRINCIPE = traitements 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les transitions On découpe les traitements en séquences ininterruptibles que l’on ordonne logiquement, puis on exprime les pré et postconditions. Diapositive n° 15 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

16. Préconditions de T1 Début T1 Fin T1 Postconditions de T1 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les transitions Il existe une variante qui consiste à associer deux transitions à chaque traitement : T1 est commencée Fin de T1 Son défaut principal est de multiplier par deux le nombre de transitions nécessaires et de rajouter de nombreuses places. Diapositive n° 16 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

17. Préconditions de T1 Début T1 T1 est commencée Fin de T1 Demande arrêt de T1 Fin T1 Arrêt T1 Postconditions de T1 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les transitions La seconde « technique » est préférable si l’on veut modéliser le fait que T1 est interruptible : T1 interrompu Diapositive n° 17 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

18. T4 Erreurs inexistantes Bulletins contrôlés Erreurs existantes T6 T5 Bulletins acceptés Bulletins rejetés = conditions, signaux, disponibilités de ressources 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les places Les places vont usuellement servir à représenter des lieux de stockage des conditions de déclenchement, des signaux, des disponibilités de ressources. Diapositive n° 18 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

19. Demandes de billets Vente par téléphone possible Places disponibles T1 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Les jetons correspondront aux ressources, aux signaux, ... Signaux Evénement stable Ressources Diapositive n° 19 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

20. T0 T1 P1 Événement stable 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Jusqu’à t1 - e, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Il y restera indéfiniment. Il y a donc deux états, un avant t1 (pas de jeton en P1), un après (un jeton en P1). t1 Diapositive n° 20 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

21. T0 T1 P1 Événement stable 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Jusqu’à t1 - e, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Il y restera indéfiniment. Il y a donc deux états, un avant t1 (pas de jeton en P1), un après (un jeton en P1). t1 Diapositive n° 21 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

22. T0 T1 P1 Événement ponctuel 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Jusqu’à t1 - e, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». t1 Diapositive n° 22 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

23. T0 T1 P1 Événement ponctuel 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Jusqu’à t1 - e, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». t1 Diapositive n° 23 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

24. T0 T1 P1 Événement ponctuel 3.1.2) Modélisation 3.1.2.3) Comment faire ? M.E.D.A.L. avec les jetons Jusqu’à t1 - e, la place P1 est vide, ce qui empêche le franchissement de T1. En t1, un jeton y est placé par la transition-source T0. Lorsque la transition T1 sera déclenchée (en t2), il sera consommé. Il y a donc un jeton entre t1 et t2 et aucun « ailleurs ». t1 t2 Diapositive n° 24 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

25. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. Il y a plusieurs erreurs à éviter, hélas assez fréquentes (surtout si l’on ne fait pas appel à un outil de vérification). Les plus courantes sont les suivantes : e1 - confusion jeton-information, e2 - décomposition excessive, e3 - mélange de logiques, e4 - places non ré-amorcées, e5 - production sélective de jetons. Diapositive n° 25 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

26. Demandes de billets Places disponibles Vente par téléphone possible T1 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e1 - confusion jeton-information Une des erreurs les plus fréquentes ! Non ! Nom du client Non ! Un jeton est une « variable » logique ; elle est vraie ou fausse. Le jeton est ou n’est pas ! N° place Prix place Diapositive n° 26 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

27. P1 P1 P2 P2 T1 T1 T2 Opération 1 Opération 2 Opération 1 Opération 2 Opération 3 Opération 4 Opération 5 P3 P4 P3 P5 Opération 3 Opération 4 Opération 5 T3 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive mieux ! pas terrible ! Faut c’qui faut, rien de plus, rien de moins ! Diapositive n° 27 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

28. P1 P2 T1 T2 Opération 1 Opération 2 P5 P3 P4 P6 Opération 3 Opération 4 Opération 5 P7 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive ATTENTION, toutefois, à ne pas regrouper des traitements qui ne le sont pas ! T2 ne peut être regroupée avec T1 (du fait de P6) ; T3 ne peut être regroupée avec T2 (du fait de P7). T3 Diapositive n° 28 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

29. P1 P1 P2 P2 T2 T1 T1 T2 Opération 1 Opération 2 Opération 1 Opération 2 P5 P4 P3 P5 P3 P4 P6 Opération 3 Opération 4 Opération 3 Opération 4 Opération 5 Opération 5 P7 T3 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e2 - décomposition excessive pas simplifiable ! simplifiable ! T3 Diapositive n° 29 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

30. 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e3 - mélange de logiques Modélisation du système Lorsque l’on définit un RdP, à un moment, on se pose la question de savoir si l’on modélise le système globalement ou bien comme un ensemble de composants interagissants. La réponse à cette question engage le concepteur pour « la vie ». Il faut savoir !! C ’est l’un ou l’autre, mais pas les deux !! Modélisation d’un composant du système Diapositive n° 30 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

31. P1 P2 P4 T1 T2 P3 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e4 - places non ré-amorcées T1 et T2 sont des transitions alternatives. Pour chaque jeton de P2, on peut déclencher T1 ou T2. P3 est une condition nécessaire à l’exécution de T1 et à celle de T2. C’est un drôle de fusil à un seul coup, vot’ truc, mon gars ! [1, 3, 1, 1] T2 T1 Diapositive n° 31 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

32. P1 P4 P2 T1 T2 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e4 - places non ré-amorcées T1 et T2 sont des transitions alternatives. P3 Pour chaque jeton de P2, on peut déclencher T1 ou T2. P3 est une condition nécessaire à l’exécution de T1 et à celle de T2. C’est un drôle de fusil à un seul coup, vot’ truc, mon gars ! [1, 3, 1, 1] T2 T1 [0, 2, 0, 1] Blocage !! Diapositive n° 32 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

33. P1 P2 P4 T1 T2 P3 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e4 - places non ré-amorcées Il faut donc ré-amorcer la place P3 … des deux côtés !! Ce « montage » ne permet toutefois pas de garantir l’exécution des deux transitions T1 et T2 dans de bonnes conditions. Ça ne marche toujours pas ... Cf vérification de propriétés Diapositive n° 33 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

34. P2 P1 T1 P4 2 P3 3.1) Modélisation 3.1.3) Erreurs à éviter M.E.D.A.L. e5 - production sélective de jetons La transition T1 est déclenchée si les conditions P1 et P2 sont vérifiées. A la suite du déclenchement, les conditions P3 ET P4 sont vérifiées (P3 l’est deux fois). La production sélective de jetons survient lorsqu’une logique de type OU est mise en place. Sa détection est assez simple. Il suffit de paraphraser chaque transition (on exprime sa signification en français). Diapositive n° 34 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

35. 3.2) Vérification de propriétés M.E.D.A.L. • L’un des intérêts (le seul ?) de ce formalisme, • Nécessite le recours à la formalisation (matrice d’incidence, séquence de franchissement, vecteur de comptage, équation d’état), • Propriétés structurelles (structure du réseau) et/ou comportementales (évolution du réseau), • Calculs à prendre « par le bon bout », faute de quoi les résultats peuvent être erronés. Diapositive n° 35 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

36. 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. Un réseau peut être « réduit » à deux matrices, U+ et U-. Ces matrices sont des matrices dans lesquelles : U+ production U- consommation - les lignes correspondent aux places du réseau, - les colonnes correspondent aux transitions du réseau, - les éléments correspondent à l’effet du déclenchement des transitions sur les places. • O si pas d’effet • W (Tj, Pi) si Pi S (Tj) pour U+ • W (Pi, Tj) si Pi E (Tj) pour U- Diapositive n° 36 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

37. P1 P2 2 T1 P3 P4 T2 2 P5 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. U+ U- T1 T2 T1 T2 P1 1 0 P1 1 1 P2 0 0 P2 2 0 P3 1 0 P3 0 1 P4 0 0 P4 0 1 P5 0 2 P5 0 0 Ces matrices traduisent la structure et pas le marquage du réseau ! Diapositive n° 37 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

38. U T1 T2 P1 0 -1 P2 -2 0 P3 +1 -1 P4 0 -1 P5 0 +2 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. U+ U- T1 T2 T1 T2 P1 1 0 P1 1 1 P2 0 0 P2 2 0 P3 1 0 P3 0 1 P4 0 0 P4 0 1 P5 0 2 P5 0 0 La matrice d’incidence, U, est obtenue grâce à la formule suivante : U = U+ - U- Diapositive n° 38 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

39. P1 P1 P2 P2 2 U T1 T2 T1 T1 2 P1 0 -1 P3 P3 P2 -2 0 P4 P4 P3 +1 -1 P4 0 -1 T2 T2 P5 0 +2 2 P5 P5 2 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. RdP avec boucle * * Cette matrice d’incidence a un « point faible » : elle ne peut pas mettre en évidence une boucle. RdP sans boucle Diapositive n° 39 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

40. P1 U+ U- T1 T2 T1 T2 P2 P1 0 0 P1 0 1 P2 0 0 P2 2 0 T1 2 P3 1 0 P3 0 1 P3 P4 0 0 P4 0 1 P4 P5 0 2 P5 0 0 T2 P5 2 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. * La seule façon de faire cette détection est de travailler avec les matrices U+ et U-. RdP sans boucle Diapositive n° 40 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

41. P1 U+ U- T1 T2 T1 T2 P2 P1 1 0 P1 1 1 2 P2 0 0 P2 2 0 T1 P3 1 0 P3 0 1 P3 P4 0 0 P4 0 1 P4 P5 0 2 P5 0 0 T2 2 P5 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.1) Matrice d’incidence M.E.D.A.L. RdP avec boucle * La seule façon de faire cette détection est de travailler avec les matrices U+ et U-. Ces deux matrices U+ et U- différent d’un RdP à l’autre. Diapositive n° 41 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

42. [2, 5, 1, 4, 0] T2 T1 [2, 3, 2, 4, 0] [1, 5, 0, 3, 2] T2 T1 T1 [2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2] 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.2) Séquence de franchissement M.E.D.A.L. Une séquence de franchissement est un chemin dans le graphe des marquages accessibles. <T1> <T1, T1> <T2> <T2, T1> <T1, T2> Diapositive n° 42 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

43. 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.3) Vecteur de comptage M.E.D.A.L. Soit S une séquence de franchissement. On appelle vecteur de comptage de cette séquence, noté VS, le vecteur formé, pour chaque transition X, du nombre de fois où la transition X apparaît dans la séquence. S = <T1, T2, T2, T2, T4, T3> T = {T1, T2, T3, T4, T5, T6} VS = [1, 3, 1, 1, 0, 0] T6 T1 T2 T5 T3 T4 Diapositive n° 43 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

44. 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.3) Vecteur de comptage M.E.D.A.L. ATTENTION ! Ce vecteur ne fait que compter le nombre d’apparition des transitions. Il ne donne pas, comme la séquence, l’ordre dans lequel celles-ci ont lieu. T = {T1, T2, T3} V = [1, 2, 1] Le vecteur V ci-dessus est le vecteur de comptage de toutes les séquences de franchissement suivantes : <T1, T2, T3, T2> <T1, T3, T2, T2> <T3, T1, T2, T2> <T1, T2, T2, T3> <T3, T2, T2, T1> ... Diapositive n° 44 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

45. 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.4) Equation d’état M.E.D.A.L. L’équation d’état permet de calculer l’évolution du RdP. Elle est définie comme suit : Mt = M0t + U.VSt où Xt représente la transposée de X. M : marquage atteint après franchissement de la séquence S M0 : marquage initial avant franchissement U : matrice d’incidence VS : vecteur de comptage de la séquence Diapositive n° 45 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

46. P1 P2 M0t 2 2 U T1 T2 5 T1 P1 0 -1 1 P3 P2 -2 0 4 P4 P3 +1 -1 0 P4 0 -1 T2 P5 0 +2 2 P5 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.4) Equation d’état M.E.D.A.L. Quel est le marquage obtenu après franchissement de la séquence <T1, T1> ? S = <T1, T1> VS = [2, 0] Diapositive n° 46 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

47. M0t M0t 2 2 U T1 T2 5 5 P1 0 -1 0x2 - 1x0 1 1 VS P2 -2 0 -2x2 + 0x0 4 4 2 P3 +1 -1 1x2 - 1x0 0 0 0 P4 0 -1 0x2 - 1x0 P5 0 +2 0x2 + 2x0 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.4) Equation d’état M.E.D.A.L. Mt = M0t + U.VSt + x = + Diapositive n° 47 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

48. M0t M0t 2 2 5 5 0 0x2 - 1x0 1 1 -4 -2x2 + 0x0 4 4 2 1x2 - 1x0 0 0 0 0x2 - 1x0 0 0x2 + 2x0 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.4) Equation d’état M.E.D.A.L. + = + Diapositive n° 48 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

49. M0t 2 Mt 5 0 2 1 [2, 5, 1, 4, 0] -4 1 T2 4 T1 2 3 0 [2, 3, 2, 4, 0] [1, 5, 0, 3, 2] T2 0 4 T1 T1 0 0 [2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2] 3.2.1) Définitions complémentaires 3.2.1.4) Equation d’état M.E.D.A.L. + = Le marquage obtenu après franchissement de la séquence <T1, T1> est [2, 1, 3, 4, 0]. Diapositive n° 49 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY

50. 3.2.2) Vérification de propriétés 3.2.2.1) Vivacité et blocage M.E.D.A.L. Soit R (M) l’ensemble des marquages qu’il est possible d’atteindre à partir d’un marquage M. Une transition T est vivante si :  M  R (M0),  M’  R (M), tel que T est franchissable pour M’ Intérêt : La fonction d’un logiciel qui permet de quitter proprement l’application (avec une sauvegarde, par exemple) doit être vivante. Diapositive n° 50 IUP MIAGE - Université de NANTES AlainVAILLY