Тема: “Подобни триъгълници- упражнение върху признаците за подобност”

1. Тема: “Подобни триъгълници- упражнение върху признаците за подобност” Изготвил: Верка Тодорова Додникова, старши учител по математика в ЕГ”Бертолт Брехт”-гр.Пазарджик

2. Подобни триъгълнициОпределение:Триъгълникът ABC е подобен на триъгълника PQR , ако:І. Ъглите им са съответно равниІІ. Страните им са съответно пропорционални.

3. І признак Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник. Признаци за подобност на триъгълници

4. Признаци за подобност на триъгълници ІІ признак Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни.

5. Признаци за подобност на триъгълници ІІІ признак Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник.

6. Признак за подобност на правоъгълни триъгълници( ІV признак) Ако катет и хипотенуза от един правоъгълен триъгълник са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от друг правоъгълен триъгълник, то триъгълниците са подобни. . C P Q . R A B

7. Задача 1: Даден е триъгълник АВС, за който АС=12 cm. Върху АС е избрана т.D, така че дели АС в отношение 1:2, считано от т.А. През т.D е построена права, успоредна на ВС, която пресича АВ в т.Е. Да се намери дължината на DE, ако ВС е по-голяма от нея със 6 ст. ПОМИСЛИ! 1. ВЯРНО! 2. ПОМИСЛИ! 3. 4. ПОМИСЛИ!

8. Даден е триъгълник ABC със страни AB=10 cm, AC=6 cm. Точките M, Nи Pлежат съответно върху страните AB, BCи AC така, че AMNPе успоредник. Периметърът на успоредника е 14 cm. Намерете страните му. Задача 2. ПОМИСЛИ! ВЯРНО! ПОМИСЛИ! 1. 2. 3. 4. ПОМИСЛИ!

9. Задача 3. В равнобедрен триъгълник ABCс основа ABточката Oе центърът на описаната окръжност, а точките Hи M са средите съответно на ABи AC. Докажете, че ∆AHC~∆OMC. Ако R=4 cm и CH=6cm, BC=? ВЯРНО! 1. ПОМИСЛИ! 2. ПОМИСЛИ! ПОМИСЛИ! 3. 4.

10. Задача 4. Точките Mи N са среди съответно на основата ABи бедрото AC на равнобедрения ∆ ABC, като AC=24 cmи CM=18 cm. Точката Pлежи на лъча CM→така, че CP=16 cm.Да се докаже, че PN е симетрала на AC. Да се намери радиусът на на описаната около ∆ ABCокръжност. ПОМИСЛИ! ПОМИСЛИ! 1. ПОМИСЛИ! 2. ВЯРНО! 3. 4.

11. Задача 5. Страните на∆АВС са АВ=15 сm. и АС=20 сm. Върху тях лежат съответно точките M и N така, че AM=12 сm. и AN=9 сm. Да се докаже, че ∆АВС ~ ∆АNM и че около BCNM може да се опише окръжност. C 20cm N 9cm 12cm A M B 15cm

12. Задача 6. Основите на трапец ABCD са АB=9cm. и СD=4cm., а единият му диагонал е 6cm. Да се намерят бедрата му, ако разликата им е 2,5cm. ВЯРНО! ПОМИСЛИ! С D 4cm 1. 6cm 2. 3. В А 9cm 4. ПОМИСЛИ! ПОМИСЛИ!

13. Задача 7. Височината DE на равнобедрения трапец ABCD разделя диагонала АС в отношение 2:3, считано от А. Да се намери с колко сантиметра трябва да се продължат бедрата му до пресичането им, ако AB=28cm. и AD=20cm. N ПОМИСЛИ! ПОМИСЛИ! ВЯРНО! 1. D C ПОМИСЛИ! 2. 3. M E A B 4.

14. Решение на задача 1: От АD:DC=1:2 и АС=12 ст. AD= 4 cm.; DC= 8 cm. ОзначавамеDE= x, x>0 BC= x+6 За ∆ АВС и ∆AED имаме: 1. ∢А – общ и 2. ∢AED = ∢ABC ( съответни ъгли, получени при пресичането на DEІІ ВС с АВ ) ∆ АВС ~ ∆AED ( по І признак) Следваща задача

15. Разглеждаме ∆ABCи ∆PNC PN║AB  1. ∢ CAB =∢ CPN – съответни 2. ∢ACB =∢ PCN – общ ∆ABC ∆PNC(I – ви признак ) Решение на задача 2: но PC =6-AP но P=142(PN+AP)=14 Отг. AP=4,5 cmиPN=2,5 cm Следваща задача

16. Решение на задача 3: т.O– център на описаната окръжностт.O лежи на пресечната точка насиметралите настраните. т.M – среда на ACOM е част от симетралата ∢OMC= 90; т.H– среда на ABOH е част от симетралата∢AHC= 90 Разглеждаме ∆AHC и ∆OMC1. ∢OMC = ∢ AHC = 902. ∢ACH – общ ∆AHC~∆OMC ( I –ви признак )  AC=2.MC , но  Следваща задача  

17. Решение на задача 4: Разглеждаме ∆ AMC и∆ PNC  1. 2. ∢NCP– общ от 1 и 2. по II-ри признак ∆ AMC  ∆ PNC но ∆ AMC – правоъгълен  ∢PNC=90 PN  AC PN разполовява AC PN е симетрала на AC т.P е пресечна точка на симетралите PN и CM т.Pе център на описаната окръжност PC=RR=16 cm. Следваща задача

18. C Решение на задача 5: 20cm N За ∆АВС и ∆АNM 9cm 12cm A M B 15cm ∆АВС ~ ∆АNM( ІІ признак ) 2.) ∢A- общ От ∆АВС ~ ∆АNM ∢ABC=∢ANM , но ∢ANM + ∢CNM =180 (изправен ъгъл)  ∢ABC + ∢CNM =180 Следваща задача  Около BCNM може да се опише окръжност.

19. С D 4cm Решение на задача 6: 6cm х+2,5 х Означаваме AD=x, x>0  BC=x+2,5 За ∆АВС и ∆CАD В А 9cm ∆АВС ~ ∆CАD ( ІІ признак ) 2.)∢BAC= ∢ACD(кръстни) Следваща задача

20. N Решение на задача 7: ∆АEM ~ ∆CDM ( І признак ) – защо? D C От ABCD – равнобедрен трапец M E A B ∆АBN ~ ∆DCN ( І признак ) – защо? , но AN=AD+DN

21. К Р А Й