Тасодифий миқдорлар. Дискрет тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонуни.

1. Тасодифий миқдорлар.Дискрет тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонуни.

2. Тасодифий миқдорлар • Таъриф. Тасодифий миқдор деб, аввалдан номаълум бўлган ва олдиндан инобатга олиб бўлмайдиган тасодифий сабабларга боғлиқ бўлган ҳам синаш натижасида битта мумкин бўлган қийматни қабул қилувчи миқдорга айтилади.

3. 1 – мисол. 100 та чақалоқ ичида ўғил болалар сони 0, 1, 2, … … , 100 қийматлар қабул қилиши мумкин бўлган тасодифий миқдордир. • 2 – мисол. Отилган сняряднинг учиб ўтган масофаси тасодифий миқдордир. Ҳақиқатдан ҳам бу масофа фақат нишонга олувчи асбобнинг техник кўрсаткичларига боғлиқ бўлмай, бошқа бир қанча тасодифий сабабларга ҳам боғлиқдир. Бу тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари бирор (a, b) оралиққа тегишли бўлади.

4. Тасодифий миқдорлар X, Y, Z, … бош ҳарфлар билан, уларнинг мумкин бўлган қийматлари тегишли x, y, z, … кичик ҳарфлар билан белгиланади.

5. II. Дискрет ва узлуксиз асодифий миқдорлар. • Таъриф. Дискрет тасодифий миқдор деб, айрим аниқ қийматларни маълум эҳтимол билан қабул қилувчи миқдорга айтилади. Юқорида кўрган 1 – мисолда кўрган тасодифий миқдор бўлади. Чунйи у 0, 1, 2, 3, … , 100 қийматлардан бирортасини аниқ эҳтимол билан қабул қилади. Дискрет тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлар сони чекли ва чексиз бўлиши мумкин.

6. Таъриф. Узлуксизтасодифиймиқдордеб, чеклиёкичексизоралиқдагибарчақийматларниқабулқилишимумкинбўлганмиқдоргаайтилади. Демак, узлуксизтасодифиймиқдорнингмумкинбўлганқийматларсоничексизбўлади. Юқоридагитанишганиккимисолдагитасодифиймиқдор узлуксиз миқдордир.

7. III. Дискрет тасодифий миқдорэҳтимолларинитақсимот қонунуи. • Таъриф. Дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни деб, мумкин бўлган қиймат билан уларнинг эҳтимолари орасидаги мосликка айтилади. Таксимот қонуни аналитик усулда (формула кўринишида), жадвал кўринишида ва график усулида берилиши мумкин.

8. Аналитик усулда • Х тасодифий миқдор эҳтимолларининг тақсимот қонуни деб, X тасодифий миқдорнинг Х дан кичик бўлган қийматини қабул қилиши эҳтимолидан иборат бўлган функцияга айтилади.

9. Жадвал усулида • Дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуну биринчи сатри Хn қийматларидан, 2 – сатри Рn эҳтимолларидан иборат бўлган жадвал кўринишида ифодаланади, яъни X: x1, x2, ……… , xn. P: p1, p2, ……… , pn. Буерда

10. Графикусулда • Тўғрибурчакликоординатасистемасида (xi, pi) нуқталарясалади, кейинулартўғричизиқкесмаларибилантуташтирилади. Ҳосилбўлганшаклтақсимоткўпбучагидебаталади.

11. Мисол. • Тақсимотқонуниқуйидагижадвалкўринишидаберилгантасодифиймиқдоручунтақсимоткўпбурчагиниясанг. X: 2 1 0 P: 0,25 0,5 0,25

12. Расм – 1. Тақсимоткўпбурчаги. p 1 0,75 (1, 0,5) 0,5 (1,0,25) 0,25 0 1 2 x

13. IV. Биноминалтақсимот.

14. Фаразқилайлик, n таэрклисиновларўтказилаётганбўлсин. Уларнингҳарбирида A ҳодисасинингрўйберишэҳтимолиРгаварўйбермасликэҳтимоли q=1-Ргатенгбўлсин. Х дискрет тасодифий миқдор сифатида А ҳодисанинг рўй беришлар сонини белгилаймиз. Х нинг мумкин бўлган қийматлари қуйидагича бўлади. Х1=0, Х2=1, Х3=2, ……… Хn+1=2n

15. Бу мумкин бўлган қийматларнинг эҳтимоллалари Бернулли формуласи ёрдамида топилади, яъни (k=0, 1, …, n) Таъриф. Эҳтимолларнинг биноминал тақсимоти деб, Бернулли формулаcи билан аниқланадиган эҳтимоллар тақсимотига айтилади.

16. Биноминалтақсимотқонунижадвалкўринишидақуйидагичаифодаланади.

17. Мисол. Танга 3 марта ташланди. Гербли томон тушишлар сони билдирувчи Х тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунини тузинг.

18. V. Пуассонтақсимоти.

19. АгардискреттасодифиймиқдорнингмумкинбўлганқийматларигамоскелувчиэҳтимолларПуассонформуласи, яъни • Формулаёрдамидааниқланадиганбўлса, уҳолдабундайтасодифиймиқдорПуассонтақсимотигабўйсунадидейилади.

20. Пуассонтақсимоти • жадвалкўринишидақуйидагичаифодаланади.

21. Мисол • Завод базага 5000 сифатли махулот юборади. Махсулотнинг йўлда шкастланиш эҳтимоли 0,0002 га тенг. Шикастланган махсулотлар сонидан иборат тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунинитузинг. Ечиш: Маълумки, Х тасодифий миқдор 0, 1, 2, … , 5000 қийматларни қабул қилади. Унингтақсимотқонуниқуйидагичабўлади.

23. VI. Геометрик тақсимот.

24. Қуйидаги мисолга мурожаат қиламиз. Фараз қилайлик, нишонга биринчи марта ўқ теккунга қадар ўқ узилсин. Х тасодифий миқдор сифатида отилган ўқлар сонини белгилаймиз. У ҳолда бу тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари Х1=1, Х2=2, ……… , Хn=n, ……… чексиз бўлиши мумкин. Агар ҳар бир отилган ўқнинг нишонга тегиш эҳтимоли р, тегмаслик эҳтимоли q бўлса, у ҳолда • P(x=1)=p • P(x=2)=pq (ўқнинг 1 – си тегмади. 2 – си тегди). • P(x=3)=pq2 (ўқнинг 1 – чи 2 таси тегмади, 3 – си тегди). --------------------------------------------------------------------------- • P(x=n)=pqn-1 (ўқлардан дастлабки n-1 таси тегмади, n – си тегди).

25. Таъриф. Эҳтимоллари Pk=qk-1p, k=1,2, … формула билан аниқланадиган дискреттасодифий миқдор геометрик қонунгабўйсунади деб аталади. Геметрик тақсимот жадвал кўринишида қуйидагича ифодаланади:

26. Мисол. • Х – битта кубикни ташлашда биринчи марта «6» очко тушгунча ўтказиладиган синовлар сони бўлсин. Бу ҳолда Х тасодифий миқдор параметрли геометриктақсимотга бўйсунади. Ушбу тақсимот қонунини жадвал кўринишида ифодалаймиз:

27. VII. Гипергеометрик тақсимот.

28. Фараз қилайлик, бош тўплам N та элементдан ўз ичига олсин. Бу элементлардан М таси маълум бир ҳусусиятларга эга бўлсин. Бу элементлардан тасодифий равишда n та (n<N) элемент олинсин. Х тасодифий миқдор сифатида олинган. Олинган элементлар ичидаги белгиланган хусусиятли элементлар сони бўлган. Бу ҳолда Х тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари Х1=0, Х2=1, Х3=2, … … … , ХL-1=L бўлади. Бу ерда L=min (n, M). • Бундай ҳолда тасодифий миқдорнинг ҳар бир m қийматни қабул қилиш эҳтимоли қуйидаги формула ёрдамида топилади:

29. Эҳтимоллари ана шу формула ёрдамида топилгпн тасодифий миқдорлар гипергеометрик тақсимотга эга бўлган тасодифий миқдорлар дейилади. • Мисол. Идишда 10 та шар бор, улардан 3 таси оқ. Идишдан таваккалига 3 та шар олинган. Х тасодифий миқдор олинган оқ шарлар сони бўлса, унинг тақсимот қонунини ёзинг.

30. Ечиш: Х тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари. Х1=0; Х2=1; Х3=2; Х4=3 Ушбу қийматларнинг эҳтимолларини топамиз:

31. Х тасодифий миқдорнинг тақсимот жадвалини тузамиз: Текширамиз: