第六章 树和二叉树

1. 第六章 树和二叉树 • 树的概念与定义 • 二 叉 树 • 二叉树的遍历与线索化 • 树和森林 • 哈夫曼树及其应用 • 树的计数*

2. 6. 1树的概念与定义 树的定义：树(tree)是n(n≥0)个结点的有限集T，当n=0时，称为空树；当n>0时，满足以下条件： （1）有且仅有一个结点被称为树根（root）结点； （2）当n>1时，除根结点以外的其余n-1个结点可以划分成m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)。

3. 图6.1 树的示例

4. 结点(node)：表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支。结点(node)：表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支。 • 结点的度(degree)：结点拥有的子树的数目。图6.1中结点A的度为3。 • 叶子(leaf)：度为0的结点称为叶子结点，也称为终端结点。图6.1中，叶子结点有：K，L，F，G，M，I，J。 • 分支结点：度不为0的结点称为分支结点，也称为非终端结点。图6.1中，非终端结点有：A，B，C，D等。

5. 孩子结点(child)：结点的子树的根称为该结点的孩子结点。图6.1中，结点A的孩子结点为B，C，D，结点B的孩子结点为E，F。 • 双亲结点(parents)：孩子结点的上层结点称为该结点的双亲结点。图6.1中，结点I的双亲为D，结点L的双亲为E。 • 兄弟结点(sibling)：具有同一双亲结点的孩子结点之间互称为兄弟结点。图6.1中，结点B，C，D互为兄弟，结点K，L互为兄弟。

6. 树的度：树中最大的结点的度数即为树的度。图6.1中的树的度为3。树的度：树中最大的结点的度数即为树的度。图6.1中的树的度为3。 • 结点的层次(level)：从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……。若某结点在第l层，则其孩子结点就在第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1，结点M的层次为4。 • 树的高度(depth)：树中结点的最大层次数。图6.1中的树的高度为4。 • 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的树的集合。

7. 有序树与无序树：树中结点的各子树从左至右是有次序的（不能互换）则称该树为有序树，否则称该树为无序树。有序树与无序树：树中结点的各子树从左至右是有次序的（不能互换）则称该树为有序树，否则称该树为无序树。

8. 6.2 二叉树 • 二叉树的定义：二叉树是由n(n≥0)个结点的有限集T构成，此集合或者为空集，或者由一个根结点及两棵互不相交的左右子树组成，并且左右子树都是二叉树。 • 注意：二叉树的子树有左右之分，因此二叉树是一种有序树。

9. 二叉树的性质： • 性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 • 性质2 深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1）。 • 性质3对任意一棵二叉树BT，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。 • 性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为┗log2n┛＋1。（符号┗x┛表示不大于x的最大整数。）

10. 二叉树的性质： • 性质5对于具有n个结点的完全二叉树，如果对其结点按层次编号，则对任一结点i(1≤i≤n)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是┗i/2┛ (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2i≤n，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1≤n，则其右孩子是2i+1

11. 满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。 • 完全二叉树：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为完全二叉树。 • 请判断在下列二叉树中，哪些是完全二叉树？哪些不是完全二叉树？

12. 1 2 3 1 4 5 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 2 3 2 3 4 5 6 7 6 4 5 8 9 10 11 12

13. 二叉树的存储结构 a b c d e φ φ φ φ f g • 顺序存储结构 :为了能够反映出结点之间的逻辑关系，必须将它“修补”成完全二叉树，对应该完全二叉树，可以开辟长度为11的数组，对11个数据元素进行存储，原二叉树中空缺的结点在数组中的相应单元必须置空

14. Lchild data rchild 二叉树的存储结构 • 链式存储结构 :表示二叉树的链表中的结点应该包含3个域：数据域和指向左、右子树的指针域，二叉树的这种存储结构被称为二叉链表。 在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域

15. 6.3 二叉树的遍历与线索化 二叉树的遍历：是按某条搜索路径访问树中的每一个结点，使得每一个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。 • 先根遍历二叉树 （1）访问根结点； （2）先根遍历左子树； （3）先根遍历右子树。

16. 中根遍历二叉树 （1）中根遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中根遍历右子树。 • 后根遍历二叉树 （1）后根遍历左子树； （2）后根遍历右子树； （3）访问根结点。

17. 算术表达式的二叉树表示及其三种遍历序列 先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-

18. 二叉树在二叉链表存储结构下的数据类型定义如下：二叉树在二叉链表存储结构下的数据类型定义如下： typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;

19. 先根遍历算法 • void preorder(Btree root) • { • if(root!=NULL) • { • Visit(root->data); • preorder(root->Lchild); • preorder(root->Rchild); • } • }

20. 中根遍历算法 • void InOrder(Btree root) • { • if(root!=NULL) • { • InOrder(root->Lchild); • Visit(root->data); • InOrder(root->Rchild); • } • }

21. 后根遍历算法 • void PostOrder(Btree root) • { • if(root!=NULL) • { • PostOrder(root->Lchild); • PostOrder(root->Rchild); • Visit(root ->data); • } • }

22. Lchild Ltag Data Rtag Rchild 线索二叉树：利用二插链表剩余的n+1个空指针域来存放遍历过程中结点的前驱和后继的指针，这种附加的指针称为“线索”，加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树。 为了区分结点的指针域是指向其孩子的指针，还是指向其前驱或后继的线索，可在二叉链表的结点中,再增设2个标志域。

23. 0 Lchild域指示结点的左孩子Ltag= 1 Lchild域指示结点的遍历前驱 0 Rchild域指示结点的右孩子Rtag= 1 Rchild域指示结点的遍历后继

24. 二叉树以及它的中序线索二叉树 (a) 二叉树 (b) 中序线索二叉树

25. 基于遍历的应用与线索二叉树的应用 二叉树的遍历是对二叉树进行各种运算的一个重要基础，对访问（程序中的visit函数）结点可理解为各种对二叉树中结点进行操作。因此，只要将二叉树三种遍历算法中的visit函数具体化，就产生了基于二叉树的不同应用。

26. 输出二叉树中的结点（先根遍历实现） Void paintnode (Btree root) { if (root!=NULL) { printf (root ->data); paintnode (root ->Lchild); paintnode (root ->Rchild); } }

27. 输出二叉树中的叶子结点（先根遍历实现） Void paintleaf (Btree root) { if (root!=NULL) { if(root->Lchild==NULL && root->Rchild==NULL) printf (root ->data); paintleaf (root ->Lchild); paintleaf (root ->Rchild); } }

28. 统计叶子结点数目（后根遍历实现） Void leafcount(Btree root) { if(root!=NULL) { leafcount(root->Lchild); leafcount(root->Rchild); if (root ->Lchild==NULL && root ->Rchild==NULL) count++; } } 提示：count为全局变量，在主函数中定义。

29. 建立二叉树 图中二叉树的先根遍历序列为：ABDGCEHF，而考虑空子树后的先根遍历序列应为：ABD．G．CE．HF，其中“．”代表空子树。

30. 如果已知二叉树的考虑了空子树后的遍历序列，那么建立这棵二叉树的算法如下(假定datatype类型为char)：如果已知二叉树的考虑了空子树后的遍历序列，那么建立这棵二叉树的算法如下(假定datatype类型为char)： Void CreateBtree(Btree *bt) { char ch; ch=getchar(); if(ch=='.') *bt=NULL; else { *bt=(Btree)malloc(sizeof(BTnode)); (*bt)->data=ch; CreateBiTree(&((*bt)->Lchild)); CreateBiTree(&((*bt)->Rchild)); } }

31. 求二叉树的高度 采用递归的方法定义二叉树的高度： （1）若二叉树为空，则高度为0； （2）若二叉树非空，其高度应为其左右子树高度的最大值加1。 int TreeDepth(Btree bt) { int hl,hr,max; if(bt!=NULL) { hl=TreeDepth(bt->Lchild); hr=TreeDepth(bt->Rchild);

32. max=(hl，hr); return(max+1); } else return(0); }

33. 在中根遍历的线索树中查找前驱结点 对于二叉树中任意结点p，要找其前驱结点,当p->Ltag=1时，p->Lchild即为p的前驱结点；当p->Ltag=0时，说明p有左子树，此时p的中根遍历下的前驱结点即为其左子树右链下的最后一个结点。 Void Previous(ThreadTnode * p, ThreadTnode *pre) {ThreadTnode *q; if(p->Ltag==1) pre= p->Lchild; else { for(q= p->Lchild;q->Rtag==0;q=q->Rchild); pre=q; } }

34. 在中根遍历的线索树中查找后继结点 二叉树中任意结点p，若要找其后继结点，当p->Rtag=1时，p->Rchild即为p的后继结点；当p->Rtag=0时，说明p有右子树，此时p的中根遍历下的后继结点即为其右子树左链下的最后一个结点。 Void Succedent(ThreadTnode *p, ThreadTnode *succ) {ThreadTnode *q; if (p->Rtag==1)  succ= p-> RChild; else { for(q= p->RChild; q->Ltag==0 ;q=q->LChild ); succ=q; } }

35. 6.4 树和森林 树的存储结构 • 双亲（链表）表示法 • 用一组连续的存储空间（数组）来存储树中的结点，每个数组元素中不但包含结点本身的信息，还保存该结点双亲结点在数组中的下标号。数组中每个结点含两个域： • 数据域：存放结点本身信息 • 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置

36. 在双亲表示法下，树的数据类型定义如下：#define Maxsize 50typedef struct Node{ DataType data; int parent;}Tnode;Tnode Ptree[Maxsize];

37. a b c a f d e b c g h i d e f g h i 树的双亲（链表）表示法（图6.10） data parent －1 0 0 1 0 2 1 3 1 4 2 (a) 树 5 4 6 4 7 如何找孩子结点 4 8 (b) 树的双亲表示法下的存储结构

38. 孩子链表表示法 把每个结点的孩子结点排列起来，构成一个单链表，该单链表就是本结点的孩子链表。具有n个结点的树就形成了n个孩子链表 • 表头结点类型 • typedef struct • { • DataType data; • ChildNode * ChildHead ; • }DataNode; • 孩子链表 DataNode Ctree[Maxsize]; • 孩子结点类型 #define Maxsize 50 • typedef struct ChildNode • { • int Child; • struct ChildNode * next; • }ChildNode;

39. 图6.10所示的树的孩子链表表示法

40. FirstChild data Nextsibling • 孩子兄弟链表表示法 该表示法又称为二叉链表表示法，即以二叉链表作为树的存储结构。链表中每个结点设有两个链域，与二叉树的二叉链表表示法所不同的是，这两个链域分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟（右兄弟）。 typedef struct CSNode { DataType data; Struct CSNode *FirstChild, *Nextsibling; }*CSTree;

41. 图6.14 树的孩子兄弟链表表示法 树和二叉树之间的相互转换的关系如下：

42. 对应 结论：树的孩子兄弟链表表示法与对应二叉树的二插链表表示法相同。因此，上图中的树与二叉树之间存在相互转换的关系。

43. A A A B B B C C C D D D A E E E F F F G G G H H H I I I B A E C F D B C D G H E F G H I I • 树转换为二叉树 • 加线：在树中所有相邻的兄弟之间加一连线； • 抹线：对树中每个结点，除了其左孩子外抹去该结点与其余孩子之间的连线。 • 整理：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°。 树转换成的二叉树其右子树一定为空

44. G G G E G A H H H H I F B C D I I I J J J J A A A B E E E B B C F F F C C D D D • 森林转换成二叉树 • 将各棵树分别转换成二叉树 • 将每棵树的根结点用线相连 • 以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构

45. A A A B B A B E C E C E C B C D F D F D A F D E F G H I G H B G H G H E C I I I F D G H I • 二叉树转换成树 • 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来 • 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 • 调整：将结点按层次排列，形成树结构

46. G G G E G A H H H H I F B C D I I I J J J J A A A B B E E E B C C F F F C D D D • 二叉树转换成森林 • 抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支 搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树 • 还原：将孤立的二叉树还原成树

47. 树和森林的遍历 • 树的遍历 • 先根遍历 若树非空，则遍历方法为： a.访问根结点。 b.从左到右，依次先根遍历根结点的每一棵子树。 • 后根遍历 若树非空，则遍历方法为： a.从左到右，依次后根遍历根结点的每一棵子树。 b.访问根结点。 • 按层次遍历 若树非空，则遍历方法为： 先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n 层的结点。

48. A B C D G E F H J K L M I N O A B E F I G C D H J K L N O M 先根遍历： E I F G B C J K N O L M H D A 后根遍历： A B C D E F G H I J K L M N O 层次遍历：

49. 森林的遍历 • 先根遍历 若森林非空，则遍历方法为： a.访问森林中第一棵树的根结点。 b.先根遍历第一棵树的根结点的子树森林。 c.先根遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 • 中根遍历 若森林非空，则遍历方法为： a.中根遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 b.访问第一棵树的根结点。 c.中根遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 • 后根遍历 若森林非空，则遍历方法为： a.后根遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 b.后根遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 c.访问第一棵树的根结点。

50. 图6.18(a)所示的森林 上述森林的三种遍历序列如下： 先根遍历：A B C D E F G H I J 中根遍历：B C D A F E H J I G 后根遍历：D C B F J I H G E A