研究性学习课题： 复数与平面向量、三角函数的联系

1. 研究性学习课题： 复数与平面向量、三角函数的联系

2. 教学目标 1．知识目标：理解复数的向量表示和三角表示，了解复数的开平方． 2．能力目标：培养学生勇于质疑和善于反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数 学问题的能力；培养学生的创新意识和实践能力． 3．情感、价值观目标：了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创 造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神．

3. 以上三个目标是从以下三个方面确定的： ①根据教材内容及新大纲的教学要求，确定第一个教学目标． ②由于本节是研究性学习课题，有助于学生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确定第二教学目标． ③在研究性学习活动中，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标．

4. 重点难点分析 教学重点：复数的向量表示和三角表示、复数的开平方运算． 教学难点：复数与二维向量一一对应的实质和向量 与 的长度r以及 与x 轴的夹角θ组成的有序实数对(r， θ)一一对应的实质．

5. 第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述． (学生活动)思考、回答问题． 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的集合有何对应关系? 问题3在直角坐标系中，平面向量以 如何用坐标表示?通过向量的坐标表示，你对复数的表示有何想法?

6. [讲述]我们学习了复数可用代数表示，刚才同学们也想到了复数有可能用向量表示，本节课我们研究复数的向量表示． 设计意图：复习已学知识，为本节课学习做知识铺垫，引导学生提出研究课题．

7. 二、新课讲授 【确定研究方案】 (教师活动)以向量的坐标表示为例，分析数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循哪些原则?引导学生确定研究方案． (学生活动)确定研究复数向量表示的内容及方案．

8. [字幕]向量的坐标表示遵循了下列原则： (1)向量 与有序实数对(x，y)存在一一对应关系； (2)平面向量坐标运算的合理性． [提问]我们研究复数的向量表示，要从哪几个方面去思考、分析? (学生回答) 设计意图：引导学生确定研究复数向量表示的方案．

9. 【小组研究学习】 (教师活动)将全班划分为10个小组，在各小组内进行．引导学生自主探究，巡视 学生探索过程，了解学生的进展情况． (学生活动)学生自主探究，合作学习，交流研究方法和研究成果，各组组内展开讨 论，提出方法并自主探索复数向量表示的运算方法．(详细过程略)

10. 【班级讨论研究】 (教师活动)要求各小组简述解决方案以及解决的思维过程并展示研究结果，总结 学生研究结果． (学生活动)小组代表简述解决方案以及解决的思维过程．投影研究结果。 【学生简述、展示研究结果】(略)

11. [字幕]设复平面内的点Z(a，b)表示复数z=a+bi，连结OZ．则：[字幕]设复平面内的点Z(a，b)表示复数z=a+bi，连结OZ．则： ①向量 由点Z唯一确定，点Z由向量 唯一确定． 就是复数z=a+bi的向 量表示．复数0用 表示．

13. ③用向量 的长度(模)r来表示复数z=a+bi的“绝对值”的大小，称为复数z= a+bi的模，记作l z l或Ia+bi I或r．则 ④用向量 与x轴的夹角(以轴的非负半轴Ox为始边)表示复数Z=a+bi的方向，则 ，其中θ的取值范围是

14. 【例题示范，学会应用】 (教师活动)打出字幕(例题)，分析解题思路，完成解答，并点评． (学生活动)思考，与教师一道分析，尝试完成例题解答． [字幕]例1求复数z1=3+4i及 的模，并且比较它们的模的大小．

15. 解： 因为5>3/2，所以l zl>lz2l． [字幕]例2 向量 表示的复数为3+2i，将向量 向上平移3个单位长度再向左平移2个单位长度，得到向量 ，分别写出： (1)向量 对应的复数；(2)点O’对应的复数；(3)向量 对应的复数．

16. [分析]根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在复平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数；而模长不变、方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数． 解如图所示，O为原点， 点A的坐标为(3，2)，向 上平移3个单位长度再向 左平移2个单位后，点O’ 的坐标为(一2，3)．点A’ 的坐标为(1，5)，坐标平

17. 移不改变 的方向和模 (1)向量 对应的复数为3十2i； (2)点O’对应的复数为-2+3i； (3)向量 对应的复数为-3-2i． [点评]根据复平面内向量平移的不变性，我们可以把起点不在原点的向量移到原 点，使许多问题的求解变得简单．

18. [字幕]例3设z=a+bi(a，b∈R)满足I I z l-4 l+l z I-4=0，且a≥1，b≥-1，画出复数2所对应的点的集合的图形． [分析]在复平面内要确立一个复数对应的点的集合，必须找到其实部与虚部的关系，即转化为实数方程．本例是一个非常规的方程，如果用模的计算进行转化，将要解一个含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方程，不易得到结论．仔细观察已知条件并注意到复数的模是一个非负数这一性质，我们可以用整体观点处理求解．

19. 解因为l l z l-4 l+l z I-4=0，所 以I I z I-4 I=-(l z I-4)．又由l z-4 l∈R，且根据实数绝对值的性质，知l zl4≤0． 所以I z I≤4，以a2+b2≤16，又由a≥ 1，b≤-1知Z(a，b)构成的集合的图形 如图中阴影部分所示(包括边界)．

20. [点评]在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧． [点评]在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧． 设计意图：通过例题的学习，让学生学会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基本解题技巧。培养学生转化、数形结合的数学思想及良好的思维品质． 【课堂练习】 (教师活动)打出字幕(练习题)，要求学生完成，并请两位同学板演．巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正。

21. (学生活动)完成练习解答，板演． [字幕]练习题： 设z∈C，满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图形?画出其图． (1)z=cosθ+isin θ(0≤ θ <2π)； (2)l z l2-4 I z l +3≤0． 设计意图：加深复数向量表示的理解，沟通复数与解析几何之间的联系．反馈教学 信息，调节课堂教学． 【分析归纳，小结解法】 (教师活动)教师根据反馈的信息，点评练习题解题思路，小结解题方法．

22. (学生活动)学生听教师讲评，领悟解题思想方法，并记录笔记．(学生活动)学生听教师讲评，领悟解题思想方法，并记录笔记． [练习题答案] (1)解法1 因为 所以点z的集合是以原点为圆心，以1 为半经的圆．

23. 解法2 设z=x+yi(z，y∈R)，则x+yi=cosθ+isin θ．根据两个复数相等的充要条件，得{ (0≤ θ <2π)．消去参数得：x2+y2=1．所以点Z的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆． (2) l z l2-4 I z l+3≤0，(l z I-3)(I z I-1)≤0，l≤l z l≤3．所以点Z的集合是以 原点为圆心，1为内半径，3为外半径的圆环，包括圆环的边界，图(略)．

24. [字幕]小结 1．在复平面内求的点集合表示的图形，一般有两个途径： (1)设z=z+yi(z，y∈R)，根据已知条件求出z，y满足的方程，注意运算过程 中化简的等价性； (2)充分考虑复数的整体性，直接探求动点所对应的复数z具有的特征和满足的方程．

25. 三、小结 (教师活动)教师总结本节课所学的知识要点 (学生活动)学生回忆，与教师一道归纳，并记录笔记． [字蒂]1．本节课学习了把复数用复平面内的向量表示和复数的模． 2．本节课渗透的数学思想方法有：转化、数形结合等数学思想方法；渗透的解题技巧有：整体、化归等观点． 设计意图：培养学生归纳、总结问题的能力，加深对已学知识的理解，便于学生课 后复习

26. 四、布置作业 已知集合A={z l z=x+yi，x，y∈R，且y≥一2}，B={z l z∈C且2≤l z I≤4} 求复平面内A ∩B表示的图形面积． 设计意图：供学生思考复数与平面几何、平面解析几何之间的联系．

27. [作业答案] 不难求出A ∩ B表示的图形如图所示的阴 影部分，包括边界，其中大圆面积S1=16π，小圆面积S2=4 π． 再求弓形ABC的面积，在Rt△OCD中， l OD l=2，l OC I=4，则I CD I = ，∠DOC= π /3．所以弓形ABC的面积S3=S扇形ABC－S△ABC=16/3 π－ 所以A ∩ B表示的图形面积为 S1一S2一S3=20 π /3+ ．