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一、基本概念 1.代数系统 运算， S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算

一、基本概念 1.代数系统 运算， S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算 代数系统 ： 一个非空集合 S, 与一个或若干个定义在 S 上的运算 Q 1 ,…,Q k (k  1), 就构成了一个代数系统, 表示为 [ S;Q 1 ,…,Q k ] 。 单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律 同态，同构. 2.相容

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一、基本概念 1.代数系统 运算， S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算

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Presentation Transcript

  1. 一、基本概念 • 1.代数系统 • 运算， SnS的映射称为S上的n元运算 • 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成了一个代数系统, 表示为 [S;Q1,…,Qk]。 • 单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律 • 同态，同构

  2. 2.相容 • 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。 • 3.半群，拟群，群 • 有关定理 • 4.元素的阶和群的阶 • 定义,结论

  3. 5.子群与陪集 • 概念,定理,陪集的实质 • 6.商群与群同态基本定理 • 7.环的基本概念 • 环的零元,环的单位元,交换环 • 在环中讨论元素可逆 • 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) • 8.特征数 • 整环的特征数9.子环，理想，商环 • 9.主理想,主理想环 • 10.多项式环

  4. 11.扩域与单扩域 • 线性空间与域的关系 • 素域 • 12.代数元与代数扩域 • 极小多项式 • 13.根域 • 根域的存在性与唯一性(同构意义下) • 14.有限域，形式微商 • 15.本原元与本原多项式

  5. 二、证明及判别、计算 • 1.群 • 元素阶与群的阶 • 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 • 子群，正规子群的验证和证明 • 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 • H={xG|xe} • 对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有 • ex-1，所以x-1H， • 对任意的x,yH，有xe，ye， • 即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， • 所以xyH • 用群同态基本定理证明群同构

  6. 2.环 • 理想,子环的判别 • 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。 er为右单位元，对任意的a∈R， (era-a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元 • 设A是环R的理想，B是R的子集， B={b|对任意aA, ba=0}，证明：B是环R的理想。 • 商环中的元素表示 • 零因子 • 用环同态基本定理证明环同构 • 求多项式的逆

  7. 3.域 • 扩域,代数元 • 求 在有理数域上的极小多项式. • 4.根域 • 确定根域,及扩张次数 • 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 • 重根与形式微商 • Zp上n次不可约多项式根域 • 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()

  8. 5.本原元与本原多项式 • 有关定理和结论的证明 • GF(pn)的表述,化简 • 求出所有本原元,本原多项式 • 已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？ • GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。由习题14.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

  9. 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式?已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式? • 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 • f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) • 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: • (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, • (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. • 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

  10. 已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 • 与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14 • ，2， 4， 7， 8， 11， 13， 14， • (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8) • (x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23) • =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

  11. 定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 • (1)p不能整除an； • (2)p|a0,a1,┅,an-1； • (3)p2不能整除a0； • 那么，f(x)在有理数域上不可约。 • 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 • p=3

  12. 基本概念要清楚 • 熟知的数集上性质 • 注意按照定义和规则，不能想当然 • 要有一定的灵活，善于思考

  13. 考题类型： • 判断说明理由； • 证明，说明，计算 • 考试时间：5月8日9:50—11:35 • 地点：Z2108 • 占总分40%

  14. 第十六章 格与布尔代数 §1 偏序与格

  15. 一、格的一般概念 • 偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P 及在P上定义的偏序关系≤构成 • 在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b或b≤a 时称P为全序。 • 定义16.1:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。

  16. 定义16.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。定义16.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。 • 当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,则称c1,,ck为连接a,b的链。如果L的任何两个元素a<b,总有连接它们的链, 则称L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。

  17. 例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集,例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集, 并且是格. 称为G的子群格 • 例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关系构成一个偏序集 并且是格. 称为G的不变子群格

  18. 例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系, 对任(a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这是一个偏序关系。并且(Bn,≤n)是格.

  19. 格的定义是:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。 • 定义16.3(L;≤)为偏序集, 当任AL有最大下界,最小上界时,L显然是格,称为完全格。L自身的最小上界是整个格L的最大元,记为1;L自身的最大下界为整个格L的最小元,记为0。于是任xL,x≤1,0≤x。 • 注意: 此处的子集A可以是有限的, 也可以是无限的。 • 例如前面的子群格L(G)是完全格.

  20. 例:取S={a,b,c},(P(S);)是一个格,其最大元是S={a,b,c},最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界, 如{{a},{a,c},{c}}的最大下界是,最小上界是{a,c};它是一个完全格。 • 要说明的是并不是所有的格都是完全格.

  21. 二、作为代数系统的格 • (L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而最小上界和最大下界都是L中的元素。 • 在格(L;≤)中，对任意两个元素a,bL,可唯一确定ab和ab,且它们都属于L，和看作为集合L上的2个二元运算

  22. 定理16.1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有: • (1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; • (2)a≤b当且仅当ab=b; • (3)a≤b当且仅当ab=a。

  23. 非空集合L上和这两个二元运算所具有性质，[L;,]为一个代数系统。非空集合L上和这两个二元运算所具有性质，[L;,]为一个代数系统。 • 定理16.2:(L;≤)为格,任a,b,cL有: • L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

  24. 对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点 • 引理16.1:在[L;,]中二元运算,满足L1～L4,则对任a,bL,ab=a,当且仅当ab=b。 • 引理16.2：在[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。 • 自反: • 反对称: • 传递:

  25. 在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。 • (L;≤)是否为格？ • 关键证明存在最小上界和最大下界 • 因此考虑是否能证明ab,ab为最小上界和最大下界 • 先证明ab是a和b的上界, • 即是否成立a≤ab, b≤ab • L1～L4 • 然后证明ab为a和b的最小上界 • 即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u, • 必有ab≤u

  26. 定理16.3:如引理16.2所得之偏序集(L;≤)为格。 • 定义16.4: [L;,]为一代数系统,,为定义在L上的二元运算,当其满足L1～L4时，称L为格。并称为积(或交),为和(或并)

  27. 例：Z+表示正整数集，对任意a,bZ+,定义:ab=(a,b) (最大公因子) ab=[a,b] (最小公倍数) ,是Z+上的二元运算 它们满足L1～L4 取Z+的子集P={2n|n=1,2,} 有最大下界2,无最小上界，所以它不是完全格。

  28. 作业P219 3,8,9

  29. L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

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