TRÓJKĄTY

1. TRÓJKĄTY Opracowała: Teresa GĘBICKA

2. C g c b a < b + c i a > b - c b < a + c i b > a - c c < a + b i c > a - b a b B A a TRÓJKĄT wielokąt o 3 bokach Trójkąt ABC -  ABC posiada: wierzchołki: A, B, C; boki: AB=a, BC=b, CA=c; kąty: CAB=a, ABC= b, ACB= g Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych , ale większą od ich różnicy .

3. =90 o 90 < o g g g a b a b a b a <90 <90 <90 <90 <90 <90 <90 <180 o o o o o o o o a a b b b g g g Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty Trójkąt ostrokątny- wszystkie kąty ostre Trójkąt prostokątny-jeden kąt prosty Trójkąt rozwartokątny-jeden kąt rozwarty

4. a c b a b b a a a a a a a a a = b = c Wszystkie kąty mają taką samą miarę a = 60 o Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki Trójkąt różnoboczny -każdy bok ma inną długość Trójkąt równoramienny-przynajmniej dwaboki tej samej długości Trójkąt równoboczny-wszystkie boki są tej samej długości a - podstawa trójkąta b - ramiona trójkąta Kąty przy podstawie mają taką samą miarę Kąty mają różne miary

5. TWIERDZENIE: Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.  +  +  = 180  k C  = = są to kąty naprzemianległe   B A DOWÓD: Rysujemy pomocniczą prostą k równoległą do boku AB, przechodzącą przez wierzchołek C.  zatem  +  +  = +  +. Ponieważ ++ = 180, więc również  +  +  = 180. zadanie

6. g b a z z y x x y o Suma kątów zewnętrznych wynosi 720 Kąty zewnętrzne trójkąta Kątem zewnętrznym w trójkącie nazywamy, kąt przyległy do kąta wewnętrznego. Kąt zewnętrzny x, przylega do kąta wewnętrznego a Kąt zewnętrzny trójkąta, to kąt utworzony przez jeden bok trójkąta . i przedłużenie drugiego boku. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie 2 kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. x = b + g y = a + g z = a + b zadanie

7. h1 . h2 h1 . h2 . . h3 h1 h3 . . h2 h3 . Wysokości w trójkącie h1, h2, h3- wysokości trójkąta Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. W każdym trójkącie można poprowadzić 3 wysokości, które przecinają się w jednym punkcie. O. .O W trójkącie prostokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży w wierzchołku kąta prostego. .O W trójkącie ostrokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży wewnątrz trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży na zewnątrz trójkąta.

8. C  dwusieczna kąta   r A B Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli kąt, na dwa kąty przystające. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt . Każdy bok trójkąta jest styczny do okręgu. Trójkąt jest opisany na okręgu, a okrąg wpisany jest w trójkąt. . O zadanie

9. k . . . A B C r A B Symetralne boków trójkąta Symetralna odcinka to prosta prostopadła, dzieląca odcinek na dwie równe części inaczej: oś symetrii odcinka, która jest do niego prostopadła. Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Każdy wierzchołek trójkąta leży na okręgu. Okrąg jest opisany na trójkącie. Trójkąt jest wpisany w okrąg. . O symetralna boku AB symetralna boku BC symetralna boku AC

10. C środkowa . D A B E F C S A D B czyli SD = CD SD = SC EF AB 1 1 1 2 2 3 i EF = AB Środkowa trójkąta Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W trójkącie możemy poprowadzić 3 środkowe. Przecinają się one w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. 4 1 3 2 Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych. Punkt S dzieli każdą ze środkowych w stosunku 1:2 Odcinki łączące środki boków są równoległe do przeciwległych boków i równe są ich połowie Jeżeli w trójkącie połączymy odcinkami środki jego boków, to otrzymamy 4 takie same (przystające) trójkąty.

11. g1 g a b a1 b2 Cechy przystawania trójkątów e f c b d a I cecha przystawania trójkątów (b b b) Jeżeli 3 boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające: a = d b = e c = f. II cecha przystawania trójkątów (b k b) Jeżeli 2 boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta, są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. a = d c = f a = a1 III cecha przystawania trójkątów (k b k) Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta, są odpowiednio równe bokowi i 2 kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. b = e b = b1g = g1

12. g1 b1 g c1 c b b a b1 a a1 a1 a1 b1 c1 = = abc a1 b1 = ab b = b1 Cechy podobieństwa trójkątów I cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne: II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli miary 2 kątów jednego trójkąta, są równe miarom 2 kątów drugiego trójkąta to trójkąty są podobne. a = a1b = b1 III cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

13. b c h b b a a h h a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 c b . . . . P = a h P = a h P = a h P = a b a Ob - obwód P - pole Pole i obwód trójkąta dowolny trójkąt trójkąt równoramienny Ob = a + b + c Ob = a +2 b trójkąt równoboczny trójkąt prostokątny Ob = 3a Wysokość w trójkącie równobocznym wynosi: Ob = a+b+c wtedy pole obliczamy:

14. c) a) b) 32º 2x x 3x x x 40º 70º x Zadanie 1. Znajdź miary kąta x w trójkątach: rozwiązanie Zadanie 2

15. Rozwiązanie Przy obliczeniach wykorzystujemy twierdzenie, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º a) 40º+x+32º=180ºx+72º=180ºx=180º-72ºx=108º b) x + x + 70º = 180º2x = 180º - 70º2x = 110ºx = 55º c) x+2x+3x=180º6x=180ºx=30º

16. a) b) B A 30 B 95 . y D O O y 40 x 20 50 A x C C D AB CD Zadanie 2. Znajdź kąty x i y.

17. 105 y x a 31 Zadanie 3. Znajdź miary kątów zewnętrznych x i y. rozwiązanie

18. Rozwiązanie Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to brakujący kąt wewnętrzny trójkąta ma miarę : a = 180°- 105° - 31º = 44° . Kąt x jest kątem przyległym do kąta a. Suma kątów przyległych wynosi 180°, więc: x + a = 180º x + 44º =180º x=180º - 44ºx=136º Kąt y jest kątem przyległym do kąta 31º ,więc: y + 31º = 180ºy=180º - 31ºy = 149º Odpowiedź: Kąty zewnętrzne trójkąta mają miary odpowiednio równe x=136º i y=149º.

19. Zadanie 4. Dany jest trójkąt o kątach przy podstawie 70º i 80º a) wyznacz kąt pod jakim przecinają się dwusieczne tych kątów; b) wyznacz kąt , pod jakim przecinają się wysokości poprowadzone z wierzchołków tych kątów. Uwaga. Podając kąt, pod jakim przecinają się proste nieprostopadłe, będziemy podawać kąt ostry. rozwiązanie

20. Rozwiązanie C b) a) . F . D O x   80º  70º A B C A Obliczamy kąt a: x x a y 40º+ a + 35º = 180ºa +75º = 180ºa = 180º - 75ºa = 105º 40º 35º 80º 70º B Obliczamy kąt między dwusiecznymi: x+ a =180ºx = 180º- ax = 180º- 105ºx = 75º z  ABF obliczamy kąt a 70º+90º+ = 180º160º+=180º=20º z  ABD obliczamy kąt b 80º+90º+=180º170º+=180º=10º Z  ABO obliczamy kąt g +  +  = 180º20º+10º+  =180º=150º Kąt x przylega to kąta g, więc  + x = 180º x= 180º-150ºx=30º Odp.: Dwusieczne przecinają się pod kątem 75º, a wysokości 30º.