EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII (průběh funkce - příklady)

1. EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII (průběh funkce - příklady)

2. PRŮBĚH FUNKCE je základní použití diferenciálního počtu, jehož cílem je řada výpočtů vedoucích ke zjištění co největšího počtu informací o dané funkci tak, abychom mohli poměrně přesně graf dané funkcenarýsovat. • Doporučený postup vyšetřování průběhu funkce: • Určíme definiční obor funkce. • Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. • Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. • Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. • Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. • Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. • Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech. • Narýsujeme graf funkce. Doporučení pro vaši práci • Výpočty zapisujte jasně a přehledně. Především závěry výpočtů je potřeba zapisovat jasně a přesně, protože získáte mnoho informací o funkci, které v závěru úlohy o vyšetřování průběhu funkce budete potřebovat pro přesné zakreslení (narýsování) grafu funkce. • Graf funkce kreslete (rýsujte) velmi pečlivě a přesně včetně vyznačení důležitých bodů, tečen, asymptot. • Vždy si představujte, že úlohu řešíte nejen pro sebe, ale také pro „spolupracovníka“, který se potřebuje ve vašich výpočtech i grafu funkce rychle orientovat. • Neodkládejte to, co můžete umět již nyní na později (na vysokou školu), protože se to musíte stejně naučit. Jistě pro vás bude na vysoké škole příjemné, když budete rozumět úvodním přednáškám i cvičením a budete vědět „o co jde“. Významně podpoří vaši sebedůvěru, když úvodní poznatky do „vyšší“ matematiky budete mít zažité již na konci gymnaziálních studií. Navíc doučováním toho, co jiní neumí, se dá i vydělat.

3. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Vyšetřete průběh funkce f. • Určíme definiční obor funkce. D(f) = R • Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. • Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R. Podle definice liché funkce platí:  x  R; x  D(f) – x  D(f)  x  D(f); – f(x) = f (– x) Pokud je funkce f lichá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; +  ). Graf funkce dorýsujeme pomocí středové souměrnosti podle počátku soustavy souřadné. • Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.

4. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R) ani asymptoty se směrnicí (a = –). • Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. y / = 4 – x2 y / = 0  4 – x2 = 0  x2 – 4 = 0 (x + 2) (x – 2) = 0  (x = – 2  x = 2) Body podezřelé z extrému jsou x = – 2, x = 2. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů. Funkce f je rostoucí v intervalu < – 2; 2 >, klesající v intervalech ( – ; – 2>, < 2; +  ). Funkce f má v bodě – 2 ostré lokální minimum, Funkce f má v bodě 2 ostré lokální maximum, • Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.  x  ( –; 0); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu ( –; 0 >. • x  ( 0; + ); f // (x) < 0  funkce f je ryze konkávní v intervalu < 0; + ). Inflexním bodem je bod T [ 0; 0 ]. Směrnice tečny v bodě T: kt = y /(0) = 4. Rovnice tečny t v bodě inflexe: t: y = 4 x.

5. Narýsujeme graf funkce.

6. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Vyšetřete průběh funkce f. • Určíme definiční obor funkce. D(f) = R • Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. Rovnice nemá v R řešení, funkce osu x neprotíná. • Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f je sudou funkcí v D(f) = R. Podle definice sudé funkce platí:  x  R; x  D(f) – x  D(f)  x  D(f); f(x) = f (– x) Pokud je funkce f sudá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; +  ). Graf funkce dorýsujeme pomocí osové souměrnosti podle osy y. Funkce f je omezenou funkcí. Zdola je omezena konstantou 0, shora konstantou 4. • Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.

7. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R), má asymptotu se směrnicí y = 0. • Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Bod podezřelý z extrému je x = 0. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z extrému. Funkce f je rostoucí v intervalu ( – ; 0 >,klesající v intervalu < 0; +  ). Funkce f má v bodě 0 ostré lokální maximum, f(0) = 4. • Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnice tečen v inflexních bodech.

8. (body podezřelé z inflexe) Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z inflexe. funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní. funkce f je v tomto intervalu ryze konkávní. funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní. Najdeme rovnici tečny t1 k dané funkci v inflexním bodě Tečna t1 protíná osy soustavy souřadné v bodech Rovnice tečny t2 k dané funkci v inflexním bodě

9. Narýsujeme graf funkce.

10. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3 Vyšetřete průběh funkce f. • Určíme definiční obor funkce. D(f) = R –  0  • Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. Funkce f neprotíná osu y. • Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R –  0 . Podle definice liché funkce platí:  x  R; x  D(f) – x  D(f)  x  D(f); – f(x) = f (– x) • Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.

11. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x. • Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Pro každé x  R –  0  je znaménko první derivace funkce kladné. Funkce f je rostoucí v intervalu ( –; 0) a také v intervalu ( 0; +  ). Funkce nemá v žádném bodě definičního oboru lokální extrém. • Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.  x  ( –; 0); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu ( –; 0). • x  ( 0; + ); f // (x) < 0  funkce f je ryze konkávní v intervalu (0; + ). Inflexní body neexistují.

12. Narýsujeme graf funkce.

13. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 4 Vyšetřete průběh funkce f. • Určíme definiční obor funkce. D(f) = R –  0  • Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. Funkce f neprotíná osu y. • Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f není sudá, lichá, periodická ani omezená. • Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. • Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x – 4.

14. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Body podezřelé z extrému jsou Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů. Funkce f je rostoucí v intervalech Funkce f je klesající v intervalech ostré lokální maximum, Funkce f má v bodě ostré lokální minimum, Funkce f má v bodě • Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.  x  ( –; 0); f // (x) < 0  funkce f je ryze konkávní v intervalu ( –; 0). • x  ( 0; + ); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu (0; + ). Inflexní body neexistují.

15. Narýsujeme graf funkce.

16. ÚLOHY K PROCVIČENÍ Vyšetřete průběh dané funkce f. p1) p2) p3) p4) p5) p6) p7) p8) p9) p10) MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 159, úloha 52. ISBN 80-7196-063-2. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

17. DEFINICE SUDÉ FUNKCE Funkce f je sudou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně •  xR; xD(f)– x D(f) •  x D(f); f(x) = f(–x) (graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y) zpět f je sudá funkce v D(f) f není sudá funkce v D(f)

18. DEFINICE LICHÉ FUNKCE Funkce f je lichou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně •  xR; xD(f)– x D(f) •  x D(f); –f(x) = f(–x) (graf sudé funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadné) zpět f je lichá funkce v D(f) f není lichá funkce v D(f)