Aljabar Linear Elementer I

1. Drs. Darmo Aljabar Linear Elementer I JurusanMatematika FMIPA UniversitasNegeri Semarang

2. Matriks • Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh:

3. Matriks (Lanjutan) • Bentuk umum suatu matriks: • Elemen kolom ke-1 = • Elemen baris ke-1 =

4. Matriks (Lanjutan) • aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j • Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m  n. • Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi. • Contoh: • Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

5. Matriks (Lanjutan) • KesamaanDuaMatriks Duamatriksdisebutsamajikaordonyasamadanelemen-elemen yang seletaksama. • JumlahDuaMatriks DuaMatriksAdanBdapatdijumlahkanjikaordonyasama. JumlahduamatriksAdanBialahmatriksC yang ordonyasamadengan ordomatriksAmaupunB, sedangkanelemen-elemen yang seletakdijumlahkan: Contoh:

6. Matriks (Lanjutan) • Hasil Kali MatriksdenganSkalar Hasil kali matriksAdenganskalarkialahmatriks yang ordonyasamadenganordomatriksAsedangkanelemen-elemennyadikalikandengank. • Hasil Kali 2 Matriks JikaAadalahsebuahmatriks m  r dan B adalahmatriks r  n makahasil kali A  Badalahmatriksmxn yang elemen-elemennyaditentukansbb: elemendidalambariske-i, kolomke-j dariAB, makapilihlahbariske-idarimatriksAdankolomke-j darimatriksB, kalikanlahelemen-elemen yang bersangkutandaribarisdankolomtersebutbersama-samadankemudiantambahkanlahhasilperkalian yang dihasilkan.

7. Matriks (Lanjutan) • Contoh: 2  3 3  4 2  4 • (2  4) + (6  3) + (0  5) = 26

8. Sifat – sifatMatriks Misalkanordomatriks-matriksberikutmemenuhisyarat agar operasi-operasiberikutterdefinisimakaberlaku: • A+B = B+A (H. KomutatifPenjumlahan) • A+(B+C) = (A+B)+C (H. AsosiatifPenjumlahan) • k(A+B) = kA+kBkskalar • (k+l)A = kA + lAkdanlskalar • (kl)A = k(lA) kdanlskalar • k(AB) = kA(B) = A(kB) kskalar • A(BC) = (AB)C (H. AsosiatifPerkalian) • A(B+C) = AB + AC (H. Distributif) • (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)

9. LatihanSoal • Misalkan A dan B adalahmatriks-matriks 45 danmisalkan C, D, dan E berturut-turutadalahmatriks-matriks: 52, 42, dan 54. Tentukanlah yang manadiantarapernyataanberikutterdefinisidanberapakahordohasilnya. • Hitunglah a, b, c dan d jika • Ditentukan: dan dengantidakmenghitunghasilkeseluruhan, hitunglah: • BA • AC + D • AC + B • AB+B • E(A+B)

10. LatihanSoal (lanjutan) dengantidakmenghitunghasilkeseluruhan, hitunglah: • Misalkan Q adalahmatriksnn yang elemendidalambariske-i, kolomke-j adalah 1 jikai = j, dan 0 jikai ≠ j. PerlihatkanbahwaaI = Ia = a untuksetiapmatriks Ann . • Jika A dan B matriks-matrikspersegi yang ordonyasama, apakah (A+B)2=A2+2AB+B2. Mengapa? • Baris ke-1 dari AB • Baris ke-3 dari AB • Kolom ke-2 dari AB • Kolom ke-1 dari BA • Baris ke-3 dari A2 • Baris ke-2 kolom ke-3 dari B2

11. Definisi: Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor. • Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m. • Contoh:

12. Sifat Transpose Matriks • Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut: Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka: • (At)t = A • (A+B)t = At + Bt • (kA)t = k(At) • (AB)t = Bt . At Contoh:

13. Jadi (AB)t = Bt . At

14. Macam-macamMatriks • Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh: • Matriks satuan / Identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I. Contoh: • Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol. Contoh:

15. Macam-macamMatriks (lanjutan) • Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: • Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: • Matriks simetri adalah matriks persegi yang berlaku A = At. Contoh:

16. Macam-macamMatriks (lanjutan) • Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut: • Jika ada baris nol maka letaknya di bawah. • Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu. Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry. • Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula. Contoh: • Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol. Contoh:

17. OperasiBarisElementer (OBE) & MatriksElementer • Misalkanpadasuatumatriksdilakukanoperasi-operasisebagaiberikut: • Salingmenukarduabaris. (misalnyamenukarbariske-idenganbariske-j). • Mengalikansutubarisdenganbilangan real tak nol. (Misalnyamengalikanbariske-idengan k, k ≠ 0). • Menambahkansuatubarisdengankelipatanbaris lain (Misalnyabariske-iditambah k kali bariske-j) Setiapoperasidiatasdisebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) danberturut-turutdinyatakandengan: • Rij • Ri(k) atau k. Ri • Rij(k) atauRi + k.Rj

18. OperasiBarisElementer (OBE) (lanjutan) Contoh: • Jikamatriks B diperolehdarimatriks A dengansatu kali ataubeberap kali OBE, makadikatakan A ekuivalenbaris B ditulis A B. • Jikamatriks B diperolehdarimatriks A melaluisuatu OBE makadari B dapatdiperolehkembalimatriks A melalui OBE sejenis.

19. OperasiBarisElementer (OBE) (lanjutan) • Misalkan: • A RijB  B RijA • A Ri(k) B  B Ri(1/k)A • A Rij(k) B  B Rij(-k)A • Jika A, B, dan C tigamatriksberordosamamaka • Jika A  B maka B  A (sifatsimetri) • JikaA  B dan B  C makaA  C (sifattransitif)      

20. MatriksElementer • Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu kali OBE. • Jika E suatu matriks elementer berordo mm, dan A suatu matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.

21. MatriksElementer (lanjutan) Contoh: Diketahui :

22. Invers (Menggunakan OBE) • Definisi: matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I. A disebut invers B dan B disebut invers A. invers A di tulis A-1. Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga. • (Iij)-1 = Iij • (Ii(k))-1 = Ii(1/k) • (Iij(k))-1 = Iij(-k)  Mengapa ???

23. Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) • Contoh:

24. Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) • Perhatikan sekarang dengan menggunakan beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks eseleon baris tereduksi.

25. Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) • Contoh:

26. Determinan • Banyaknyapermutasidari n elemen yang berlainanialah n!, ditulisPn = n! Contoh: untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu: (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) • Suatuinversiterjadijikadalamsuatupermutasitercatatbilangan yang lebihbesarmendahului yang lebihkecil. Contoh: • 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karenatidakadabilangan yang lebihbesarmenadhului yang lebihkecil. • 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2. • 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidikisendiri!)

27. Determinan (lanjutan) • Permutasi genap  permutasi yang banyak inversinya genap. • Permutasi ganjil  permutasi yang banyak inversinya ganjil.

28. Determinan (lanjutan) • Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak sekolom. Contoh: • Yaitu: • Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya. • Contoh: di atas

29. Determinan (lanjutan) • Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A. • Contoh:

30. Determinan (lanjutan) Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: − − − + + + − − − + + +

31. Determinan (lanjutan) • Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut MINOR unsur aij; ditulis Mij • Contoh: • Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij • maka K23=(-1)2+3M23 = 1

32. Determinan (lanjutan) Determinan matrik A dapat Juga dihitung dengan : (diuraikan atas baris ke i) Atau (diuraikan atas kolom ke j)

33. Determinan (lanjutan) Contoh :

34. TugasIndividu • Tuliskansifat-sifatdeterminanbesertacontohnya. • Janganlupatuliskanreferensi yang Andapakai. • Tugasditulistangandenganrapidalamkertas folio. • Dikumpulkansatuminggusetelahtugasinidiberikan.

35. MatriksKofaktor & Adjoint • Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah matriks yang berbentuk • Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)

36. MatriksKofaktor & Adjoint (lanjutan) • Contoh: Carilah K(A) = …? dan adj(A) = …? LANJUTKAN!!!

37. MatriksKofaktor & Adjoint (lanjutan) • Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai berikut. • Contoh: Menggunakan Operasi Baris Elementer: Jadi

38. MatriksKofaktor & Adjoint (lanjutan) • Menggunakan matriks adjoint Jadi dan

39. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentuk umum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

40. ILUSTRASI GRAFIK • SPL 2 persamaan 2 variabel: • Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis berhimpitan kedua garis sejajar kedua garis berpotongan

41. PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

42. TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL • SPL • Mengalikan suatu persamaan • dengan konstanta tak nol. • 2. Menukar posisi dua • persamaan sebarang. • 3. Menambahkan kelipatan suatu • persamaan ke persamaan • lainnya. • MATRIKS • Mengalikan suatu baris • dengan konstanta tak nol. • 2. Menukar posisi dua baris • sebarang. • 3. Menambahkan kelipatan suatu • baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder- hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

43. kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (1/2). CONTOH …………(i) …………(ii) …………(iii) DIKETAHUI

44. kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan pers (ii) dengan (1/2). LANJUTAN CONTOH

45. kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). Lanjutan CONTOH kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

46. BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

47. Bentuk echelon-barisdan echelon-baristereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk echelon-baris:

48. Bentuk umum echelon-baris dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

49. Bentukumum echelon-baristereduksi dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

50. METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adalah: