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不定積分法則

不定積分法則. 組員名單 4A128003 黃俊霖 4A128006 林長葦 4A128020 黃資盛 4A128052 林修銘 4A128053 林聖耀. 代換積分 法. 我們已學會利用微積分基本 定理 求 一些 基本函數的不定積分，但非所有的函數都是那麼容易積分的，如 ， 若 利用之前的微分積分基本定理來求 F’(x) 且 F(x) 滿足 F’(x)= ，在此並不容易看出其 F(x) 為何。因此向此種類型的題目，可以引進新的變數來代替，將其改寫成為「較簡單的函數」，使其較容易得到反導 函數 。. 我們以下面的範例來介紹代換積分法 ： 【範例】：求

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不定積分法則

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  1. 不定積分法則 組員名單 4A128003黃俊霖 4A128006林長葦 4A128020黃資盛 4A128052林修銘 4A128053林聖耀

  2. 代換積分法 • 我們已學會利用微積分基本定理求一些基本函數的不定積分，但非所有的函數都是那麼容易積分的，如， • 若利用之前的微分積分基本定理來求F’(x)且F(x)滿足F’(x)=，在此並不容易看出其F(x)為何。因此向此種類型的題目，可以引進新的變數來代替，將其改寫成為「較簡單的函數」，使其較容易得到反導函數。

  3. 我們以下面的範例來介紹代換積分法： • 【範例】：求 解：令= = ，則 = 2x or 此時 = ． = 我們會發現原本的函數要找其反導函數是不容易的，若將函數做代換後，發現變成較簡單的函數，使得容易找到反導函數，因此 = = + C 再把 = 1 + 代回上式， 我們得到 = ( + C 以上的方程式稱作代換積分法。

  4. 例題1： 解一：令則 =因為 = => = 所以 = . = = + C = - + C

  5. 計算( (1)若是奇數， 我們使用的公式，且令來代換。 (2)若是奇數 ， 則我們使用的公式，且令來代換。

  6. 2.在計算(時， (1)若是偶數且， 則我們使用的公式， 且令來代換。 (2)若是奇數且1， 則我們使用的公式， 且另來代換。

  7. 例題1 解:令，則 = = - + C = + C

  8. 例題2. 解：令tan，則 = 所以

  9. 分部積分法 給定兩個可微分函數與，則由道函數的乘法公式， 我們有：()’ 對上式兩邊積分，則可得到下式： 由微分與積分的運算得到：

  10. 再將式子移項即可得到分部積分公式如下： 為了方便記憶，我們可將符號改寫成較簡單的形式。令， 則 其積分公式的符號改寫如下

  11. 例題1 • 解：

  12. 6-3積分的技巧 • 由於積分較微分難，所以積分就是要學一些方式去解各種類型。 • 當我們遇到下類似、、時，可以使用三角函數代換來解題，所以這一些類型是代換積分法的延伸

  13. 第一型：若被積函數包含， • 令， • 則 • 第二型：若被積函數包含， • 令， • 則 • 第三型，若被積函數包含， • 令， • 則

  14. 第一型例題1. • 解：設，則 • =(+C) • 因此 • 且sin2 • 所以

  15. 第二型例題 • 解：設，則

  16. 第三型例題 • 設，， • 則 • 且 • 因為 • 所以

  17. 有理式函數積分 • 當我們遇到類似有理式函數 • 的積分時， • 即計算， • 我們發現若用之前所學的代換積分式解不出來，因此本節試著將有理式函數寫成部份分式，再逐項積分。 • 以下將介紹有理函數積分的步驟及規則。

  18. (1.)若有理式函數，的最高次小於的最高次方，即(1.)若有理式函數，的最高次小於的最高次方，即 • 。 • 如再計算時，我們可先將分母因式分解 • 接著再將此有理函數拆開： • 我們將其通分，然後對應解A、B、C，可得下列等式：

  19. 所以我們可將其分解為： • 因此

  20. (2.)若有理式函數，的最高次大的最高次方，即(2.)若有理式函數，的最高次大的最高次方，即 • 如再計算時，因為的次方大於 • ，所以先利用長除法得到 • 我們將的分母因式分解 • 接著再將此有理函數拆開： • 我們將其通分，然後對應A、B，可得下列等式：

  21. 所以我們可將其分解為： • 因此

  22. 總結:有理式積分五步驟 • 步驟一： • (1)若是一個假分式(即分子之最高次方大於或等於分母之最高次方，即)，則我們會利用除法將表示成一個商再加上一個真分式，即，而是一個真分式，是一個多項式。 • 步驟二： • 若是ㄧ個真分式，我們要將作因式分解 • 步驟三： • (1)若分母的形式出現時，我們要將它化成下列形式： • =+

  23. (2) 若分母的形式出現時，我們要將它化成下列形式： • =+ • (3) 若分母的形式出現時，我們要將它化成下列形式： • =+ • 步驟四： • 利用比較等式兩邊之係數關係決定未知常數 • ，，，與，，， • 可嘗試利用學過的積分技巧來計算有理式函數的積分。

  24. 參考資料 • http://www.topmath.org/university/new1calculus/060301.swf • http://csm00.csu.edu.tw/0166/2005calculus/44.htm

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