第二章 曲面论

1. 第二章 曲面论 §1曲面的概念 简单曲面以及参数表示 几种观点 1、一般式 2、显式 3、映射观点（与曲线定义类似） 基本概念 若尔当曲线——平面上不自交的闲曲线 初等区域----若尔当曲线所围成的有限区域

2. 如果到初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是如果到初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面 称 为 的坐标式参数方程。 称 为曲面的向量式参数方程。 u和v称曲面上的点的曲纹坐标，U=常数或V=常数在曲面上的象称为曲面的坐标曲线。（ U=常数而v变动的曲线叫V-线，v=常数而u变动的曲线叫u--线， V-线u--线构成的网称为曲面上的曲纹坐标网

3. 坐标曲线 曲纹坐标网

4. 常见曲面 设 是长方形区域 圆柱面的参数表示 曲线（z=常数）即 它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。 曲线（ 是常数）即: 它是原柱面上的直母线。

5. 球面的参数表示为： 是一个长方形区域： 坐标曲线是 曲线 =常数），即 是球面上等纬度的圆——纬线， = ， ， 曲线： ， 它是球面上过两极的半圆——经线（子午线）。

6. 旋转面 把xz平面上一条曲线 ：x = ， 绕z轴旋转，得旋转面 x = ，y= ,

7. 1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线 1定义：如果曲面 有直到 阶连续偏微商，则称为K阶正则曲面，或 曲面。 当 时， 此曲面又称为光滑曲面 2 u线v线表示 . u线： u-线的切向量 ． v线 v-线的切向量 .

8. 定义 曲面 的点P是正则点(正常点) 若有 正则曲面: 处处是正则点的曲面. 曲面的正规坐标网：若 则存在 的一个邻域U，使得U内每一点有 此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z = z(x, y)的表示 因为 ，至少有一分量不为零

9. 假设 则有隐函数存在定理有唯一一对单值连续函数 代入则有z = z(x, y) 命题2：曲面在正常点某个的邻域内点都是正常点 曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过 P的曲线Γ在P0的切方向.（切方向很多） 曲面Σ：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参 数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t). Γ的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t).（一个 参数）

10. 曲线的切向量 曲线r = r(u(t), v(t)) = r(t)其切方向 也可写为 在正常点所有切向量都有可定成u线v线切向的组合都有在由u线v线切向确定的平面上，称此平面为曲面在这一点的切平面 命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所决定的切平面上

11. 从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv 值完全确定，切方向也可表示成 , 或 二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向 , 也表方向 ， 二者视为同一方向. : 曲面S 一点 处切平面的方为： 其中 是切平面上一点的向径 , 坐标形式为：

12. 法向：垂直于切平面的方向 法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直线 法向量: 单位法向量： 法线的方程为 其中R（X，Y，Z）是线上任一点的向径， 参数。 用坐标形式表达的法线的方程为： = =

13. 例：求S 在点(1,2)处的单位法向量及切平面的方程。 解： = 过点（1，2）的切平面方程是 即 3x+y-2z-4=0.

14. 3. 曲面上的曲线族和曲线网 曲面 S上的曲线用方程 或 消去t得 或 或 微分方程 表示曲面上的一族曲线， 特别地当 方程变为 它表示曲面上的u曲线族（v=常数）。 当 它表示曲面上的v曲线族 (v族)

15. + 微分方程: + =0 当 >0时 表示曲面上的两族曲线——曲线网。 当 时，方程变为 它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网