第三章 自适应滤波器

1. 第三章 自适应滤波器

2. 前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波，Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实现最优滤波。前面讨论了Wiener滤波和Kalman滤波，Wiener滤波器的参数是固定的，仅适用于平稳随机信号；Kalman滤波器参数是时变的，适用于非平稳和平稳随机信号。要设计这两种滤波器，必须对信号和噪声的统计特性有先验知识。在实际中，常常无法预先知道这些统计特性，或者它们是随时间变化的，从而不能用Wiener滤波方法实现最优滤波。

3. 自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤波器一样好。因此在信号和噪声的先验知识不完全知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优越性能。自适应滤波器可以自动调节自身的参数，而在设计时只需要很少的、或者根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，这种滤波器的实现几乎像Wiener滤波器那样简单，而性能几乎如Kalman滤波器一样好。因此在信号和噪声的先验知识不完全知道的情况下，只有使用自适应滤波器才能得到优越性能。

4. 基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自动频率微调。基于此，自从1967年B.Widrow等人提出自适应滤波器以来，短短几十年间，自适应滤波器发展很快，现已广泛应用于系统模型识别、通信信道的自适应均衡、雷达与声纳的波束形成、心电图中的周期干扰的减少或消除、噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测，电视接收机的自动增益控制、自动频率微调。

5. 本章安排: ⑴ 原理 ⑵ 的求解 ⑶自适应对消 ⑷自适应滤波 ⑸其他应用

6. 应用举例 自适应横向滤波器 自适应时域滤波 自适应格型滤波器 自适应空域滤波(自适应阵列) 最小二乘自适应滤波 可编程滤波器（滤波部分） 自适应算法（控制部分） 自适应滤波器 的组成

7. 自适应滤波器的特点 1.可以根据误差（或其他参数）的大小自动调整； 2.采用MMSE误差准则，最终解是Wiener解； 3.不需要任何关于信号和噪声的先验知识； 4.适用于非平稳随机过程。

8. 三大要求 1.更新，权系数的更新公式 2.收敛及收敛速率 自我调节: 校正项； 误差大,调节量大；误差小,调节量小；误差足够小,停止调节； 3.最佳滤波，收敛后的权向量应等于最佳权向量。

9. 应用 通信信道的自适应均衡； 雷达与声纳的波束形成； 减少或消除心电图中的周期干扰； 噪声中信号的检测、跟踪、增强及线性预测。

10. §3.2 自适应横向滤波器

11. 基本原理

12. FIR网络：理论上可以绝对收敛到最小； IIR网络：(全局最小点)不止一个，一般选用方程误差最小；本课程不涉及。

13. 一、自适应线性组合器和自适应FIR滤波器

14. 输入为N个不同的信号源

15. 同一信号源延时后的输出

16. 1. 矩阵表示式

17. 令

18. 2.最小均方误差和最佳权系数

19. 性能函数表面

20. 令

21. 输入信号自相关矩阵的特征值及其性质

22. 1.R的所有特征值是实的并且大于等于零； 2.对于不同特征值的特征向量相互正交； 3.特征向量矩阵Q 可以归一化（正交化），并满足

23. 性能函数是权系数的二次函数，存在极小值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后停在那儿。性能函数是权系数的二次函数，存在极小值，如果信号是平稳的，并具有不变的统计特性，则性能函数的形状将保持不变，并且在它的坐标系中保持固定。自适应过程将从性能表面的某点出发，向下运动至最小点附近，最后停在那儿。

24. 如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏的，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不仅要向下移动至最小点，而且当性能表面移动时，还要跟踪它的最小点。如果信号是非平稳的，并具有慢变化的统计特性，可将性能表面视为”模糊的”或起伏的，或在其坐标系中移动，这样自适应过程不仅要向下移动至最小点，而且当性能表面移动时，还要跟踪它的最小点。

25. 输入自相关矩阵的特征向量确定了误差表面的主轴。输入自相关矩阵的特征向量确定了误差表面的主轴。 输入自相关矩阵的特征值给出了误差对它的主轴的二次函数。

26. 令 基于梯度法使性能函数到达它的最小点。

27. 误差信号与轨入信号正交，Wiener解。

28. 自适应横向滤波器的简化符号:

29. ex:　一个单输入二维权向量的自适应滤波器,输入信号 和期望信号 分别为: 求Wiener滤波器的最佳权向量

30. 解：

33. 则

35. 例

36. 其中 ，

40. 代入

41. 二．性能函数的表示式及其几何意义

43. 令 ① 是实对称矩阵 ②

44. 其中 是单位正交矩阵 是由 的特征值所构成的对角阵

45. 将②式代入①式 其中 ③

46. 三、最陡下降法

48. 自适应过程是连续地调节 ，去寻求碗的底部 ：调整步长的常数,它控制系统的稳定性和自适应的收敛速度

49. 递推公式 ①

50. ① 式两边同时减去 则 令 ②