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第 5 章 离散时间信号的傅立叶变换

第 5 章 离散时间信号的傅立叶变换. The Discrete-Time Fourier Transform. 注释 :. CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数. DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数. CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换. DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ):

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第 5 章 离散时间信号的傅立叶变换

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  1. 第5章 离散时间信号的傅立叶变换 The Discrete-Time Fourier Transform

  2. 注释: CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数 DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数 CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换

  3. 考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的。 补充 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 一.离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier Series

  4. 将这 N 个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以 N 为周期的序列。即： 离散时间傅里叶级数（DFS）， 其中 也称为周期信号 的频谱。 因为 也是以N 为周期，只有N 个是独立的。

  5. 周期性方波序列的频谱

  6. 时 显然 的包络具有 的形状。 周期性方波序列的频谱

  7. 周期性方波序列的频谱

  8. 当 不变、 时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。 • 当 改变、不变时，由于的包络具有 的形状，而 ，可知其包络形状一定发生变化。当 时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。 周期性方波序列的频谱

  9. 周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。 DFS是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。 周期性方波序列的频谱 DFS的收敛

  10. 在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到： 当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。 5.1非周期信号的表示 Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform 一. 从DFS到DTFT:

  11. 离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱 以N为周期

  12. 当 时，有 ，将导致 信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。 从时域看，当周期信号的周期 时，周期序列就变成了一个非周期的序列。 因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。

  13. 对周期信号 由DFS有 即 DTFT 当 时 令

  14. 将其与 表达式比较有 于是: 当 时 当 在一个周期范围内变化时， 在 范围变化，所以积分区间是 。

  15. 表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。 结论： DTFT对

  16. 实偶函数 有同样的结论:实偶信号 时，可得到: 当 3.矩形脉冲:

  17. 显然有 关系成立 两点比较: 1.与对应的周期信号比较

  18. 如图所示: 2.与对应的连续时间信号比较

  19. 对连续时间信号，有 由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以 为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即 5.2周期信号的DTFT The Fourier Transform for Periodic Signals 对其做反变换有：

  20. 可见, 由DFS有 因此，周期信号 可用DTFT表示为

  21. （对L 展开）

  22. 注意到 也以 为周期，于是有： 比较: 可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。

  23. 例2. 均匀脉冲串 比较:与连续时间情况下对应的相一致。

  24. 的整数倍 为 定义 其他 七. 时域内插 ( Interplation ):

  25. 七. 时域内插 ( Interplation ): 信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。

  26. 由于 本身也是以N为周期的序列，当然也可以将其展开成DFS形式。 即: 或 5.7 对偶性（Duality） 一.DFS的对偶

  27. 这表明： 序列 的DFS系数就是 即: 利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。

  28. 5.7 对偶性（Duality） 知 由 是一个以 为周期的连续函数, 如果在时域构造一个以 为周期的连续时间信号 则可以将其表示为CFS形式: 由DTFT有： 二. DTFT与CFS间的对偶

  29. 的表达式可以看出 和 比较 这表明： 若 则 利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去；或者反之。

  30. 5.7 对偶性（Duality） 可以将对偶关系归纳为如下图表:

  31. 5.7 对偶性（Duality） 可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系： 时域的周期性 频域的离散性 时域的非周期性 频域的连续性 时域的离散性 频域的周期性 时域的连续性 频域的非周期性

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