第 14 讲依测度收敛

第14讲依测度收敛 • 目的：理解依测度收敛概念，掌握Lebesgue定理与 Riesz定理。 • 重点与难点：Lebesgue定理与 Riesz定理及其证明。

第14讲依测度收敛 • 基本内容： • 一．依测度收敛定义 • 鲁津定理实际是说，任意可测函数都可以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理2改述成：若是E上的可测函数，则对任意，存在上的连续函数，使得

第14讲依测度收敛 • 注意到 • 所以对任意n，有 • 进一步，对任意，有 • 取，则存在上的连续函数，使

第14讲依测度收敛 • 得 • 这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念 • 不同的。我们称它为依测度收敛，具体说 • 来即下面的。 • 定义2 设E是可测集， • 都是E上几乎处处有限的可测函数，如

第14讲依测度收敛 • 果对于任意，都有 • 则称在E上依测度收敛到，记作 • 下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测度收敛。

第14讲依测度收敛 • 二．Lebesgue定理 • （1）Lebesgue定理的叙述 • 定理4（lebesgue定理）设E是测度有限的可测集，是E上几乎处处有限的可测函数，若 • 则必有

第14讲依测度收敛 • 证明：由叶果洛夫定理，对任意，存在E的可测子集，使得且在上一致收敛到，于是对任意，存在，当时，有 • 于是，任

第14讲依测度收敛 • 意，从而 • 由的任意性立得。证毕。 • 问题1：Lebesgue定理中E为有限测度集的条件可否去掉？为什么？

第14讲依测度收敛 • 问题2：Lebesgue定理的逆是否成立？举例说明。 • （3）反例 • 定理4的逆一般是不对的，即依测度收敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的例子说明了这一点。

第14讲依测度收敛 • 例设，对任意正整数k，将 • 区间k等分，并定义 • 令

第14讲依测度收敛 • 于是是E上的处处有限的可测函数。对任意，若则 • 显然有若，则当是第k次等分区间后所对应的函

第14讲依测度收敛 • 数组中第i个函数时有 • 所以 • 注意到当时，，做 • 这说明。然而，对任意

第14讲依测度收敛 • 总有无穷多个函数在该点等于1，也有无穷多个函数在该点等于0，所以 • 在上处处不收敛于0。 • 虽然几乎处处收敛强于依测度收敛，但我们可以从依测度收敛的函数序列中找一个几乎处处收敛的子序列。这就是著名的黎斯（Riesz）定理。

第14讲依测度收敛 • 三．Riesz定理 • （1）Riesz定理的叙述 • *定理5（Riesz定理）设是E上的可测函数，如果，则存在子序列，使得 • （2）Riesz定理的证明

第14讲依测度收敛 • 证明：首先设。注意到对任何可测 • 函数序列，它不收敛到某个函数的点 • 集是 • 因此我们只要找到的一个子序列 • 使得

第14讲依测度收敛 • 即可。这等价于说对任意的k，有 • 对每个k，由，知 • 故对任意i及k存在，当时，有

第14讲依测度收敛 • 特别地 • 由于此处都是任意的，所以在上述不等式中可以取，即 • 如果必要，还可以使满足

第14讲依测度收敛 • 于是对任意的k，只要，就有，从而 • 这说明

第14讲依测度收敛 • 因此 • 进而

第14讲依测度收敛 • 所以 • 下设，令 • 则是测度有限的可测集，且对 • 任意。由前面的证明，对 • ，存在的子序列，使

第14讲依测度收敛 • ，当然在每个 • 上仍有。同理可从中取子列 • ，使，依此类推，由 • 归纳法可作出一串子序列，任得对任 • 意m，是的子序列，且 • 。令

第14讲依测度收敛 • 则显然仍是的子序列。 • 记 • 则，且对任意，存在M， • 使得时，，于是 • ，显然当时，是

第14讲依测度收敛 • 的子序列，故也有，即 • 。证毕。 • 问题3：一个依测度收敛的函数列是否有唯一的极限？如果极限不唯一，这些极限有什么关系？

第14讲依测度收敛 • 三．依测度收敛函数列极限的唯一性 • 下面的定理说明：依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限。

第14讲依测度收敛 定理6 设是E上的可测函数，若，且，则 • 证明：因为 • 所以对任意正整数k，有

第14讲依测度收敛 • 但因

第14讲依测度收敛 • 所以 • 由于 • 故 • 换言之，，证毕 • 作业：P78 21，22

第14讲依测度收敛 • 习题三 • 1、设f 是E上的可测函数，证明：对任意实数a，是可测集。 • 2、设f 是E上的函数，证明：f 在E上可测当且仅当对一切有理数r， • 是可测集。

第14讲依测度收敛 • 3、设f是R1上的可测函数，证明：对任意常数a，仍是R1上的可测函数。 • 4、设是E上的可测函数，证明： • 在E上也可测。 • 5、若[a,b]上的函数在任意线段上可测，试证它在整个闭区间[a,b]上也可测。

第14讲依测度收敛 • 6、设f 是R1上的可测函数，证明： • （当时，规定 • ）都是R1上的可测函数。 • 7、设f 是E上的可测函数，证明： • （i）对R1上的任何开集O，f-1(O)是可测集； • （ii）对R1上的任何闭集F，f-1(F)是可测集；

第14讲依测度收敛 • （iii）对R1上的任何型集或型集M，f-1(M)是可测集。 • 8、设是E上几乎处处有限的非负可测函数，证明对任意存在闭集 • ，使，而在F上， • 有界。

第14讲依测度收敛 • 9、设是E上的非负可测函数序列.证明：如果对任意，都有 • 则必有 • 10、证明：如果是Rn上的连续函数，则在Rn的任何可测子集E上都可测。 • 11、证明：如果是Rn上的可微函数，

第14讲依测度收敛 • 证明都是Rn上的可测函数。 • 12、设是E上的两个可测函数序列，且都是E上的有限函数），证明： • （i）对任意实数，若 • ，则还有

第14讲依测度收敛 • （ii） • 若 ,且在E上几乎处处不等于0，则 • （iii） • 13、设是E上的可测函数，，则当且f 是有限函数，对任意，

第14讲依测度收敛 • 有 • (i) • (ii)对E上任意可测函数h，有 • 14、设f是[a,b]上的函数，则f可测当且仅当下列几个条件之一成立。

第14讲依测度收敛 • （i）存在多项式序列，在[a,b]上， • （ii）若，存在三角多项式序 • 列，在上 • 15、设f 是R1上的可测函数，且在某个点 • to处连续，若对任意有

第14讲依测度收敛 • 证明必有常数c，使得。 • 16、Egoroff定理中的条件能否去 • 掉？ • 17、设，是E上几乎处处有限 • 的可测函数序列，若，

第14讲依测度收敛 • 试证存在E的可测子集列使 • ，且， • 而在每个上，都一致收敛到0。 • 18、证明任意有界闭集上的连续函数都有 • 界。 • 19、设是E上的可测函数序列，且存

第14讲依测度收敛 • 在常数k，使得对任意，有 • ，若试证 • 20、设是E上的可测函数，证明： • 的充要条件是，对任意 • 子列，都存在，使得

第14讲依测度收敛 • 21、Lebesgue定理中的条件可否 • 去掉？

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