LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

1. s LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

2. s THOÂNG TIN THAM KHAÛO Giôùi thieäu taøi lieäu taát caû ngaønh toaùn bao goàm caùc höôùng daãn phöông phaùp hoïc taäp : http://www.cargalmathbooks.com/#Principles of Hamilton http://www.densis.fee.unicamp.br/~moscato/Hamilton.html Caùc ngaønh toaùn hoïc http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm http://www.graphtheory.com/ http://www.imada.sdu.dk/Research/Digraphs/

3. s TAØI LIEÄU THAM KHAÛO Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc – Kenneth H. Rosen (Baûn dòch tieáng Vieät NXB KHKT 1997) Graph, Networks and algorithms – M. N. S. Swamy, K. ThulasiramanJohn Wiley & Sons, Inc. 1981. Discrete mathematics, Kenneth A. Ross . Charles R.B. Wright, Prentice-Hall, 1988

4. s NOÄI DUNG Caùc khaùi nieäm cô baûn Ñoà thò ñaúng caáu Caây Ñoà thò phaúng Toâ maøu Doøng

5. s LÒCH SÖÛ Baøi toaùn : Moät khoái ña dieän ñeàu coù 12 maët vaø 20 goùc. Moãi maët laø nguõ giaùc ñeàu vaø 3 caïnh gaëp nhau ôû moãi goùc. Moãi goùc laø moät thaønh phoá. Tìm ñöôøng ñi qua 20 thaønh phoá moãi thaønh phoá ñuùng 1 laàn.

6. s LÒCH SÖÛ Caàu Konigsberg.

7. s MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG Veõ ngoâi nhaø cuûa Santa Claus baèng 1 neùt duy nhaát.

8. s MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG Laøm theá naøo ñeå 3 ngoâi nhaø vaø 3 nhaø maùy noái nhau maø khoâng coù ñöôøng caét nhau.  Nhaø B  Nhaø A  Nhaø C  Gaz  Ñieän  Nöôùc

9. B A C F E D s MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG Keát quaû moät baûng thi ñaáu voøng troøn giöõa 6 ñoäi banh. Muõi teân höôùng töø A ñeán B chæ ñoäi thaéng laø A. Ba oâng choàng ghen cuøng vôùi 3 baø vôï qua 1 con soâng. Ñoø chæ chôû toái ña 2 ngöôøi 1 chuyeán: hoaëc laø 1 choàng vaø 1 baø vôï hoaëc 2 baø vôï.

10. s MOÄT SOÁ QUI ÖÔÙC Cho x laø moät soá thöïc : soá nguyeân x  x soá nguyeân x  x, Ñoà thò <g> = <V, E, I> hay <g> = <V, E> Taäp ñænh V = {A, B, C, …, P} Taäp caïnh E = {a, b, c, …, m} Ñoà thò troáng  = <, > = <V, >

11. s LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

12. s ÑOÀ THÒ Bieåu dieãn baèng hình veõ cuûa ñoà thò <g> Ñænh Caïnh Voøng Caïnh song song h A g b e c C G Ñænh coâ laäp f a B H d D Caïnh treo

13. h A g b c e C G f a B d D H s ÑOÀ THÒ Bieåu dieãn baèng taäp hôïp cuûa ñoà thò <g> = <V, E, I> Taäp ñænh V V = {A, B, C, D, G, H} Taäp caïnh E E = {a, b, c, d, e, f, g, h} Quan heä tôùi I I = {CaB, AbB, AcB, BdH, AeH, BfG, AgG, GhG}

14. s ÑOÀ THÒ Bieåu dieãn baèng ma traän cuûa ñoà thò <g> h A A B C D G H g A 0 2 0 0 1 1 b c e B 2 0 1 0 1 1 C G C 0 1 0 0 0 0 f a D 0 0 0 0 0 0 B d D H G 1 1 0 0 1 0 H 1 1 0 0 0 0

15. A h g b c e C G f a B d D H s ÑOÀ THÒ Baäc cuûa ñænh laø soá caïnh tôùi cuûa ñænh. deg(A) = 4 deg(G) = 4 deg(C) = 1 deg(D) = 0 deg(B) = 5 deg(H) = 2

16. h A g b c e C G f a B d D H s ÑOÀ THÒ Boå ñeà : Toång baäc baèng 2 laàn soá caïnh. Thí duï minh hoïa Toàng baäc = 4+5+1+0+4+2 = 16. Soá caïnh = 8.

17. s ÑOÀ THÒ Chöùng minh : P = “Toång baäc baèng 2 laàn soá caïnh”. Pi = “Ñoà thò i caïnh coù toång baäc baèng 2i”. P = (Pi)jN, N laø taäp soá nguyeân töï nhieân. Ñoà thò coù 1 caïnh thì toång baäc baèng 2 • P1 ñuùng. Giaû söû Pn ñuùng  ñoà thò n caïnh coù toång baäc baèng 2n”. Laáy ñoà thò <g> coù n+1 caïnh, choïn 1 caïnh baát kyø a. <g*> (= <g>a) coù n caïnh  toång baäc cuûa <g*> = 2n. Toång baäc cuûa <g> = toång baäc cuûa <g*> +2 = 2(n+1).  Pn+1 ñuùng.

18. A B C D E F s ÑOÀ THÒ Boå ñeà : Soá ñænh baäc leû laø soá chaün. Thí duï minh hoïa : Coù 4 ñænh baäc chaün. Coù 2 ñænh baäc leû laø C, F.

19. s ÑOÀ THÒ Chöùng minh : Toång baäc = Toång baäc caùc ñænh baäc chaün + Toång baäc caùc ñænh baäc leû.  Toång baäc caùc ñænh baäc chaün laø soá chaün.  Toång baäc caùc ñænh baäc leû laø soá chaün  Soá ñænh baäc leû laø soá chaün.

20. B C A G F D E s ÑOÀ THÒ HOÄI B C B C <g> <h> A A F G F E D E D <g>  <h> =

21. B C A F D E s ÑOÀ THÒ GIAO B C B C <g> <h> A A F G F E D E D <g>  <h> =

22. B C G F D E s ÑOÀ THÒ HIEÄU B C B C <g> <h> A A F G F E D E D <h>  <g> = <g>  <h> =

23. B C G F D E s ÑOÀ THÒ TOÅNG VAØNH B B C <g> <h> A A F G F E D E D <g>  <h> =

24. s ÑÒNH NGHÓA HÌNH THÖÙC Cho hai ñoà thò <g> = <V, E, I> vaø <h> = <W, F, J>. Hoäi : <g>  <h> = <VW, EF, IJ>. Giao : <g>  <h> = <VW, EF, IJ>. Hieäu : <g>  <h> = <V, EF, IJ>. Hieäu caïnh : <g>  caïnh = <V, Ecaïnh, Icaïnh>. Hieäu ñænh : <g>  ñænh = <Vñænh, Ecaùc caïnh tôùi cuûa ñænh, Icaùc caïnh tôùi cuûa ñænh>. Toång vaønh : <g>  <h> = <VW, (EF)(EF), (IJ)(IJ)>.

25. B C A F E D s ÑOÀ THÒ CON B C A G F E D

26. s ÑOÀ THÒ CON A A E F B C C G G H H D D

27. s LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

28. s ÑÖÔØNG AEGBC laø moät ñöôøng cuûa ñoà thò <g> ACBDCFGH laø moät ñöôøng cuûa ñoà thò <h> A B C B G C H A G F F E D D E <g> <h>

29. s CHU TRÌNH BCDEGB laø moät chu trình cuûa ñoà thò <g> ACBDCFGA laø moät chu trình cuûa ñoà thò <h> A B C B G C H A G F F E D D E <g> <h>

30. Ñoà thò ñôn giaûn s ÑOÀ THÒ ÑÔN GIAÛN Ñoà thò ñôn giaûn laø ñoà thò : * Khoâng coù voøng * Khoâng coù caïnh song song. Ñoà thò khoâng ñôn giaûn

31. K2 K3 K4 K4 K5 s ÑOÀ THÒ ÑAÀY ÑUÛ

32. B C B C A G F A F G D E <k> D E s ÑOÀ THÒ BUØ Ñoà thò <h> = <W, F> laø buø cuûa <k> = <V, E> : W = V <h>  <k>  KV <h> ñôn giaûn vaø toái ñaïi vôùi tính chaát buø. <h>

33. B C B A F A G F D <k> E E <h> s ÑOÀ THÒ PHUÏ Ñieàu kieän hai ñoà thò <h> vaø <k> phuï nhau nhau trong <g> : <h>  <k> = <g> <h>  <k> =  B C A G F D E <g>

34. B > B > > > > A C > > A C D > D Ñoà thò ñònh höôùng (Digraph) Ñoà thò voâ höôùng s ÑOÀ THÒ ÑÒNH HÖÔÙNG

35. s ÑOÀ THÒ COÙ TROÏNG LÖÔÏNG A B 3 7 C 4 2 5 1 6 D 9 3 E F

36. s ÑOÀ THÒ ÑEÀU Ñoà thò ñeàu laø ñoà thò coù moïi ñænh coù cuøng baäc. K1, K2, K3, K4, K5, K6, …

37. s ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN

38. s ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN

39. K2,2 K3,2 K3,3 K3,3 s ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN Ñoà thò löôõng phaân ñaày ñuû Km,n.

40. C3 C5 s ÑOÀ THÒ KHOÂNG LÖÔÕNG PHAÂN Ñoà thò K1, K3, K4, K5, K6, … khoâng löôõng phaân (K2 laø löôõng phaân). Caùc ñoà thò sau cuõng khoâng löôõng phaân.

41. s ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN Ñònh lyù :(1.6.1 page 24. Graph theory Reinhard Diesteil- 2000) Ñoà thò <g> löôõng phaân  <g> khoâng chöùa chu trình leû. Minh hoïa : Ñoà thò coù chu trình chaün : Ñoà thò coù chu trình leû :

42. s ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN Ñònh lyù : Ñoà thò löôõng phaân  khoâng chöùa chu trình leû. Chöùng minh : () Ñoà thò löôõng phaân neân moïi chu trình ñeàu phaûi ñi qua ñi laïi giöõa hai nhoùm ñænh neân moïi chu trình phaûi chaün. () Choïn moät caây phuû <t> vaø moät ñænh goác O treân <t>. Chieàu daøi cuûa moät ñænh laø soá caïnh cuûa ñöôøng töø goác ñeán ñænh ñoù. Chia caùc ñænh cuûa <t> laøm 2 nhoùm – nhoùm coù chieàu daøi chaün vaø leû. Xeùt 2 ñænh A, B keà nhau. Neáu caïnh AB thuoäc caây phuû thì A vaø B thuoäc 2 nhoùm khaùc nhau. Neáu caïnh AB khoâng thuoäc caây phuû thì A vaø B cuõng thuoäc 2 nhoùm khaùc nhau vì chu trình chöùa A, B chaün.

43. C6 C4 C5 C3 s MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT Chu trình : C3, C4, C5, C6, …

44. W4 W3 W5 W6 s MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT Baùnh xe : W3, W4, W5, W6, …

45. Q3 Q1 Q2 s MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT Khoái : Q1, Q2, Q3, …

46. s LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

47. A B G C H I F D E Ñoà thò lieân thoâng Ñoà thò lieân thoâng s ÑOÀ THÒ LIEÂN THOÂNG Ñoà thò lieân thoâng coù ñöôøng noái giöõa 2 ñænh baát kyø Ñoà thò rôøi raïc vì khoâng coù ñöôøng noái giöõa A, B

48. s ÑOÀ THÒ LIEÂN THOÂNG Ñònh lyù : Ñoà thò coù ñuùng 2 ñænh baäc leû phaûi coù moät ñöôøng noái giöõa 2 ñænh naøy. Chöùng minh : (baèng phaûn chöùng) Moät thaønh phaàn lieân thoâng khoâng theå chöùa moät ñænh baäc leû.

49. P Q s PHAÂN CAÉT Ñoà thò <g> = <V, E>, taäp ñænh P, Q thoûa PQ = V. Phaân caét <P, Q> = taäp caùc caïnh noái giöõa P vaø Q. P = {A, D, E}, Q = {B, C, F} A B D C E F <g>

50. s PHAÂN CAÉT P = {A, C, D, H}, Q = {B, E, F, G} <P, Q> = {BD, BD, BC, EC, FC, FA, GA, GH} A B G C H F D E