Geometria plana

1. Triângulos Congruência de triângulos Polígonos Semelhança de triângulos Quadriláteros Teorema de Tales Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Esquadros de madeira ― www.ser.com.br

2. Polígonos Definição Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos 2

3. Polígonos Polígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonoscôncavos Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está sempre contido nela. Um polígono se diz côncavo quando existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela. A A B B São polígonos côncavos São polígonos convexos

4. Polígonos Elementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: • Os segmentos são os lados do polígono; A • Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono; E B • Os segmentos são as diagonais do polígono; • são os ângulos do polígono; D C Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.

5. Polígonos O Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (ângulos que possuem a mesma medida). Polígonos regulares A Num polígono regular destacamos: E B • O centro • É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.) D C M

6. Polígonos Número de lados Nome Número de lados Nome 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono Nome dos polígonos De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:

7. Polígonos Soma das medidas dos ângulos internos: Soma das medidas dos ângulos externos: Ângulos internos de um polígono regular: Ângulos externos de um polígono regular: Número de diagonais de um polígono: 7

8. Triângulos ― classificação 8

9. Triângulos - medidas de seus ângulos Teorema do ângulo externo Soma das medidas dos ângulos internos a + b + g = 180º a + x = 180º b + c > a b + g = x Condição de existência de um triângulo A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior. 9

10. Triângulos – cevianas e pontos notáveis

11. Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente 2o caso: LLL Três lados congruentes 3o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente 4o caso: LAAo Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente 11

12. Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. Assim teremos: Casos de semelhança: 2o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. 3o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. 1o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.

13. Relações métricas no triângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em . Definições dos segmentos: Assim teremos:

14. Quadriláteros São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. 14

15. Quadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes. 15

16. Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer determinam segmentos proporcionais. Assim teremos:

17. Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Assim teremos: