Estymacja. Przedziały ufności.

1. Estymacja. Przedziały ufności.

2. Umiemy, korzystając z funkcji gęstości rozkładu, obliczać prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej losowej w zadanym przedziale: • Często musimy rozwiązywać zadanie odwrotne: Mamy z góry zadane prawdopodobieństwo P, a szukamy odpowiednich a i b.

3. Zadanie to nie jest jednoznaczne. • Przykład: P=0,9=90%. a,b - ? • P nazywamy poziomem ufności i często zapisujemy w postaci , gdyż zwykle jest nieco mniejsze od 100% (najczęściej 95%, wtedy )

4. Wybór przedziału ufności

5. Wybór przedziału ufności • W praktyce stosujemy: • symetryczny (dwustronny) wybór przedziału (równe prawdopodobieństwa po obu stronach) • jednostronny wybór granicy przedziału • prawostronny • lewostronny

6. Fraktyle

7. Fraktyle, kwartyle, percentyle... • Liczbę , taką że nazywamy fraktylem rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X. • Nietrudno zauważyć, że • x0,5 nazywamy medianą, x0,75 pierwszym, a x0,25 – trzecim kwartylem. • Podobnie mówimy o (per)centylach, albo kwantylach. W symbolice panuje bałagan.

8. Fraktyle i wybór przedziału.

9. Symetryczny wybór przedziału • Przy symetrycznym wyborze przedziału mamy . • Jeśli funkcja gęstości jest parzysta (symetryczna względem zera) to: więc • Rozkłady: standardowy normalny i t-Studenta są parzyste.

10. Symetryczny przedział dla stand. rozkładu normalnego.

11. Przedziały ufności • Załóżmy, że X podlega rozkładowi normalnemu. • Wiemy, że • W takim razie

12. Przedziały ufności

13. Przedziały ufności • Rozwiązując te nierówności tak, aby w środku pozostało otrzymamy: • Z prawdopodobieństwem (zwanym poziomem ufności) wyznaczony prze-dział zawiera wartość oczekiwaną .

14. Przedziały ufności • Na przeszkodzie praktycznemu stosowaniu tego wzoru stoi nieznajomość . • Czy popełnimy duży błąd zastępując jego estymatą s ?

15. Przedziały ufności • Gosset badał rozkład zmiennej losowej • Rozkład ten różni się trochę od rozkładu normalnego. Nazywa się rozkładem t-Stu-denta. Dokładny jego kształt określa liczba r = n-1, zwana liczbą stopni swobody.

16. Przedziały ufności • Rozumowanie bardzo podobne do poprzedniego, prowadzi do wzoru: • dla r > 30 różnica między t i u jest znikoma

17. Rozkład estymatora s2 • Jeśli X ma rozkład normalny, to ma rozkład zwany rozkładem (chi-kwadrat) Pearsona. • Kształt tego rozkładu zależy od liczby stopni swobody r = n – 1. Dla dużych n zbliża się on do rozkładu normalnego.

18. Przedział ufności wariancji. • Z powyższego wynika, że przedział ufności wariancji dany jest wzorem: • Przedział ufności dla odchylenia standar-dowego otrzymamy pierwiastkując wszystkie strony tej nierówności.

19. Statystyka opisowa

20. Statystyka opisowa • Pełna wiedza o ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa zawarta jest w jego funkcji gęstości. • Często jednak chcemy wyodrębnić pewne cechy rozkładu, jak np. jego symetrię. Podajemy wtedy parametry charakterystyczne, takie jak lub .

21. Momenty • Momenty zwykłe rzędu k: • Momenty centralne rzędu k:

22. Momenty • Wartość oczekiwana to pierwszy moment zwykły: • Wariancja to drugi moment centralny: • Inne parametry rozkładu definiowane przy pomocy momentów to skośność i kurtoza.

23. Skośność i kurtoza • nazywamy skośnością lub współ- czynnikiem asymetrii. • nazywamy kurtozą. Kurtoza rozkładu normalnego jest równa 3. • Nazwa ‘kurtoza’ często stosowana jest do nadwyżki kurtozy ponad 3, tj.

24. Kurtoza • Kurtoza mniejsza od 3 (0) wskazuje, że rozkład jest bardziej płaski (platykurtyczny) od normalnego. • Rozkład o większej kurtozie niż normalny (ostrzejszy) nazywa się leptokutycznym.

25. Kurtoza - niuanse • Rozkład t-Studenta ma dla liczby stopni swobody mniejszej od 5 nieskończoną kurtozę. Przy r ≤ 2 nieskończona jest nawet wariancja.

26. Kurtoza - niuanse

27. Moda • Moda (lub modalna), to wartość x dla której funkcja gęstości f(x) osiąga maksimum. • Jeśli jest kilka maksimów lokalnych rozkład nazywamy wielomodalnym. • Dla rozkładu normalnego moda, mediana i wartość oczekiwana są sobie równe.

28. Skośność i moda Skośność > 0 Rozkład skośny w prawo (skewed to right) Skośność < 0 Rozkład skośny w lewo Rozkład dwumodalny

29. Estymacja parametrów opisowych • Należy pamiętać, że prawdziwe wartości wymienionych parametrów pozostają zazwyczaj nieznane (podobnie jak sama funkcja gęstości rozkładu). • Wielkości wyznaczane na podstawie próby są tylko ich oszacowaniami (estymatami).

30. Dla odróżnienia parametru od estymaty, te ostatnie oznaczamy daszkiem lub zupełnie innym symbolem, np.: