1 / 45

Karmaşıklık Giriş

Karmaşıklık Giriş. Algorit ma Analizi. Neden algoritmayı analiz ederiz ? A lgorit manın perfo rmansını ölçmek için Farklı algoritmalarla karşılaştırmak için Daha iyisi mümkün mü? Olabileceklerin en iyisi mi? Özelliklerinin analizi Algoritmanın çalışma zamanı Hafızada kapladığı alan.

nubia
Télécharger la présentation

Karmaşıklık Giriş

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KarmaşıklıkGiriş

  2. Algoritma Analizi • Neden algoritmayı analiz ederiz? • Algoritmanın performansını ölçmek için • Farklı algoritmalarla karşılaştırmak için • Daha iyisi mümkün mü? Olabileceklerin en iyisi mi? • Özelliklerinin analizi • Algoritmanın çalışma zamanı • Hafızada kapladığı alan

  3. Bir programın performansı genel olarak programın işletimi için gerekli olan bilgisayar zamanı ve belleğidir. Bir programın zaman karmaşıklığı (time complexity) programın işletim süresidir. • Bir programın yer karmaşıklığı (space complexity) programın işletildiği sürece gerekli olan yer miktarıdır. Bir problemin çözümünde, kullanılabilecek olan algoritmalardan en etkin olanı seçilmelidir. En kısa sürede çözüme ulasan veya en az işlem yapan algoritma tercih edilmelidir. Burada bilgisayarın yaptığı iş önemlidir. Bazı durumlarda da en az bellek harcayan algoritmanın tercih edilmesi gerekebilir. • Ayrıca, programcının yaptığı is açısından veya algoritmaların anlaşılırlıkları bakımından da algoritmalar karşılaştırılabilir. Daha kısa sürede biten bir algoritma yazmak için daha çok kod yazmak veya daha çok bellek kullanmak • gerekebilir (trade-off).

  4. Karmaşıklık: Algoritma performansı ölçme yöntemi Bir algoritmanın performansı iç ve dış faktörlere bağlıdır. • Algoritma verimliliği: • Çalıştırmak için gereken zaman • Çalıştırmak için gerekenyer (bellek alanı) • Girdi verisinin büyüklüğü • Bilgisayarın hızı • Derleyicinin kalitesi Karmaşıklık iç faktörlerle ve daha çok da zamanla ilgilidir.

  5. N giriş verisi Çalışma zamanıT2(n) 10001010101000111110001100011101010101010101010010001010101000100000000000011110101000111010 Algoritma 2 Çalışma Zamanı Analizi Algoritma 1 T1(N)=1000N Algoritma 2 T2(N)=N2 Çalışma zamanı T1(n) Ngiriş verisi Algoritma 1

  6. Çalışma Zamanı Analizi Algoritma2 Çalışma zamanıT(N) Algoritma1 Giriş verisi N 1000

  7. Çalışma Zamanları Özeti N değerinin 1000’den küçük olduğu durumlarda iki algoritma arasındaki çalışma zamanı ihmal edilebilir büyüklüktedir.

  8. Büyüme Hızı ve Büyük-O(big-O)notasyonu • Büyüme hız bir algoritmanın performansını yansıtan en iyi göstergedir. • Büyük-O notasyonu büyüme hızını gösterir. Bir algoritmanın performansını en iyi tanımlayan matematiksel bir formüldür ve algoritmanın iç detaylarına bakılarak elde edilir. • Büyük-Ogirdi verisinin büyüklüğünü gösteren bir N parametresine dayanan bir fonksiyondur. • Örneğin n değerine bağlı olarak performansı (sabit a, b, c değerleri için) an2 + bn + c olan bir algoritmanın performansı O(N2)’dir • N değeri arttıkça N2 terimi baskın olacağı için büyük-O notasyonunda sadece baskın olan terim kullanılır

  9. O Notasyonu- Asimtotik Üst Limit • Bir algoritmanın çalışma süresi T(N)=O(f(n)) O bir fonksiyon değil, sadece gösterimdir. • T(N) c f(n) ve N n0koşullarını sağlayan c ve n0 değerleri varsa T(N) c f(n) ifadesi doğrudur. • f(n), T(N)’in asimtotik üst limiti olarak adlandırılır. • T(N)=O(f(n))

  10. O notasyonu • O notasyonunda yazarken en basit şekilde yazarız. • Örneğin • 3n2+2n+5 = O(n2) • Aşağıdaki gösterimlerde doğrudur fakat kullanılmaz. • 3n2+2n+5 = O(3n2+2n+5) • 3n2+2n+5 = O(n2+n) • 3n2+2n+5 = O(3n2)

  11. O notasyonu- Örnek 1 • 3n2+2n+5 = O(n2) ifadesinin doğru olup olmadığını ispatlayınız. 10 n2 = 3n2 + 2n2 + 5n2  3n2 + 2n + 5 for n  1 c = 10, n0 = 1 Çözüm kümesini sağlayan kaç tane n0 ve c cifti olduğu önemli değildir. Tek bir çift olması notasyonun doğruluğu için yeterlidir.

  12. O notasyonu- Örnek 2 • Fonksiyonların harcadıkları zamanları O notasyonuna göre yazınız. • f1(n) = 10 n + 25 n2 • f2(n) = 20 n log n + 5 n • f3(n) = 12 n log n + 0.05 n2 • f4(n) = n1/2 + 3 n log n • O(n2) • O(n log n) • O(n2) • O(n log n)

  13. Sık Kullanılan Büyüme hızları

  14. Büyüme Hızları O(N2) O(Nlog N) Zaman Kısa bir süre için N2 NlogN’den daha iyi N

  15. Bir programın asıl çalışma zamanını hesaplama (örnek) • Bir işlem için harcanan zaman 10ms olsun(bir veri üzerinde yapılan tek bir işlem) • 1000 veriyi işlemek için programın ne kadar çalışması gerekir? Programın çalışma zamanı aşağıdaki gibi verilmişse bu değer nasıl hesaplanır? • log10N • N • N log10N • N2 • N3 • (1 veri için zaman) x (N veri için verilen büyük-O( ) zaman karmaşıklığı)

  16. büyük-O nasıl hesaplanır? 1Döngüler 2İç içe Döngüler 3Ardışık deyimler 4 If-then-else deyimleri 5 Logaritmikkarmaşıklık Bir program kodunun zaman karmaşıklığını hesaplamak için 5 kural

  17. ndefa çalışır Sabit zaman Kural 1: Döngüler Bir döngünün çalışma zamanı en çok döngü içindeki deyimlerin çalışma zamanının iterasyon sayısıyla çarpılması kadardır. for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } Toplam zaman = sabit c * n = cn = O(N)

  18. Dış döngü ndefa çalışır iç döngü ndefa çalışır Sabit zaman Kural2:İç içeDöngüler İçteki analiz yapılır. Toplam zaman bütün döngülerin çalışma sayılarının çarpımına eşittir for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } } Toplam zaman= c * n * n * = cn2 = O(N2)

  19. Sabit zaman ndefa çalışır Sabit zaman iç döngü ndefa çalışır Dış döngü ndefa çalışır Sabit zaman Kural 3: Ardışık deyimler Her deyimin zamanı birbirine eklenir. x = x +1; for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } } toplam zaman= c0 + c1n + c2n2 = O(N2)

  20. test: sabit then: sabit else: (sabit +sabit) * n Kural 4: If-then-else deyimleri En kötü çalışma zamanı:test zamanına then veya else kısmındaki çalışma zamanının hangisi büyükse o kısım eklenir. if (depth( ) != otherStack.depth( ) ) { return false; } else { for (int n = 0; n < depth( ); n++) { if (!list[n].equals(otherStack.list[n])) return false; } } Diğer if : sabit+sabit (else yok) Toplam zaman = c0 + c1 + (c2 + c3) * n = O(N)

  21. Kural 5: Logaritmikkarmaşıklık Problemin büyüklüğünü belli oranda(genelde ½) azaltmak için sabit bir zaman harcanıyorsa bu algoritma O(log N)’dir. Örnek algoritma (binary search): N sayfalı bir sözlükten bir sözcük arama • Sözlüğün orta kısmına bakılır • Sözcük ortaya göre sağda mı solda mı kaldığı bulunur? • Bu işlem sağ veya solda sözcük bulunana kadar tekrarlanır

  22. Örnek // Input: int A[N], array of N integers // Output: Sum of all numbers in array A int Sum(int A[], int N) { int s=0; for (int i=0; i< N; i++) s = s + A[i]; return s; } Nasıl analiz edilebilir?

  23. Toplama İşlemi // Input: int A[N], array of N integers // Output: Sum of all numbers in array A int Sum(int A[], int N { int s=0; for (int i=0; i< N; i++) s = s + A[i]; return s; } 1 1,2,8: Bir defa 3,4,5,6,7: Her iterasyonda 1 defa N iterasyonlu işlemde Toplam: 5N + 3 Karmaşıklık: f(N) = 5N +3 2 3 4 5 6 7 8

  24. 5N+3 Nasıl Etkiler? Farklı N değerlerine göre işlem adımlarına bakalım: N = 10 => 53 steps N = 100 => 503 steps N = 1,000 => 5003 steps N = 1,000,000 => 5,000,003 steps N büyüdükçe lineer bir yükselme göstermektedir.

  25. Algoritma 1 int Sum (int N) { int i, PartialSum; PartialSum=0; for(i=1 ;i<=N ; i++) PartialSum+=i*i*i; return PartialSum; } 1 1+(N+1)+N N+N+2N 1 Çalışma zamanı 6N+4=O(N)

  26. Algoritma 2 for(i=0;i<N; i++) for(j=1;j<=N; i++) k++; Çalışma zamanı O(N2) for(i=0;i<N; i++) A[i]=0; for(i=0;i<N; i++) for(j=1; j<=N; i++) A[i]+=A[j]+i+j; Çalışma zamanı O(N2)

  27. Algoritma 4 • int binary search(A,key,N) • low=0, high=N-1 • while(lowhigh) • mid=(low+high)/2 • if(A[mid]<key) • low=mid+1 • if(A[mid]>key) • high=mid-1; • if(A[mid]=key) • return mid • Return not found Her bir iterasyondan sonra, arama yapılacak eleman sayısı logaritmik olarak azalmaktadır. Çalışma süresi O(logN)’dir.

  28. Algoritma 5 Peki while-döngüsü? bool done = false; int result = 1, n; cin>>n; while (!done){ result = result *n; n--; if (n <= 1) done = true; } Döngüden çıkıldığında done == true, N iterasyon Gerçekleşmiş olmaktadır.. Toplam zaman: O(N)

  29. Birden fazla ifade Birden fazla birbirinden bağımsız ifade öbekleri varsa Karmaşıklık ifadelerin zamanlarının toplamıdır. for (j=0; j < N; j++) for (k =0; k < j; k++) sum = sum + j*k; for (l=0; l < N; l++) sum = sum -l; cout<<“Sum is now”<<sum; O(N2) O(N) O(1) Toplam zaman O(N2) + O(N) +O(1) = O(N2)

  30. Analiz • Strateji:Alt ve üst limitlerin bulunması Üst limit Algoritmanın gerçek fonksiyonu Alt limit

  31. En iyi, ortalama, en kötü durum karmaşıklığı • Bazı durumlarda en iyi, ortalama, en kötü durum karmaşıklığı gözönüne almak gerekir • Örnek: Liste sıralarken eğer liste zaten sıralıya yakınsa yapılacak iş azdır. • En kötü durum muhtemel bütün girdiler için bir sınır çizer ve genelde ortalamadan daha kolay bulunur • En kötü, O(N) veya o(N):  veya >asıl fonksiyon * • Genel, Θ(N): asıl fonksiyon * • En iyi, Ω(N): asıl fonksiyon *

  32.  Notasyonu- Asimtotik Alt Limit • O notasyonun tam tersidir. • Her durumda T(N)  c f(n)veN n0 koşullarını sağlayan pozitif, sabit c ve n0 değerleri bulunabiliyorsa T(N)=(f(n)) ifadesi doğrudur. • f(n), T(N)’in asimtotik alt limiti olarak • adlandırılır. f(n) c g(n) n0

  33.  notasyonu- Örnek 1 • 7n2+3n+5 = O(n4) • 7n2+3n+5 = O(n3) • 7n2+3n+5 = O(n2) • 7n2+3n+5 = (n2) • 7n2+3n+5 = (n) • 7n2+3n+5 = (1)

  34. Resursive-Yinelemeli fonk. • Aşağıdaki ifade:yinelemeli bir fonksiyondur.

  35. Yineleme çözme metodları • Iterasyon Metodu • Recursion Ağacı metodu • Master Teorem

  36. İterasyon Yöntemi • Yineleme işlemini açık hale getir • Matematiksel işlemlerle göster • Toplamı hesapla.

  37. s(n) = n + s(n-1) = n + n-1 + s(n-2) = n + n-1 + n-2 + s(n-3) = n + n-1 + n-2 + n-3 + s(n-4) = … =n + n-1 + n-2 + n-3 + … + n-(k-1) + s(n-k)

  38. So far for n >= k we have • What if k = n? • Thus in general

  39. Iteration Method – Örnek 2 T(n) = n + 2T(n/2) T(n) = n + 2T(n/2) = n + 2(n/2 + 2T(n/4)) = n + n + 4T(n/4) = n + n + 4(n/4 + 2T(n/8)) = n + n + n + 8T(n/8) … = in + 2iT(n/2i) = kn + 2kT(1) = nlgn + nT(1) = Θ(nlgn) T(n/2) = n/2 + 2T(n/4) Kabul: n = 2k

  40. Master Teorem f(n)ile nlogbakarşılaştırma: • f(n) = O(nlogba– e)şartı e > 0için sağlanıyorsa. • f(n) polinomik olarak büyüyordur. • Çözüm: T(n) = Q(nlogba) .

  41. Master teorem f(n)ile nlogbakarşılaştırma: • f(n) = Q(nlogba lgkn)bir k³ 0 sabitini sağlıyorsa. • f(n)venlogbaeşit oranda büyüyordur. • Çözüm: T(n) = Q(nlogba lgk+1n) .

  42. Master teorem f(n)ile nlogbakarşılaştırma: • f(n) = W(nlogba+ e)ifadesi e > 0 sabiti sağlıyorsa • f(n) çok hızlı büyüyordur. Nlogbae göre. • vef(n) düzenlilik şartını af(n/b) £cf(n) • c< 1gibi bir c değeri için sağlarsa. • Çözüm: T(n) = Q(f(n)) .

  43. Örnekler Ex. T(n) = 4T(n/2) + n a = 4, b = 2 nlogba =n2; f(n) = n. CASE 1: f(n) = O(n2– e)içine = 1.  T(n) = Q(n2). Ex. T(n) = 4T(n/2) + n2 a = 4, b = 2 nlogba =n2; f(n) = n2. CASE 2: f(n) = Q(n2lg0n), ise, k = 0.  T(n) = Q(n2lgn).

  44. Örnekler • Ex. T(n) = 4T(n/2) + n3 • a = 4, b = 2 nlogba =n2; f(n) = n3. • CASE 3: f(n) = W(n2+ e)içine = 1 • ve4(cn/2)3£cn3 (reg. cond.) içinc = 1/2. •  T(n) = Q(n3). • af(n/b) £cf(n)

  45. Performans her şey demek değildir! • Bazen aşağıdaki iki durum birbiriyle çelişebilir: • Anlama, yazma ve hata ayıklama kolaylığı • Zaman ve yerin verimli kullanılması • Bu nedenle maksimum performans her zaman tercih edilmeyebilir • Ancak yine de en uygun algoritmayı kullanmak mümkün olmasa da farklı yöntemleri karşılaştırmak yararlıdır.

More Related