Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels

1. Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012. Source de l’image: www.mlssystems.com/thermoforming.htm

2. Présentation du plan de cours Plan de cours: http://plan-de-cours.etsmtl.ca/SYS823.pdf Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS-823 - Été 2011

3. Introduction SYS-823 - Été 2011

4. Pourquoi fait-on la modélisation ? • Modèle (Thinès-Lemp. 1975): • Système artificiel dont certaines propriétés présentent des analogies avec des propriétés, observées ou inférées, d’un système étudié, et dont le comportement est appelé, soit à révéler des comportements de l’original susceptibles de faire l’objet de nouvelles investigations, soit à tester dans quelle mesure les propriétés attribuées à l’original peuvent rendre compte de son comportement manifeste. • Référence : Cours 2, Automatique des systèmes linéaires à temps continu, Frédéric Gouaisbaut, LAAS-CNRS. SYS-823 - Été 2011

5. Les raisons de modéliser • Entraînement des opérateurs; • Design des procédés; • Sécurité; • Design des systèmes de contrôle. SYS-823 - Été 2011

6. L’entrainement de opérateurs • Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. • Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… • Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. • Simulateur de vol;… SYS-823 - Été 2011

7. Le design de procédés industriels • Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. • Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. SYS-823 - Été 2011

8. La sécurité d’un procédé • La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un équipement, le système va en se détériorant ou non. • Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance d’une valve. • On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le design d’un système de sécurité. SYS-823 - Été 2011

9. Le design de systèmes de contrôle • Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. • Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. • Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. SYS-823 - Été 2011

10. Modélisation d’un système dynamique SYS-823 - Été 2011

11. Éléments d’un système dynamique Entrées contrôlables Système (procédé) Sorties Perturbations Paramètres États du système SYS-823 - Été 2011

12. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: SYS-823 - Été 2011

13. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) SYS-823 - Été 2011

14. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) SYS-823 - Été 2011

15. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations SYS-823 - Été 2011

16. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations Vecteur des paramètres SYS-823 - Été 2011

17. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: • Sorties du système: SYS-823 - Été 2011

18. Équations d’un système dynamique • États du système: • Équations différentielles: • Sorties du système: Vecteur des sorties (p sorties) SYS-823 - Été 2011

19. Ces équations proviennent de… • …lois et relations mathématiques des domaines suivants: Physique mécanique Physique électrique Chimie Mécanique des fluides Thermo-dynamique Biologie Physique nucléaire Physiologie SYS-823 - Été 2011

20. Exemples Chimie Loi d’Arrhenius Physique mécanique Lois de Newton Physique électrique Relation courant tension d’une inductance Thermo-dynamique Les principes de la thermodynamique Physiologie Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) SYS-823 - Été 2011

21. Types… • Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: • Le système peut-être invariant dans le temps. • Le système peut ne pas avoir d’entrées. • Le système peut être continu ou discret. Linéaire Non-linéaire SYS-823 - Été 2011

22. Différentes approches de modélisation • Équations différentielles ordinaires; • Transformées de Laplace; • Équations d’état. SYS-823 - Été 2011

23. Exemple des 3 approches • Soit un système mécanique: • u(t) = force externe (entrée); • y(t) = déplacement de la masse (sortie). • Équation différentielle ordinaire SYS-823 - Été 2011

24. Approche – équations différentielles • Solution: • Divisant par k : SYS-823 - Été 2011

25. Obtention de la sortie y(t) • Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon d’amplitude A. SYS-823 - Été 2011

26. Approche – transformée de Laplace • Solution. • Transformée de Laplace : SYS-823 - Été 2011

27. Approche – transformée de Laplace • Puis : • Ce qui donne: SYS-823 - Été 2011

28. Approche – transformée de Laplace • Si u(t) est un échelon d’amplitude A: • Donc : SYS-823 - Été 2011

29. Approche – transformée de Laplace • Et la transformé de Laplace inverse donne: • Donc : SYS-823 - Été 2011

30. Bilan Manipulations plus simples SYS-823 - Été 2011

31. Approche – équations d’état • Solution. • Équation de départ : • Posant : SYS-823 - Été 2011

32. Approche – équations d’état • L’équation se réécrit: • Donc, nous avons le système d’équations suivant : SYS-823 - Été 2011

33. Approche – équations d’état • Sous forme matricielle : • La sortie y(t) s’écrit : SYS-823 - Été 2011

34. Approche – équations d’état • Valeurs propres de la matrice A : • Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… SYS-823 - Été 2011

35. Approche – équations d’état • La sortie y(t) s’écrit : Exponentielle d’une matrice !!! SYS-823 - Été 2011

36. Rappels de notions de systèmes asservis SYS-823 - Été 2011

37. Rappel – Signaux d’entrée SYS-823 - Été 2011

38. Rappel – Transformée de Laplace SYS-823 - Été 2011

39. Rappel – Transformée de Laplace • Fonction sinusoïdale amortie: • Fonction « cosinusoïdale » amortie: SYS-823 - Été 2011

40. Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace SYS-823 - Été 2011

41. Rappel – Décomposition en fractions partielles • 3 cas possibles: • Les racines du dénominateur sont réels et distincts; • Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; • Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. SYS-823 - Été 2011

42. Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1 • Exemple: SYS-823 - Été 2011

43. Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2 • Exemple: SYS-823 - Été 2011

44. Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3 • Exemple: SYS-823 - Été 2011

45. Rappel – Diagramme de Bode • Représentation d’un nombre complexe: • Soit: • En posant s = jω, on obtient: • C’est un nombre complexe. SYS-823 - Été 2011

46. Rappel – Diagramme de Bode • Amplitude du nombre complexe: • Exprimé en décibel: SYS-823 - Été 2011

47. Rappel – Diagramme de Bode • Phase d’un nombre complexe: • Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. SYS-823 - Été 2011

48. Rappel – Diagramme de Bode SYS-823 - Été 2011

49. Rappel – Diagramme de Nyquist • Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. SYS-823 - Été 2011

50. Rappel – Marges de phase et de gain • Diagramme de Bode: SYS-823 - Été 2011