1 / 8

Induktionsbevis

Induktionsbevis. AM 2010. INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde. Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = b Værdi efter n fremskrivninger = K n. K 1 = b + r  b = (1 + r)  b. Man fremskriver ved at gange med (1 + r).

obert
Télécharger la présentation

Induktionsbevis

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Induktionsbevis AM 2010

  2. INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = b Værdi efter n fremskrivninger = Kn K1 = b + r  b = (1 + r)  b Man fremskriver ved at gange med (1 + r) K2 = (1 + r)  K1 = (1 + r)  (1 + r)  b = (1 + r) 2  b K3 = (1 + r)  K2 = (1 + r)  (1 + r) 2  b = (1 + r) 3 b Generalisering: Kn = (1 + r) n b ...... tror vi da Eks. II 2  2 = 2 + 2 = 22 Generalisering: addition, multiplikation og potensopløftning er samme operation. .... nej, vel

  3. Sætning Lad Pn, nN være et udsagn, så gælder: P1er sand  (Pn  Pn+1,  nN)  Pn er sand  nN ”Oversat”: HVIS en påstand gælder på 1. trin OG HVIS påstanden gælder på trin n, så kan man vise, at det også gælder på næste trin (n+1) SÅ gælder påstanden for alle naturlige tal n

  4. Trin n+1 Trin n Trin 1

  5. Trin n+2 Trin n+1 Trin n Trin 2 Trin 1

  6. Bevismetoden INDUKTION • Vis, at sætningen gælder for n = 1 • Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1

  7. Sætning: Kn= K0 (1+r)n K1= K0+rK0 = K0  (1 + r) = K0  (1 + r)1  • n=1: Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 • Antagat Kn= K0(1+r)ner sandt for et trin n Kn+1= Kn (1 + r) = K0(1+r)n  (1 + r) Potensregel P1  = K0(1+r)n+1 dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN

  8. Sætning: (xn)’ = n  xn-1 (x1)’ = 1  x1-1  (x)’ = 1 x0  (x)’ = 1  • n=1: Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 • Antagat (xn)’ = n  xn-1er sandt for et trin n (x  xn)’  Produktreglen (xn+1)’ = = 1 xn + x  n  xn-1   (1+ n)xn = = 1xn + nxn=  (n + 1)xn dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN for aR Man kan med en anden metode vise, at(xa)’ = axa-1

More Related