Analyse Numérique Problèmes Pratiques

Analyse NumériqueProblèmes Pratiques DérivationIntégration

Introduction • f connue • sur un certain nb de points • ou analytiquement • besoin de connaître f' • sur ces points • sans faire le calcul analytique. • besoin de calculer l'intégrale • sans calculer la primitive • (quadrature) Analyse Numérique

Dérivation numérique 1/5 • Méthode "naïve" : • en théorie, la formule est vraie pour h  0 • en pratique, attention au choix de h ! • h trop grand : calcul trop approximatif • h trop petit : problèmes d'arrondis Analyse Numérique

Dérivation numérique 2/5 • Méthode des différences centrales : • Taylor : • On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi} • h = xi+1 - xi • f(x+h) • f(x-h) Analyse Numérique

Dérivation numérique 3/5 • Méthode des différences centrales (suite) : • f(x+h) - f(x-h) • en négligeant les termes en h3 : • meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2) Analyse Numérique

Dérivation numérique 4/5 • Méthode des différences centrales (suite) : • calcul des dérivées d'ordre supérieur : • f"(xi) ? Analyse Numérique

Dérivation numérique 5/5 • Méthode des différences centrales (fin) : • calcul des dérivées d'ordre supérieur : • en négligeant les termes en h4 : • et pour les autres dérivées ? Analyse Numérique

Intégration numérique 1/ • Plusieurs méthodes : • a et b finis • On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi} • polynôme d'interpolation sur n+1 pointsNewton-Cotes • On connaît f sur autant de points que l'on veut • polynôme d'interpolation + choix de n+1 pointsGauss-Legendre • a ou b infini • Gauss-Laguerre, ... Analyse Numérique

Intégration numérique 2/ • Méthodes polynomiales • On connaît la fonction sur n+1 points • 2 solutions : • calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x)calculer l'intégrale du polynôme de degré n • problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément • regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible)calculer les polynômes d'interpolation de degré psommer les intégrales de chaque sous-intervalle Analyse Numérique

Intégration numérique 3/ • Méthode des trapèzes : p+1=2 points • polynôme d'interpolation=droite • A = • soit h = xi+1 - xi A Analyse Numérique 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 4/ • Méthode de Simpson: p+1=3 points • polynôme d'interpolation de degré 2 i va de 0 à n-2avec un pas de 2 A Analyse Numérique 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 5/ • Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points • polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x) • comment trouverles i ? A Analyse Numérique 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 6/ • Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points • calcul des i = décomposition de l'intégrale dansla base {1, t, … tp} A Analyse Numérique 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 7/ • Exercice : • Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour : • retrouver la méthode des trapèzes • retrouver la méthode de Simpson • trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4) Analyse Numérique

Intégration numérique 8/ • Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? • Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) : • erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ] • erreur de quadrature : M majorant de|f (p+1)| Analyse Numérique

Intégration numérique 9/ • Erreur de quadrature pour : • les trapèzes • Simpson Analyse Numérique

Intégration numérique 10/ • Méthodes polynomiales récursives : • ex pour la méthode des trapèzes • découpage récursif de la surface en trapèzes I(0) I(1) Analyse Numérique 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 11/ • Bornes infinies ? • Méthode de Gauss-Laguerre Analyse Numérique

Intégration numérique 12/ • Intégrales multiples ? • Ex avec la méthode de Simpson • en dimension 2 : zij = f(xi, yj) k = yi+1 - yi h = xi+1 - xi Analyse Numérique

Sujet de TD Analyse Numérique

Conclusion Analyse Numérique

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