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淺介數學解題

淺介數學解題. 左太政 / 高雄師範大學數學系. 數學中的問題解決. 問題 , 是數學的核心 , 學習數學就是學習如何解決問題 , 包括那些可以轉換成數學題的各類問題 ( 即外在連結 ) 。 由於解題的態度和學習方法的不同 , 將影響其學習成效。. 解題的各種歷程. 觀察與發現 臆測與歸納其規律性 檢驗 驗證. 解題的各種方法. 歸納 演繹 推理 類比 轉化 一般化、特殊化 模型化 。. 解題後的反思. 一題多解 引申與題組 ( 改變條件 ) 縱向及橫向的推廣.

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淺介數學解題

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Presentation Transcript

  1. 淺介數學解題 左太政/高雄師範大學數學系

  2. 數學中的問題解決 • 問題,是數學的核心, • 學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。 • 由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。

  3. 解題的各種歷程 • 觀察與發現 • 臆測與歸納其規律性 • 檢驗 • 驗證

  4. 解題的各種方法 • 歸納 • 演繹 • 推理 • 類比 • 轉化 • 一般化、特殊化 • 模型化。

  5. 解題後的反思 • 一題多解 • 引申與題組(改變條件) • 縱向及橫向的推廣

  6. 據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。

  7. 參考解法

  8. 媒體報導某校國小六年級段考題 • 已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。

  9. 國小六年級段考題 • 在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。

  10. 實作範例 • 試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。

  11. 實作範例 • 下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。

  12. 實作範例 • 下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。

  13. 數學解題策略 • 瞭解問題-審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次, 直至了解題意。

  14. 數學解題策略 • 擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求解題途徑 (1) 儘可能畫出圖形或表格 (2) 檢查特例如令問題中整數取1,2,3,4,5等 代入,看看是否可歸納出規律來。 (3) 嘗試簡化問題如利用對稱性、採用 『不妨假設』 而不失問題的一般討論方式。 (4) 保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。 (5)將一個問題分成一系列子問題

  15. 數學解題策略 • 實行計畫- 選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題。

  16. 數學解題策略 回顧解答- 驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題, 自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。

  17. 3R解題策略(倒推法) • 解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request), • 適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response), • 最後導出結果(Result).這是所謂的「3 R」策略。

  18. 正整數與其數字之間的關係

  19. 應用問題 • 設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3185, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 763)

  20. 正整數與其數字的關係 • 設 a, b, c 為三個都不是零的數字,試問用 a, b, c 三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與 a, b, c 的關係。

  21. 參考解答

  22. 參考解答 • 設此三位數為 由上題及題意知， 故　　　　　　滿足題意

  23. 練習題 • 設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3194, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 853)

  24. 類題 • 114 這個數有一特點:將114 的各位數字的數字和乘以 19 就得到 114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。 • 你能否觀察出本問題何以需乘以 19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢?

  25. 參考解答 • 設此三位數為 由上題及題意知，

  26. 整數與其數字的關係 • 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 及 等,是否還有其它解? • 只有此二解35,75

  27. 整數與其數字的關係 • 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=1, 153= , 370, 371, 407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。 （難題）

  28. 數論:卡布列克怪數 • 卡布列克(L. D. Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25) =3025 這樣的數:即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。 • 試問四位數中有那些卡布列克怪數? • 類題:能否找出所有卡布列克怪數?

  29. 數論:卡布列克怪數 • 提示:四位數中共有三組解-即 • 2025, 3025, 9801, 巴納德找出:1, 81, 52881984,60481729, • 試問如何求出其他位數? • 例如:六位數只有兩個數:494209, 998001.

  30. 卡布列克怪數 • 由題意知: • 引進未知數: • (提示:共有三組解-2025, 3025, 9801)

  31. 猜年齡 小明今年的年齡的三次方是一個四位數,而四次方正好是一個六位數,又這兩個數的所有數字正好是0,1,2,3,…,8,9這十個數字組成,試問小明今年幾歲? (提示:設今年年齡為 x 歲,則可求得 x=18, 19, 20 , 21,再求得 x=18.)

  32. 邏輯思考 • 試問是否存在正整數n，使得n的每個位數的數字都相異， 的每個位數的數字都相異， 的每個位數的數字都相異，且所有數的數字正好是由 這十個數字所組成？試說明理由。 • 提示:不可能

  33. 趣味數論 • 已知 =0.1666…, 試求滿足條件 =0. … 的所有異於零的數字 與 的值。 答:

  34. AMC 數學競賽範例 • 一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整除該正整數的最大質數為何？ • 答: 13

  35. 台南市國中數學競賽 • 設 為正整數且滿足下列兩個條件： • (1) 恰有6個相異的正因數： • (2) ； • 試詳列出所有可能的 值。

  36. 趣味數論 • 能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數? • 答:不可能;為什麼?

  37. 趣味數論 • 類題: 能否將 1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題) 提示:可以辦到，是否有解題策略? 能否推廣?

  38. 從一道競賽題談起 • 問題： • 三角形之三邊長為 ，其中 .給定 值，試求滿足所有條件之所有可能的這樣之三角形個數，並求其規律。

  39. ㄧ般特殊化 • : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ • : 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25 • 其中 表示最大邊長為 的相異三角形(全等三角型不計)個數

  40. 可歸納為： • （1） • （2） 的公式為

  41. 操作題 • 已知三個數 ,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以 ；另外，求這二數的差再除以 ，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到 ？試說明理由。

  42. 參考解答 • 設三數分別為 ,經過一次操作後得到新的三數 : • 因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。 • 但 ，故不可能辦到。

  43. 代數題 • 已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是 • 637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。

  44. 代數題 • 已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是 • 637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。 • (提示:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有 9 種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是 256, 538, 381, 413, 659)

  45. 質數問題 • 對任意正整數 ，令 表示所有小於或等於 的質數中最大者，且 表示所有大於 的質數中最小者，試求: 的值。

  46. 參考解答 • 設p,q 為二連續質數，且p<q. 又2003與2011為二連續質數，因此

  47. 翻杯子或硬幣問題 • (專題研究題材)

  48. 主題:翻杯子問題 • 有 7 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。 (1) 規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次 運動後，全部杯口是否都會朝下? (2) 同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?

  49. 主題:翻杯子問題 • 有 8 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下? • 如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?

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