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PROPRIETES DES MATERIAUX SOLIDES

PROPRIETES DES MATERIAUX SOLIDES. Le solide cristallin. Électrons dans un solide. L’électron. R. Fortunier. L’ELECTRON. description physique. Le solide cristallin. L’électron. Électrons dans un solide. PROPRIETES DES MATERIAUX SOLIDES. R. Fortunier. CONGRES SOLVAY (1927).

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PROPRIETES DES MATERIAUX SOLIDES

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  1. PROPRIETESDESMATERIAUX SOLIDES Le solide cristallin Électrons dans un solide L’électron R. Fortunier

  2. L’ELECTRON

  3. description physique Le solide cristallin L’électron Électrons dans un solide PROPRIETESDESMATERIAUX SOLIDES R. Fortunier

  4. CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  5. CONGRES SOLVAY (1927) CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, E. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, F. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R. Fowler, L. Brillouin P. Debye, M. Knudsen, W. Bragg, H. Kramers, P. Dirac, A. Compton, L de Broglie, M. Born, N. BohrI. Langmuir, M. Planck, M. Curie, H. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. Guye, Ch. Wilson, O. Richardson Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  6. ONDE PLANE Fonction d’onde Position Temps CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE Amplitude Vecteur d’onde Pulsation RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule Fréquence (Hz) : Longueur d’onde (m) : FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Vitesse de propagation (m/s) : Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Ondes électromagnétiques (solutions des équations de Maxwell) Ondes de pression (sons, …)

  7. ONDE PLANE CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Exemples d’ondes électromagnétiques

  8. ONDE PLANE CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Superposition de deux ondes

  9. ONDE PLANE CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples y = y1 +y2 +y3 +y4 +y5 PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Superposition de plusieurs ondes

  10. PAQUET D’ONDE CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE Distribution du vecteur position au cours du temps (fonction d’onde) VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE Distribution du vecteur d’onde au cours du temps PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  11. PAQUET D’ONDE Distribution d’amplitude en position : CONGRES SOLVAY (1927) Distribution d’amplitude en vecteur d’onde : Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Isométrie de la Transformation de Fourier : Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  12. VITESSE DE GROUPE CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE t t t+Dt RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  13. RELATION D’INCERTITUDE CONGRES SOLVAY (1927) Dk Description d’une onde Dr ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Relation d’incertitude : Dk.Dr  1/2

  14. FONCTION D’ONDE y(r,t) : fonction d’onde CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde Dr dP = |y|2 dr Probabilité de trouver la particule à l’instant t dans un volume dr autour de r ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION |y|2dr = 1 Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE |y|2 : densité de probabilité

  15. ONDE DE DE BROGLIE particule onde CONGRES SOLVAY (1927) w k v m Description d’une onde ONDE PLANE impulsion : p = mv énergie : E = p.p / 2m vecteur d’onde : k pulsation : w PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Postulat de de Broglie Une particule (impulsion p et énergie E) peut être assimilée à une onde (vecteur d’onde k et pulsation w)avec : Description d’une particule FONCTION D’ONDE Constante de Planck : h = 6,63 10-34 Js Constante de Planck « réduite » : = h/2p = 1,04 10-34 Js ONDE DE DE BROGLIE h PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples p = k E = w PAQUET D’ONDE GAUSSIEN h h DESCRIPTION PHYSIQUE

  16. ONDE DE DE BROGLIE Fonction d’onde Position Temps CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde i y(r,t)= a e i(k.r –wt) y(r,t)= a e (p.r –Et) ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Densité de probabilité Vecteur impulsion Énergie Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION a |y|2dr  1 !! Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN h DESCRIPTION PHYSIQUE

  17. PRINCIPE DE SUPERPOSITION CONGRES SOLVAY (1927) Distribution du vecteur position r au cours du temps (fonction d’onde) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE + 1 y(r,t)= j(p,t) e (p.r –Et)dp Description d’une particule h3/2 - FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE Distribution du vecteur impulsion p au cours du temps PRINCIPE DE SUPERPOSITION + Exemples 1 j(p,t)= y(r,t) e- (p.r –Et) dr h3/2 PAQUET D’ONDE GAUSSIEN - h h i i DESCRIPTION PHYSIQUE Principe de superposition Une particule est décrite par une superposition d’ondes de de Broglie : un paquet d’onde

  18. PRINCIPE DE SUPERPOSITION position moyenne d’une particule CONGRES SOLVAY (1927) r |y|2dr <r> = r0= Dr Description d’une onde localisation d’une particule ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE Dr = <||r-r0||2> = <r.r> - r0.r0 Dk = <||k-k0||2> = <k.k> - k0.k0 RELATION D’INCERTITUDE impulsion moyenne d’une particule Description d’une particule p |j|2dk h Dp <p> = p0= FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE écart-type en impulsion d’une particule PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN Relation d’incertitude de Heisenberg : Dp.Dr  /2 DESCRIPTION PHYSIQUE

  19. PRINCIPE DE SUPERPOSITION CONGRES SOLVAY (1927) + 1 Description d’une onde y(r,t)= j(p,t) e (p.r –Et)dp E(p) E0 + v.(p-p0) h3/2 ONDE PLANE - p0 E PAQUET D’ONDE v= = VITESSE DE GROUPE p m t t+Dt p=p0 RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule particule de masse m FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE p.p PRINCIPE DE SUPERPOSITION E = 2m Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN h i DESCRIPTION PHYSIQUE

  20. PAQUET D’ONDE GAUSSIEN (p-p0)2 CONGRES SOLVAY (1927) 1 |j |2= e s2 2 p1/2 s Description d’une onde ONDE PLANE |j |2 PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE s= 0,3 h Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION p0 = 3 Exemples p PAQUET D’ONDE GAUSSIEN h h DESCRIPTION PHYSIQUE distribution en impulsion :

  21. PAQUET D’ONDE GAUSSIEN s CONGRES SOLVAY (1927) -x2s2 |y |2= e p1/2 Description d’une onde ONDE PLANE |y |2 PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE h h RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule 1/s = 3,3 h FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION x0 = 0 Exemples x/ PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE distribution en position à t=0 :

  22. PAQUET D’ONDE GAUSSIEN a CONGRES SOLVAY (1927) -X2a2 |y |2= e p1/2 Description d’une onde ONDE PLANE |y |2 PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE h h RELATION D’INCERTITUDE 1 a2= Description d’une particule 1 s22t2 h + s2 m2 FONCTION D’ONDE p0 X = x- t ONDE DE DE BROGLIE m PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples x/ PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE distribution en position à t>0 :

  23. PAQUET D’ONDE GAUSSIEN CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE Application numérique 1 Un électron est localisé à t=0 dans un intervalle Dx = 1Å. Où sera-t-il localisé au bout de 1 seconde ? Dx  600 km !!! Application numérique 2 Quel temps faut-il pour qu’un millimètre cube d’eau double de volume ? t 1015 années !!!

  24. CONGRES SOLVAY (1927) Description d’une onde ONDE PLANE PAQUET D’ONDE VITESSE DE GROUPE RELATION D’INCERTITUDE Description d’une particule FONCTION D’ONDE ONDE DE DE BROGLIE PRINCIPE DE SUPERPOSITION Exemples PAQUET D’ONDE GAUSSIEN DESCRIPTION PHYSIQUE

  25. équations de mouvement Le solide cristallin L’électron Électrons dans un solide PROPRIETESDESMATERIAUX SOLIDES R. Fortunier

  26. Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES EQUATIONS DE MOUVEMENT

  27. CAS GENERAL i S y(r,t)= a e onde plane de de Broglie : Équation de Schrödinger - action : S = p.r – Et CAS GENERAL - énergie : E = p.p/2m + V ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel h h DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES y p2 i = Ey = (p2/2m + V)y PARTICULE DANS UNE BOÎTE Dy = div(grady) = div(yp) = - y  t Oscillateur harmonique 2 2 y DESCRIPTION ET RESOLUTION Dy + Vy = i EXEMPLES  t 2m h h h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  28. CAS GENERAL équation de SCHRÖDINGER : Équation de Schrödinger  CAS GENERAL 1 y(r,t)= j(p) i e (p.r –Et) dp ETATS STATIONNAIRES h3/2 CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE - Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION 2 y EXEMPLES Dy + Vy = i PARTICULE DANS UNE BOÎTE  t 2m Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES h h h EQUATIONS DE MOUVEMENT sol. Générale = combinaison linéaire d’ondes planes = paquet d’ondes

  29. ETATS STATIONNAIRES y(r,t)= y(r) W(t) Équation de Schrödinger CAS GENERAL 2 Dy + Vy = Ey ETATS STATIONNAIRES -i 2m e Et CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel ondes stationnaires DESCRIPTION ET RESOLUTION -i EXEMPLES yn(r,t)= yn(r) e E tavec |yn|2indt du temps n PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique superposition d’ondes stationnaires DESCRIPTION ET RESOLUTION y(r,t)= Sanyn(r,t) et |y|2fonction du temps EXEMPLES n h h h EQUATIONS DE MOUVEMENT solutions non triviales (non nulles) pour certaines énergies En : yn(r)

  30. CAS LIMITE DE LAMECANIQUE CLASSIQUE i S y(r,t)= a e avec a = a(r,t) et S = S(r,t) Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel 2 1 (a2) gradS S ( + gradS.gradS+V- Da) -i ( +div(a2 ) = 0 DESCRIPTION ET RESOLUTION 2m 2 2ma t y t m EXEMPLES Dy + Vy = i E PARTICULE DANS UNE BOÎTE « petit »  t v 2m Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES Équation d’Hamilton-Jacobi Équation de continuité h h h h h h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  31. DESCRIPTION ET RESOLUTION Conditions aux limites (x + et x -) 2m y’’+ (E-V0)y = 0 Équation de Schrödinger 2 CAS GENERAL y = B1ebx y = B2e-bx ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique 2m y’’+ Ey = 0 2 DESCRIPTION ET RESOLUTION 2mE EXEMPLES y = A1eiax + A2e-iax avec a = h h h h h 2m(V0-E) 2m(V0-E) b = b = EQUATIONS DE MOUVEMENT

  32. DESCRIPTION ET RESOLUTION Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE ? Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE y1 = B1ebx y2 = A1eiax + A2e-iax y3 = B2e-bx Oscillateur harmonique 2mE DESCRIPTION ET RESOLUTION a = EXEMPLES h h 2m(V0-E) b = EQUATIONS DE MOUVEMENT

  33. DESCRIPTION ET RESOLUTION Équation de Schrödinger y1 = B1ebx CAS GENERAL y2 = A1eiax + A2e-iax ETATS STATIONNAIRES y1 (0) = y2 (0) CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE y3 = B2e-bx y2 = B1(cos(ax)+(b/a)sin(ax)) Y1‘ (0) = y2‘(0) Particule dans un puits de potentiel y2 (a) = y3 (a) y3 = B1(cos(ax)+(b/a)sin(ax))eb(a-x) DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES Y2‘ (a) = y3‘(a) B1(2cos(aa)-(a2-b2/ab)sin(aa)) = 0 PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES EQUATIONS DE MOUVEMENT Conditions de continuité (x =0 et x =a) B1 = 0 ou tan(aa/2) = b/a ou tan(aa/2-p/2) = b/a

  34. DESCRIPTION ET RESOLUTION x2+h2 = K2 = 2mV0a2/ 2 x tan(x) = h ou x tan(x-p/2) = h Équation de Schrödinger CAS GENERAL a1, b1 ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE a2, b2 Particule dans un puits de potentiel a3, b3 DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES a4, b4 PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION Plusieurs solutions (energies Ei = 2ai2/m) EXEMPLES h h EQUATIONS DE MOUVEMENT x = aa/2 h = ba/2

  35. EXEMPLES électron a = 1 Å, V0 = 379 eV Équation de Schrödinger CAS GENERAL a 2mV0 ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE K = = 5 J.s. Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  36. EXEMPLES Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION K = 10 ou 100 J.s. p2 2 n2 EXEMPLES K infini  En = 2m a2 h EQUATIONS DE MOUVEMENT Augmentation de K (m plus grande, V0 plus fort)

  37. PARTICULE DANS UNE BOÎTE Enpq = ( + + ) 2 p2 n2 p2 q2 Équation de Schrödinger 2m a2 b2 c2 CAS GENERAL électron a = b = 1 Å ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES n = 2, p = 1 n = 2, p = 2 h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  38. DESCRIPTION ET RESOLUTION 2m y’’+ (E-V)y = 0 2 Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel x DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE V = ½ mw2x2 Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES mécanique classique mécanique quantique h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  39. DESCRIPTION ET RESOLUTION Équation de Schrödinger 2m y’’+ (E-½mw2x2)y = 0 2 CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES 2E y’’(x) + ( - x2)y (x) = 0 CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE w Particule dans un puits de potentiel y(x)= c(x)exp(-x2/2) DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES E 1 PARTICULE DANS UNE BOÎTE c’’ – 2xc’ + 2( - )c = 0 w E = En = w(n+1/2) 2 Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES x = x (mw/ )1/2 h h h h h EQUATIONS DE MOUVEMENT c(x)= CHn(x) (polynôme d’Hermite de degré n)

  40. EXEMPLES En = w(n+1/2) Spectre discret en énergie : Équation de Schrödinger niveaux faibles CAS GENERAL mw = (soit x = x) ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE niveaux élevés Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES h h EQUATIONS DE MOUVEMENT

  41. Équation de Schrödinger CAS GENERAL ETATS STATIONNAIRES CAS LIMITE DE LA MECANIQUE CLASSIQUE Particule dans un puits de potentiel DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES PARTICULE DANS UNE BOÎTE Oscillateur harmonique DESCRIPTION ET RESOLUTION EXEMPLES EQUATIONS DE MOUVEMENT

  42. grandeurs physiques Le solide cristallin L’électron Électrons dans un solide PROPRIETESDESMATERIAUX SOLIDES R. Fortunier

  43. Opérateurs et observables DEFINITION EXEMPLES Moment cinétique DEFINITION VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES Première description des atomes EQUATION DE SCHRÖDINGER MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES GRANDEURS PHYSIQUES

  44. DEFINITION Opérateurs et observables DEFINITION EXEMPLES Moment cinétique DEFINITION VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES fonctions propres de la grandeur physique valeurs propres de la grandeur physique Première description des atomes EXEMPLE : énergie d’une particule dans une boîte 1D EQUATION DE SCHRÖDINGER MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN y = yn = (2/A)1/2 sin(npx/A)exp(iEnt/ ) A p2 2 n2 CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES lorsque E = En = 2m A2 h h GRANDEURS PHYSIQUES f : grandeur physique que l’on souhaite mesurer (position, énergie, …) y : fonction d’onde décrivant l’état du système dans lequel on souhaite mesurer f (particule dans un puits de potentiel, …) y=yn lorsque f=fn

  45. DEFINITION Opérateurs et observables DEFINITION EXEMPLES Moment cinétique DEFINITION VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES Première description des atomes EQUATION DE SCHRÖDINGER MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES GRANDEURS PHYSIQUES principe de superposition y = Sanyn • Si y = yn, alors an = 1 (les autres sont nuls) et on est sûr de mesurer fn • Si an = 0, alors la valeur propre fn ne peut être observée |an|2 : probabilité de mesurer fn pour la grandeur physique f • La mesure de f doit donner une des valeurs propres fn avec une probabilité de 1, donc S|an|2 =1 an = (y,yn) an : composante de y dans la base des fonctions propres yn

  46. DEFINITION Opérateurs et observables DEFINITION EXEMPLES Moment cinétique DEFINITION VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES Première description des atomes EXEMPLE : énergie d’une particule dans une boîte 1D EQUATION DE SCHRÖDINGER <f> = S fn |an|2 = S fn any*yndr = y* S an fn yn dr MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN A ^ image de y par l’opérateur f associé à la grandeur physique f CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES GRANDEURS PHYSIQUES |an|2 : probabilité de mesurer une énergie E = En pour la particule Valeur moyenne de l’énergie : <E> = S En |an|2 CAS GENERAL : valeur moyenne de la grandeur f

  47. DEFINITION ^ f : opérateur (ou observable) associé à la grandeur physique f Opérateurs et observables f : y  fy = S anfnyn DEFINITION ^ ^ EXEMPLES Moment cinétique DEFINITION VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES Première description des atomes Valeur moyenne de f : Valeurs propres et vecteur propres : + ^ <f> = y* f y dr EQUATION DE SCHRÖDINGER ^ f yn = fnyn - MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES GRANDEURS PHYSIQUES

  48. EXEMPLES grandeur physique opérateur ou observable Opérateurs et observables ^ r y = r y DEFINITION position r EXEMPLES ^ Moment cinétique impulsion p p y = grad(y) i DEFINITION ^ 2 VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES Ecy = - Dy 2m Première description des atomes ^ V y = Vy EQUATION DE SCHRÖDINGER ^ 2 H y = - Dy + Vy MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN 2m CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES h h h GRANDEURS PHYSIQUES énergie cinétique Ec = p2/2m énergie potentielle V énergie totale E=Ec+V

  49. DEFINITION ^ ^ ^ ^ moment cinétique : opérateur J vérifiant la relation JJ = i J Opérateurs et observables ^ ^ ^ Exemple 1 : le moment cinétique orbital L = r  p DEFINITION EXEMPLES ^ Moment cinétique mécanique « classique » L y = r  grad(y) i z DEFINITION p2 VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES p1 L = r  p mécanique « quantique » r Première description des atomes L1 y EQUATION DE SCHRÖDINGER MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN L2 x CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES h h h ^ ^ ^ LL = i L ?? GRANDEURS PHYSIQUES

  50. DEFINITION Coordonnées sphériques Opérateurs et observables DEFINITION EXEMPLES ^ Moment cinétique L y = r  grad(y) i DEFINITION cosq ^ 2y y VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES L2y = - 2 [ + ^ y sinq q2 q Lzy = Première description des atomes i j 1 2y + ] sin2q j2 EQUATION DE SCHRÖDINGER MOMENT CINETIQUE INTRINSEQUE SPIN 2 2y y 1 ^ Dy = + - L2y CLASSIFICATION DES ELEMENTS CHIMIQUES r r2 r r22 h h h h GRANDEURS PHYSIQUES

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