1 / 201

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO. 11 DE AGOSTO DE 2008. REVISÃO. ENGENHARIA DE PROCESSOS. PROCESSO ???. Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial.

Télécharger la présentation

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 11 DE AGOSTO DE 2008

  2. REVISÃO

  3. ENGENHARIA DE PROCESSOS PROCESSO ??? Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial. Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos. Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química

  4. ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

  5. 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS O conjunto de ações desenvolvidas Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico  É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

  6. 1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema. Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem: SÍNTESE (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema. ANÁLISE (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE

  7. Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Investigar mercado para o produto Calcular a vazão dascorrentes intermediárias Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensõesdos equipamentos Investigar reagentesplausíveis Definir o número e o tipo de trocadores de calor Calcular o consumo dos insumos Investigar disponibilidade das matérias primas Estabelecer malhas de controle Calcular o consumo de matéria prima Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Definir o fluxogramado processo Avaliar a lucratividadedo processo SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE

  8. RM RT DS DE Aquecedor Resfriador Trocador deIntegração Reator demistura Reator tubular Coluna de destilaçãosimples Coluna de destilaçãoextrativa T R A MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções

  9. EXPLOSÃOCOMBINATÓRIA !!!

  10. MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Cada par (x1,x2)é uma solução viável Problema: determinar o melhor par de valoresDificuldade: infinidade de soluções viáveis

  11. 1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização. Exige a busca da através da Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Fonte da complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis. Nível Tecnológico:determinar a melhor rota química. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

  12. Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados ? P ? ? A,B P,C D,E P,F A+B P+C D+E P+F ?? ?? 4 A 1 P 2 D 3 P A P D P x x B C E F x x B C E F T D M D T A M E ? ? ? ? L L L L 6 8 10 7 x* x* x* x* x x o = 3 x o = 4 x o = 6 x o = 5 x x x Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima:Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

  13. ? P ? ? D,E P,F D+E P+F ?? D 3 P x E F ? L 10 4 x Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetiçõessem omitir a ótima Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória(outros métodos) Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima:Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

  14. ANÁLISE SÍNTESE 2 6 INTRODUÇÃO À INTRODUÇÃO À ANÁLISE DEPROCESSOS SÍNTESE DE PROCESSOS 8 7 3 4 5 SÍNTESE DE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO SISTEMAS DE SEPARAÇÃO OTIMIZAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA

  15. 2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos 2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica 2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos 2.1 Objetivo e Procedimento Geral

  16. 2.1 OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL Objetivo da Análise Prever e avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto) “Bola de Cristal”

  17. Prever e avaliar o desempenho FÍSICO (???) Consiste em(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado. Base Modelo Matemático

  18. Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO (???) Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico

  19. A Análise se inicia com as seguintesetapas preparatórias: (a)reconhecimento do processo (b)modelagem matemática (c)seleção de métodos para aestimativa das propriedadese dosparâmetros físicos e econômicos. Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da análise: Dimensionamento Simulação

  20. Resumoda Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 3 4 5 ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO OTIMIZAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA Variáveis Especificadas Parâmetros Econômicos ParâmetrosFísicos MODELOFÍSICO Dimensões Calculadas Lucro MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis de Projeto 

  21. Simular Extrator Dimensionar Extrator Simular Evaporador Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Simular Condensador Resolver Problema Dimensionar Resfriador Simular Resfriador Dimensionar Misturador Simular Misturador Dimensionar Processo Simular Processo Otimizar Processo Calcular Lucro

  22. MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

  23. Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . . fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0 Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo (Capítulo 2) 24. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0 25. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 26. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 27. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 28. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Arr = 0 29. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

  24. Modelo do Processo 01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. f13 - k (f23/f32) f12 = 005. f13 - k (f23/f32) f12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Acc = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Arr = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W52] = 0 16. Qe - Ue Aee = 0 17. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 /W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 /W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/W4 = 0

  25. Competem ao Engenheiro Químico CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS ENG. DE PROCESSOS Formulação e Resolução dos Modelos (a) a Formulação (Modelagem Matemática): Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos para representar o processo matematicamente. É pré-requisito para esta Disciplina. (b) a Resolução : Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação eotimização. Formulação e Resolução !!!

  26. Em geral, os modelos de processos são muito complexos. Fontes de complexidade: (a) grande número de equações e de variáveis (b) não-linearidades em muitas equações (c) presença de reciclos nos processos Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo

  27. Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Variáveis Especificadas Parâmetros Econômicos ParâmetrosFísicos MODELOFÍSICO Dimensões Calculadas Lucro MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis de Projeto minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).

  28. FINALIDADE DO CAPÍTULO 3 Familiarização com modelos matemáticos de processos: - sua estrutura- os métodos de resolução - aplicações na análise de processos complexos. Base dos “softwares” comerciais

  29. 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

  30. 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas A resolução dos modelos passa pela resolução de equações do tipo f (x1*, x2*,…, xi,…, xn*) = 0 em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*. Métodos de resolução de equações serão invocados adiante na resolução de sistemas de equações.

  31. 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.1 Representação

  32. 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES . . . . . . . . . x2 x i - 1 x1 x i f j xM x i + 1 . . . . . . . . . 3.1.1 Representação A equação f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente:

  33. A dificuldade da resolução de f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 depende da sua forma funcional. Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0 Se a incógnita fôr x2:x1* x2 + ln x1* = 0 A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*)/x1* Se a incógnita fôr x1:x1x2* + ln x1 = 0 A resolução tem que ser numéricapor tentativas (inúmeros métodos).

  34. 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.2 Resolução

  35. 3.1.2 Resolução Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Métodos de Aproximações Sucessivas Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior) Partem de umvalor inicial. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

  36. 3.1.2 Resolução  x x x x x x i i i s s s (a) Métodos de Redução de Intervalos Dados os limites superior xs e inferior xi, define-se o intervalo de incertezaxs - xi . Esteé reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerânciapré-estabelecida: xs - xi . Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

  37. Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

  38. fs fs xi xs fi f fi f x f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs,  (tolerância) Calcular fi em xi xi Calcular fs em xs x xs REPETIR x x = (xi + xs)/2 Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): atualizar : xi = x : fi = f Se Sinal (f) = Sinal (fs): atualizar : xs = x : fs = f ATÉxs - xi  f(x) SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xiSENÃO Solução = xs x

  39. Exemplo: x1x2* + ln x1 = 0 f = x1x2* + ln x1 Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1Tolerância:  = 0,1 xi fix fxs fs 0,00005 -11,51 1 2 1 0,5 0,307 0,00005 -11,51 0,25 -0,88 0,5 0,307 0,5 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,125 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%.Com 9, o intervalo é reduzido a menos de 1%

  40. 3.1.2 Resolução xi xs (b) Métodos de Aproximações Sucessivas Atribui-se um valor inicialpara a incógnita. Esse valoré atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerânciapré-estabelecida. x1 x2 x3 x4

  41. Um método típico de Aproximações Sucessivas Método da Substituição Direta F(x) x A incógnita é explicitada parcialmente:f(xi ) = 0 xi = F(xi) A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

  42. ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Modos de Convergência F(x) F(x) F(x) x x x x x x x x x F(x) 1 3 2 1 3 1 2 3 2 x x x F'(x)>0 |F'(x)<1 F'(x)>0 |F'(x)|>1 F'(x)<0 |F'(x)| <1 F'(x) <0 |F'(x)| >1 convergência monotonica divergência monotonica convergência oscilante divergência oscilante x x x 1 2 3 (d) x (a) (b) (c) F’(x) > 0: Comportamento Monotônico F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo)

  43. ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F F(x) F(x) Convergir = |(F - x)/x| <  x2 x3 x1 x3 x2 x1 x x F'(x) < 0 |F'(x)| < 1 F'(x) > 0 |F'(x) < 1 convergência oscilante convergência monotonica (c) (a)

  44. Exemplo: x1x2* + ln x1 = 0 Duas formas de explicitar a incógnita: x1 = - (1/ x2*) ln x1F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 x1 = e - x1x2*F(x1) = e - x1x2*

  45. F(x) F(x) x x x x x x 1 2 3 3 1 2 x x F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x1 x2* x F  x F  0,5 0,346 0,308 0,5 0,367 0,264 0,346 0,529 0,529 0,367 0,479 0,302 0,529 0,317 0,400 0,479 0,383 0,199 0,317 0,573 0,806 0,383 0,464 0,210 0,573 0,278 0,515 0,464 0,395 0,149 Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17 Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85 Exemplo: x1x2* + ln x1 = 0 x1 = F(x1) (x2* = 2 : x1 inicial = 0,5) Solução: x = 0,4263

  46. Em resumo: • Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: • redução de intervalos (ex.: bisseção) • aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações.

  47. 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação

  48. 3.2SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação . . . . . . . . . x2 x i - 1 x1 x i f j xM x i + 1 . . . . . . . . . A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 representada como um “processador de informação”

  49. Estrutura dos Sistemas de Equações f (x x ) = 0 f (x ,x ,x = 0 , ) 1 o 1 1 o 1 3 f (x ,x ) = 0 f (x ,x ) = 0 2 1 2 2 1 2 f (x ,x ) = 0 f (x ,x ) = 0 3 2 3 3 2 3 x 3 x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 Estrutura Acíclica Estrutura Cíclica As equações de um modelo ser interligadas pelas variáveis comuns (conexões) formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Estruturas Básicas

More Related