数学のかたち

数学のかたち 共線問題と共点問題 MasashiSanae

テーマ メネラウスの定理、チェバの定理から共線問題と共点問題について考える共線・・・点が同一直線上に存在共点・・・直線が1点で交わる

内容 • メネラウスの定理 • メネラウスの定理とその証明 • メネラウスの定理の応用 • チェバの定理とその証明 • メネラウスの定理、チェバの定理の逆 • メネラウスの定理の逆 • チェバの定理の逆 • メネラウスの定理の逆と共線問題 • チェバの定理の逆と三角形の五心 • チェバの定理の逆の応用 • メネラウスの定理の拡張 • 多角形におけるメネラウスの定理 • 多角形におけるチェバの定理 • 空間におけるメネラウスの定理

Ⅰ　メネラウスの定理 メネラウスの定理とその証明

メネラウスの定理 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。 3点 P,Q,R が同一直線上にあるとき、が成り立つ。デモ

メネラウスの定理のパターン

証明１　線分の相似比を用いる

【問１】　補助線を変えて証明 (1) (2)

証明２　面積比を用いる

Ⅰ　メネラウスの定理 メネラウスの定理の応用

例題１（メネラウスの定理の応用）

例題１　解答 △OAC と直線 PB △OBC と直線 AQ

【問２】

【問２】　方針　 △PAB を求めることで、AP：PD がわかる。

【問２】　方針　 △ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる。

Ⅰ　メネラウスの定理 チェバの定理とその証明

チェバの定理 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。 3直線 AP,BQ,CR が一点で交わるとき、が成り立つ。デモ

【問３】　チェバの定理のパターン デモ

【問４】証明①相似比による証明

【問４】　証明②面積比による証明

証明③メネラウスの定理を利用 △ABP と直線 RC △OBC と直線 AQ

Ⅱ　メネラウスの定理、チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理（再掲） 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。 3点 P,Q,R が同一直線上にあるとき、が成り立つ。

メネラウスの定理の逆 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。が成り立つならば、3点 P,Q,R は同一直線上にある。

メネラウスの定理の逆はなりたたない （反例）

メネラウスの定理の逆（修正版） 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が偶数個、外分点が奇数個で、かつ、が成り立つならば、3点 P,Q,R は同一直線上にある。

メネラウスの定理の逆の証明 Q,R が辺の内分点で、直線 RQ と BQ の交点をP’ とするとき、条件より、

Ⅱ　メネラウスの定理、チェバの定理の逆 チェバの定理の逆

チェバの定理（再掲） 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。 3直線 AP,BQ,CR が一点で交わるとき、が成り立つ。

チェバの定理の逆 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。が成り立つならば、3直線 AP,BQ,CR は一点で交わる。

チェバの定理の逆もなりたたない （反例）

チェバの定理の逆（修正版） 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、が成り立つならば、3直線 AP,BQ,CR は一点で交わる。

修正版もなりたたない （反例）

チェバの定理の逆（再修正版） 3点 P,Q,R をそれぞれ△ABCの3辺 BC,CA,AB の内分点、またはたは外分点とする。内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、が成り立つならば、3直線 AP,BQ,CR は一点で交わるか、またはすべて平行である。

チェバの定理の逆の証明 P,Q が辺の内分点で、直線 AP と BQ の交点をO、CO と AB の交点を R’ とするとき、条件より、

Ⅱ　メネラウスの定理、チェバの定理の逆 メネラウスの定理の逆と共線問題

シムソンの定理 △ABC の外接円の任意の点 D から、3直線 BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ、 P, Q, R とする。このとき、この3点は同一直線上にある。デモ

シムソンの定理の証明　（方針） △ABC と3点 P,Q,R において、が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）

シムソンの定理の証明

ニュートンの定理 四角形 ABCD の対辺 AB,CD の延長線の交点を E、AD,BC の延長線の交点を F とする。 AC,BD,EF の中点をそれぞれ P,Q,R とするとき、この3点は同一直線上にある。デモ

ニュートンの定理の証明　（方針） BC の中点を G、GP と CE の交点を H、GQ と BE との交点を I とする。 3点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であるから、3点は同一直線上。 △GHI と3点 P,Q,R において、が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）

ニュートンの定理の証明 △EBC と3点 P,Q,R において、

デザルグの定理 △ABC と △A’B’C’ において、直線 AA’, BB’, CC’ が1点 O で交わっている。直線 AB と A’B’、 BC と B’C’、CA と C’A’ の交点をそれぞれ P,Q,R とするとき、この3点は同一直線上にある。デモ

デザルグの定理の証明　（方針） △ABC と3点 P,Q,R において、が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）

デザルグの定理の証明 △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’R △OAB と直線 PB’

デザルグの定理の証明 △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’RC △OAB と直線 PB’

パップスの定理 2直線上の3点をそれぞれ、A,B,C,A’, B’, C’とする。線分 AB’ と A’B、BC’ と B’ C、AC’ と A’C の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この3点は一直線上にある。デモ

【問５】　証明　（方針） 直線 AB’ と BC’ との交点を D、A’C と AB’，BC’ との交点をそれぞれ E,F とする。 △DEF と3点 P,Q,R において、が成り立つことをいえばよい。（メネラウスの定理の逆）

数学のかた ち