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第三节

演算. Shanghai. University. Dianji. 第二章. 第三节. 高阶导数. 一、高阶导数的概念. 二、高阶导数的运算法则. 演算. Shanghai. University. Dianji. 一、高阶导数的概念. 引例 ： 变速直线运动. 速度. 即. 加速度. 即. 演算. Shanghai. University. Dianji. 若函数. 的导数. 可导 ,. 则称. 定义. 的导数为. 记作. 的 二阶导数 ,. 或. 即. 或. 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,.

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  1. 演算 Shanghai University Dianji 第二章 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则

  2. 演算 Shanghai University Dianji 一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动 速度 即 加速度 即

  3. 演算 Shanghai University Dianji 若函数 的导数 可导, 则称 定义. 的导数为 记作 的二阶导数, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , 分别记作 阶导数的导数称为 n阶导数 , 或

  4. 演算 Shanghai University Dianji 求 设 例1. 解: 可得 依次类推 , 问 思考:设

  5. 演算 Shanghai University Dianji 求 例2.设 解: 特别有: 例3. 设 求 解: 规定 0 ! = 1 思考:

  6. 演算 Shanghai University Dianji 求 例4.设 解: 一般地 , 类似可证:

  7. 演算 Shanghai University Dianji 例5 . 设 解:

  8. 演算 阶数 Shanghai University Dianji 求使 存在的最高 例6.设 2 分析: 又 但是 不存在 .

  9. 演算 设函数 及 Shanghai University Dianji 二、高阶导数的运算法则 都有 n阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式

  10. 演算 Shanghai University Dianji 例7. 求 则 解:设 代入莱布尼兹公式 , 得

  11. 演算 由 得 Shanghai University 即 Dianji 求 例8. 设 即 解: 用莱布尼兹公式求 n阶导数 令 得 由 得

  12. 演算 Shanghai University Dianji 内容小结 高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 —— 利用已知的高阶导数公式 (3) 间接法 如, (4) 利用莱布尼兹公式

  13. 演算 Shanghai University Dianji 思考与练习 1.如何求下列函数的n阶导数? 解: 解:

  14. (3) 演算 Shanghai University Dianji 提示:令 原式 原式

  15. 演算 Shanghai University Dianji 解:

  16. 演算 Shanghai University Dianji 则 2. (填空题) (1) 设 各项均含因子 ( x – 2 ) 提示: 则当 (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示:

  17. 演算 Shanghai University Dianji 3. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P101 题4 ) 作业 P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)

  18. 演算 Shanghai University Dianji 备用题 求 设 其中 f 二阶可导. 解:

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