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TEMA II 2da Parte Recursividad. La mayoría de los lenguajes son recursivos : empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.
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TEMA II 2da ParteRecursividad • La mayoría de los lenguajes son recursivos: empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones. La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro
Recursividad • Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas. • Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.
Recursividad • La recursividad comienza por tomar algunos elementos básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos: • Dadas las oraciones básicas ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes: Hume canta y Kant baila Hume canta o Kant baila Si Hume canta, Kant baila Hume no canta Kant no baila Hume canta si y sólo si Kant baila ETC.
Recursividad • Podemos seguir aplicando esto en general: dadas las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes: O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc. • Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que • ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será • ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’
Recursividad -Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta, Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta o Kant baila, Hegel da palmas -Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila -Hegel da palmas si y sólo si Kant baila -Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas
Recursividad • La recursividad permite construir algunas oraciones peculiares: -Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila… -Si Hegel da palmas, Hegel da palmas -Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas
Recursividad • Nuestro lenguaje lógico también va a ser recursivo. • Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar FÓRMULAS • Comenzaremos por definir cuáles son las oraciones simples o fórmulasatómicas • A continuación daremos un método de combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares
Fórmulas atómicas • Serán las que correspondan a las oraciones simples del castellano: sin ninguna partícula lógica. • Se trata por tanto de las constantes proposicionales: p q r … son (algunas) fórmulas atómicas
Fórmulas moleculares • Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas: p q p r q p r q -q son (algunas) fórmulas moleculares
Ambigüedad • En el lenguaje natural con frecuencia aparecen posibles ambigüedades: Hume canta o Kant baila y Hegel dará palmas ¿Da o no da palmas Hegel? Ahora sí: Hume canta o Kant baila, Hegel da palmas Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel dará palmas
Ambigüedad • En lógica queremos construir fórmulas que excluyan toda ambigüedad. • En el lenguaje natural usamos diversos elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto. • Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.
Ambigüedad • Nuestro principal recurso contra la ambigüedad son los PARÉNTESIS. • Sea: p Hume canta ; q Kant baila; r Hegel da palmas p q r es AMBIGUA; equivale a: Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas p (q r) H canta, o K baila y He da palmas (p q) r H canta o K baila, y He da palmas
Metavariables • Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el castellano es su metalenguaje. • Pero necesitamos ampliar nuestro metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas. • Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas: … - Las llamaremos METAVARIABLES
Metavariables • Una constante, como p, representa aquello que la hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc) • Una metavariable, como , representa cualquier fórmula: p ; -q ; pr ; p (q r) ; p (p p) … - Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa
Reglas de formación • (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica) • (ii) Si es fórmula, entonces - es fórmula • (iii) Si , son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas • (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)
Reglas de formación (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula • De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas: p q r s t u p1 p2 p3 …
Reglas de formación (ii) Si es fórmula, entonces - es fórmula • Dadas las anteriores, también son fórmulas: -p -q -r -s -t -u -p1 -p2 -p3 … -Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas: --p--q … ---p Todas estas también son fórmulas
Reglas de formación (iii) Si , son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Dadas (i) y (iii) serán fórmulas: (p q) (p s) (p r) … (q p) … (p q) (p s) (p r) … (q p) … (p q) (p r) … (p q) (p r) …
Reglas de formación (iii) Si , son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas: (p -q) (-p s) (p -r) … (q -p) … (-p q) (p -s) (-p -r) … (-q p) … (p -q) (-p r) (-p -r) … (-p q) (p -r) (-p r) …
Reglas de formación (iii) Si , son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas : -(p -q) -(-p s) -(p -r) … -(q -p) … -(-p q) -(p -s) -(-p -r) …-(-q p) … -(p -q) -(-p r) -(-p -r) … -(-p q) -(p -r) -(-p r) … --(p q) … --(-p -q) … -(p --q) …
Reglas de formación • Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos: (p (p q)) (-p (q -s)) (p -r) (q -p) (p ((-p q) (p -s))) ((-p -r) (-q p)) (p -q) …
Reglas de formación (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii) - Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.
Reglas de simplificación • Pueden suprimirse siempre: (a) Los dos paréntesis externos: (p (q -r)) p (q -r) (Nota: El símbolo se lee como ‘es equivalente a’)
Reglas de simplificación • Pueden suprimirse siempre: (b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores: (p (q r)) (p q r) pero (p -(q r)) (p -q r) !! (p (-q r)) (p -q r) pero (p -(q r)) (p -q r) !!
Conectiva dominante • Consideremos cómo se forman las fórmulas moleculares: - La última regla de formación que hayamos usado ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria: -p lo último introducido es el negador - q -r lo último introducido es el conyuntor p (q r) lo último introducido es el disyuntor -(p q) (-p -q) lo último introducido es
Conectiva dominante • La última conectiva introducida será la CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula. • Es importante distinguirla, porque es a la que habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula. p (r s) -(p (q r)) -p (p (p p)) -((p q) -(p q)) (((p q) p) q) p -(p -(q r -(p q))) - el primer - el segundo no es fórmula
Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? (-(p -q) (p q) -p q ((q (r -s)) (--p q)) -r -(s (p q-)) -(p (-q -(r (-s t)))) ------+ ----------p (-q (r (-p q))) (q (-r (p -q))) NO NO SÍ NO SÍ NO SÍ
Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? NO ((-q r) -(p q)) -(q r) ((p -q) q) -(p -q) ¬r) -s) t)))) (((p q -r) (-q -p)) (p -s)) (-p q r) (p (q -p r)) (p q) (((p (q -r)) (-q s)) (s -p)) (p q) (p q -r) (p -q -r) (-p q r) (p q) (-p q) (p -q) (-p -q) NO SÍ NO NO SÍ SÍ
Ejercicio: conectiva dominante -(p -q) (p q) (-p q) ((q (r -s)) (--p q)) -r -(s (p q)) -(p (-q -(r (-s t)))) ------------------p (-q (r (-p q))) (q (-r (p -q))) el primer- el primer- el primer- 2º
Ejercicio: conectiva dominante 2º (((-q r) -(p q)) -(q r)) ((p -q) q) -((((p -q) -r) -s) t) (((p q -r) (-q -p)) (p -s)) (-p q r) (p (q (-p r))) (p q) (((p (q -r)) (-q s)) (s -p)) (p q) (p q -r) (p -q -r) (-p q r) (p q) (-p q) (p -q) (-p -q) el primer- 2º 3er cualquier cualquier
