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TEMA II 2da Parte Recursividad

TEMA II 2da Parte Recursividad. La mayoría de los lenguajes son recursivos : empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.

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TEMA II 2da Parte Recursividad

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  1. TEMA II 2da ParteRecursividad • La mayoría de los lenguajes son recursivos: empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones. La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro

  2. Recursividad • Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas. • Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.

  3. Recursividad • La recursividad comienza por tomar algunos elementos básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos: • Dadas las oraciones básicas ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes: Hume canta y Kant baila Hume canta o Kant baila Si Hume canta, Kant baila Hume no canta Kant no baila Hume canta si y sólo si Kant baila ETC.

  4. Recursividad • Podemos seguir aplicando esto en general: dadas las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes: O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc. • Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que • ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será • ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’

  5. Recursividad -Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta, Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta o Kant baila, Hegel da palmas -Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila -Hegel da palmas si y sólo si Kant baila -Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas

  6. Recursividad • La recursividad permite construir algunas oraciones peculiares: -Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila… -Si Hegel da palmas, Hegel da palmas -Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas

  7. Recursividad • Nuestro lenguaje lógico también va a ser recursivo. • Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar FÓRMULAS • Comenzaremos por definir cuáles son las oraciones simples o fórmulasatómicas • A continuación daremos un método de combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares

  8. Fórmulas atómicas • Serán las que correspondan a las oraciones simples del castellano: sin ninguna partícula lógica. • Se trata por tanto de las constantes proposicionales: p q r … son (algunas) fórmulas atómicas

  9. Fórmulas moleculares • Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas: p  q p  r q  p r  q -q son (algunas) fórmulas moleculares

  10. Ambigüedad • En el lenguaje natural con frecuencia aparecen posibles ambigüedades: Hume canta o Kant baila y Hegel dará palmas ¿Da o no da palmas Hegel? Ahora sí: Hume canta o Kant baila, Hegel da palmas Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel dará palmas

  11. Ambigüedad • En lógica queremos construir fórmulas que excluyan toda ambigüedad. • En el lenguaje natural usamos diversos elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto. • Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.

  12. Ambigüedad • Nuestro principal recurso contra la ambigüedad son los PARÉNTESIS. • Sea: p  Hume canta ; q Kant baila; r Hegel da palmas p  q  r es AMBIGUA; equivale a: Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas p  (q  r)  H canta, o K baila y He da palmas (p  q)  r  H canta o K baila, y He da palmas

  13. Metavariables • Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el castellano es su metalenguaje. • Pero necesitamos ampliar nuestro metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas. • Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:    … - Las llamaremos METAVARIABLES

  14. Metavariables • Una constante, como p, representa aquello que la hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc) • Una metavariable, como , representa cualquier fórmula: p ; -q ; pr ; p  (q  r) ; p (p p) … - Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa

  15. Reglas de formación • (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica) • (ii) Si  es fórmula, entonces - es fórmula • (iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas • (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)

  16. Reglas de formación (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula • De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas: p q r s t u p1 p2 p3 …

  17. Reglas de formación (ii) Si  es fórmula, entonces - es fórmula • Dadas las anteriores, también son fórmulas: -p -q -r -s -t -u -p1 -p2 -p3 … -Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas: --p--q … ---p Todas estas también son fórmulas

  18. Reglas de formación (iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Dadas (i) y (iii) serán fórmulas: (p  q) (p  s) (p  r) … (q p) … (p  q) (p  s) (p  r) … (q  p) … (p  q) (p  r) … (p  q) (p  r) …

  19. Reglas de formación (iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas: (p  -q) (-p  s) (p  -r) … (q  -p) … (-p  q) (p  -s) (-p  -r) … (-q  p) … (p  -q) (-p  r) (-p  -r) … (-p  q) (p  -r) (-p  r) …

  20. Reglas de formación (iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas -Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas : -(p  -q) -(-p  s) -(p  -r) … -(q  -p) … -(-p  q) -(p  -s) -(-p  -r) …-(-q  p) … -(p  -q) -(-p  r) -(-p  -r) … -(-p  q) -(p  -r) -(-p  r) … --(p  q) … --(-p  -q) … -(p  --q) …

  21. Reglas de formación • Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos: (p  (p  q)) (-p  (q  -s)) (p  -r)  (q  -p) (p  ((-p  q)  (p  -s))) ((-p  -r)  (-q  p))  (p  -q) …

  22. Reglas de formación (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii) - Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.

  23. Reglas de simplificación • Pueden suprimirse siempre: (a) Los dos paréntesis externos: (p  (q  -r))  p  (q  -r) (Nota: El símbolo  se lee como ‘es equivalente a’)

  24. Reglas de simplificación • Pueden suprimirse siempre: (b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores: (p  (q  r))  (p  q  r) pero (p  -(q  r))  (p  -q  r) !! (p  (-q  r))  (p  -q  r) pero (p  -(q  r))  (p  -q  r) !!

  25. Conectiva dominante • Consideremos cómo se forman las fórmulas moleculares: - La última regla de formación que hayamos usado ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria: -p lo último introducido es el negador - q  -r lo último introducido es el conyuntor  p  (q  r) lo último introducido es el disyuntor  -(p  q)  (-p  -q) lo último introducido es 

  26. Conectiva dominante • La última conectiva introducida será la CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula. • Es importante distinguirla, porque es a la que habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.  p  (r  s) -(p  (q  r)) -p  (p  (p  p)) -((p  q)  -(p  q)) (((p  q)  p)  q)  p -(p  -(q  r  -(p  q))) -  el primer - el segundo  no es fórmula

  27. Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? (-(p  -q) (p  q)  -p  q ((q  (r  -s))  (--p  q))  -r -(s  (p  q-)) -(p  (-q  -(r (-s  t)))) ------+ ----------p (-q  (r  (-p  q)))  (q  (-r  (p  -q))) NO NO SÍ NO SÍ NO SÍ

  28. Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? NO ((-q  r)  -(p  q))  -(q  r)  ((p  -q)  q) -(p  -q)  ¬r) -s)  t)))) (((p  q  -r)  (-q  -p))  (p  -s))  (-p  q  r) (p  (q  -p  r))  (p  q) (((p  (q  -r))  (-q  s))  (s  -p))  (p  q) (p  q  -r)  (p  -q  -r)  (-p  q  r) (p  q)  (-p q)  (p  -q)  (-p -q) NO SÍ NO NO SÍ SÍ

  29. Ejercicio: conectiva dominante -(p  -q) (p  q)  (-p  q) ((q  (r  -s))  (--p  q))  -r -(s  (p  q)) -(p  (-q  -(r (-s  t)))) ------------------p (-q  (r  (-p  q)))  (q  (-r  (p  -q))) el primer-   el primer- el primer- 2º 

  30. Ejercicio: conectiva dominante 2º (((-q  r)  -(p  q))  -(q  r))  ((p  -q)  q) -((((p  -q)  -r) -s)  t) (((p  q  -r)  (-q  -p))  (p  -s))  (-p  q  r) (p  (q  (-p  r)))  (p  q) (((p  (q  -r))  (-q  s))  (s  -p))  (p  q) (p  q  -r)  (p  -q  -r)  (-p  q  r) (p  q)  (-p q)  (p  -q)  (-p -q) el primer- 2º  3er cualquier  cualquier 

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