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  1. 範例一 • 硬木濃度與紙張強度的關係? Hardwood Observations Concentration 1 2 3 4 5 6 Totals Ave. 5% 7 8 15 11 9 10 60 10 10 12 17 13 18 19 15 94 15.67 15 14 18 19 17 16 18 102 17 20 19 25 22 23 18 20 127 21.17 Overall 383 15.96 ANOVA

  2. 變異數分析(Analysis of Variance,ANOVA) • 適用問題 • 預測(獨立)變數為名目尺度,準則(相依)變數為區間或比例尺度。 • 假設檢定 • H0:μ1=μ2=...=μi=…=μm • H1:not all μi equivalence ANOVA

  3. ANOVA之假設 • 獨立性:所有的樣本都是隨機抽選而得,而且彼此獨立。 • 常態性:各母體呈常態分配。 • 相等性:各母體的變異數都相等。 ANOVA

  4. 問題之圖示—箱型圖 • Always a good practice to compare the levels of the factor using graphical methods such as boxplots. • Comparative boxplots show the variability of the observations within a factor level and the variability between factor levels. ANOVA

  5. ANOVA

  6. ANOVA之模式1 • The observations Yij can be modeled by • τi=實驗變數的第i個水準對Y的差異效果。 • εij=誤差項。假設其為獨立、常態分配,平均數為0,變異數為σ2。 ANOVA

  7. ANOVA之模式2 • n=number of total observations • m = number of factor levels • ni = number of observations per treatment (factor) level ANOVA

  8. 資料之變異來源1 • 實驗變數的變異(treatment variation)(組間變異)(組間離均差平方和) SSTreatment=∑ni(Yi-Y)2 • 誤差(error)的變異(組內變異)(組內離均差平方和) SSE=∑∑(Yij-Yi)2 • 總變異(total variability) ANOVA

  9. 資料之變異來源2 • The sum of squares identity is • Notationally, this is often written as SST = SSTreatments + SSE ANOVA

  10. ANOVA之原理1 • The expected value of the treatment sum of squares is • If the null hypothesis is true(i=0), then ANOVA

  11. ANOVA之原理2 • The error mean square • If the null hypothesis is true, the ratio has an F-distribution with( m – 1) and a(n – m) degrees of freedom. ANOVA

  12. 變異數分析表 ANOVA

  13. 範例一之變異數分析表 ANOVA

  14. Residual Analysis • Assumptions: model errors are normally and independently distributed with equal variance. • Check the assumptions by looking at residual plots. ANOVA

  15. Residual Analysis — equal variance • Plot of residuals versus factor levels ANOVA

  16. Residual Analysis — normally • Normal probability plot of residuals ANOVA

  17. 範例二1 • 小華想瞭解三種教學工具(黑板、Power Point、線上)的教學效果。將其12位學生隨機分成三組,對每組採用不同的教工具做實驗,經過一段期間後舉行測驗果下表。試對此問題進行分析。 ANOVA

  18. 範例二2 ANOVA

  19. 範例二3—ANOVA table ANOVA

  20. 多重比較檢定—概念 • 變異數分析的結果如拒絶接受虛無假設,並不表示所有的μi都不相等,此時尚可進一步檢定各μi中,那幾個相等與那幾個不相等,或是將各μi作大小次序排列,此即所謂多重比較(multiple comparisons)問題。 ANOVA

  21. 多重比較檢定—原理1 • 以信賴區間的數值來比較每一對母體平均數μg和μh (g≠h)的大小,然後再綜合比較各μi的大小。 • 在1-α的信賴水準下(μg-μh)的信賴區間為 ANOVA

  22. 多重比較檢定—原理2 • 若(L,U)包括0在內,表示(μg-μh)在(1-α)的信賴水準下,可能等於0,亦即接受 H0:μg=μh • 如果L>0,表示在(1-α)的信賴水準下,μg>μh • 如果U<0,表示在(1-α)的信賴水準下,μg<μh • 為同時比較所μi(i=1~m)的大小,則必須求[(μg-μh)|1≦g<h≦m]的100(1-α)%的聯立信賴區間。 ANOVA

  23. 常用之多重比較檢定法 • Bonferroni method • 適用於比對個數較少時(例如,2~3) • Scheffe method • 適用於比對個數較多時 • Tukey method • 只能應用於各組樣本大小相等的場合 • 不同方法之主要差異,在於求聯立信賴區間時,使用不同的機率理論。 ANOVA

  24. SPSS ― 單因子變異數分析 • Analyze → Compare Means → One-Way ANOVA • Analyze → General Linear Model → Univariate ANOVA

  25. 二因子變異數分析 • 假設兩因子間無互動關係存在 • 隨機區集設計 • 區集因子無法控制 • 兩因子完全隨機設計 • 可根據實驗單位的地點特性或某些固定因素而將之歸入不同的區集(區集因子可控制) • 兩因子間考慮互動關係 • 互動之二因素變異數分析(重覆二因子變異數分析) ANOVA

  26. 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計 ANOVA

  27. 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型1 • Yij=μ+αi+j+εij • 處理變數之假設 • H0(Treatment):α1=α2=…=αm=0 • H1(Treatment):αi不全為0 • 區集因子之假設 • H0(Block):1=2=…=n=0 • H1(Block):j不全為0 • SST=SSTreatment+SSBlock+SSE • SSTreatment=n∑(Ti-Y)2 • SSBlock=m∑(Bj-Y)2 • SSE=SST-SSTreatment-SSBlock ANOVA

  28. 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型2 • αi:第i種處理的效果(影響) • j:第j個區間的效果(影響) • Ti:第i個實驗變數水準的平均數(i=1~m) • Bj:第j個區集變數水準的平均數(j=1~n) • m:實驗變數水準的數目 • n:區集的數目 ANOVA

  29. MSTreatment FTreatment= MSE SSTreatment/(m-1) = SSE/(m-1)(n-1) If FTreatment≦Fα,無法拒絶H0(Treatment) FTreatment>Fα,拒絶H0(Treatment) 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型3 ANOVA

  30. MSBlock FBlock= MSE SSBlock/(n-1) = SSE/(m-1)(n-1) If FBlock≦Fα,無法拒絶H0(Block) FBlock>Fα,拒絶H0(Block) 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型4 ANOVA

  31. 範例三1 • 某食品公司為測定在四種包裝設計中,那一種包裝最受消費者歡迎,進行一項實驗。為考慮不同的商店類型可能有不同的反應,因此選擇五種不同類型的商店各4家,每家只銷售一種包裝設計的食品,試銷一星期後各商店之銷售量如下表,試以α=0.05檢定包裝設計方式是否影響產品銷售量? ANOVA

  32. 範例三2 ANOVA

  33. 範例三3 ANOVA

  34. 範例三4 • 因為實驗變數F值(51.67)遠大於5%顯著水準下F的臨界值(F0.05,3,12)=3.49,故可推知:不同包裝設計的銷量有顯著差異。 ANOVA

  35. SPSS ― 兩因子變異數分析(無互動關係) • Analyze → General Linear Model → Univariate • Model → Custom → Main effects ANOVA

  36. 範例四1 • 某位電腦程式教師想了解他所教的電腦語言(因素A)和他所使用的電腦類型(因素B)對學生成績的影響。其進行一項實驗:在四個學期當中,他教了16班,每班在學期終了都舉行一次標準測驗,各班的平均成績如下表,試以α=0.01檢定(1)電腦語言、 (2)電腦類型是否影響學習成效? ANOVA

  37. 範例四2 ANOVA

  38. 範例四3 ANOVA

  39. 範例四4 • 因為FA=1.78<F0.01,3,9=6.99,接受H0(A) ,亦即在1%顯著水準下,電腦語言對學生的電腦分數沒有影響。 • FB=10.25>F0.01,3,9,拒絶H0(B) ,亦即在1%顯著水準下,所用之電腦類型對學生的電腦分數有影響。 ANOVA

  40. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析) ANOVA

  41. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型1互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型1 • Yijk=μ+αi+j+(α)ij+εijk • 處理變數之假設 • H0(Treatment):α1=α2=…=αm=0 • H1(Treatment):αi不全為0 • 區集因子之假設 • H0(Block):1=2=…=n=0 • H1(Block):j不全為0 • 交互作用之假設 • H0(Intersection):(α)11=(α)12=…(α)mn=0 • H1(Intersection):(α)ij不全為0 ANOVA

  42. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型2互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型2 • SST=SSTreatment+SSBlock+SSIntersection+SSE • SSTreatment=nr∑(Yi..-Y)2—自由度為m-1 • SSBlock=mr∑(Y.j.-Y)2—自由度為n-1 • SSIntersection=r∑∑(Yij.-Yi..-Y.j.+Y)2—自由度為(n-1)(m-1) • SSE=SST-SSTreatment-SSBlock-SSIntersection • SSE=∑∑∑(Yijk-Yij.)2—自由度為mn(r-1) ANOVA

  43. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型3互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型3 ANOVA

  44. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型4互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)模型4 ANOVA

  45. 範例五1 • 一公司為了試驗不同的包裝方式A1、A2、A3對產品銷售量的影響,分別在B1、B2、B3、B4四個試銷點試銷三次,得銷售量如下表。試以α=0.05檢定(1)包裝方式、 (2)試銷點、 (3)交互作用是否影響產品銷售量? ANOVA

  46. 範例五2 銷點 包裝 ANOVA

  47. 範例五3 銷點 包裝 ANOVA

  48. 範例五4 ANOVA

  49. 範例五5 • 因為F0.05,2,24=3.4028<9.150,故拒絶H0。表示包裝方式不同可能會影響銷售量。 • 因為F0.05,3,24=3.0088<14.556,故拒絶H0。表示試銷點不同可能會影響銷售量。 • 因為F0.05,6,24=2.5082>1.219,故無法拒絶H0。表示包裝方式與試銷點間可能沒有交互作用。 ANOVA

  50. SPSS ― 兩因子變異數分析(考慮互動關係) • Analyze → General Linear Model → Univariate ANOVA