Analisis Rangkaian Lis trik Di Kawasan s

1. Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasans Klikuntukmelanjutkan

2. BahanKuliah Terbuka dalam format pdftersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format ppsberanimasitersedia di www.ee-cafe.org

3. TeoridanSoalada di buku AnalisisRangkaianListrikJilid 2 (format pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org

4. Pengantar Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan.

5. Isi kuliahinimencakup: • Transformasi Laplace • AnalisisMenggunakanTransformasi Laplace • FungsiJaringan • TanggapanFrekuensiRangkaian Orde-1 • TanggapanFrekuensiRangkaian Orde-2

6. TransformasiLaplce

7. Padalangkahawalkitaakanberusahamemahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya. Melalui transformasi Laplace ini, berbagai bentuk gelombang sinyal di kawasanwaktu yang dinyatakansebagaifungsit, dapatditransformasikan ke kawasan smenjadifungsi s. Jikasinyaldiyatakansebagaifungsis, makapernyataanelemenrangkaian pun harusdisesuaikandanpenyesuaianinimembawakitapadakonsepimpedansi di kawasans. Perhitunganrangkaianakanmemberikankepadakitahasil yang jugamerupakanfungsis. Jikakitaperlumengetahuihasilperhitungandalamfungsitkitadapatmencari transformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal dari kawasan s ke kawasan t.

8. Transformasi Laplace DalampelajaranAnalisisRangkaian di kawasanfasor, kitamelakukantransformasifungsi sinus (fungsit) kedalambentukfasormelaluirelasi Euler. DalampelajaranAnalisis di Kawasans, kitaakanmelakukantransformasipernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral Fungsi waktu s adalahpeubahkompleks: s =  + j Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal

9. Sebelum membahas Taransformasi Laplace lebih lanjut, kita akan mencoba memahami proses apa yang terjadi dalam transformasi ini. Kita lihatbentuk yang ada di dalamtanda integral, yaitu Fungsi waktu Eksponensial kompleks bentuk sinusoidal Meredam f(t) jika  > 0 Jadiperkalianf(t) denganfaktoreksponensialkompleksmenjadikanf(t) berbentuksinusoidal teredam. Sehingga integral dari 0 sampai mempunyainilailimit, danbukanbernilaitakhingga. Kita lihatsekarangTransformasi Laplace

10. Bentukgelombangsinyal yang kitahadapidalamrangkaianlistriktersusundaritigabentukgelombangdasaryaitu: (1) anaktangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal (1) (2) (3) sinus teredam Setelahmenjadi sinus teredam, diintegrasidari 0 sampai dandidapatF(s)

11. Jadisemuabentukgelombang yang kitatemuidalamrangkaianlistrik, setelahdikalikandenganestdankemudiandiintegrasidari 0 sampai  akankitaperolehF(s) yang memilikinilai limit.

12. Au(t) f(t) 0 t Im X Re Contoh: Jikaf(t) adalahfungsitetapanf(t) = Au(t) Dalamcontohfungsianaktanggaini, walaupunintegrasimemilikinilai limit, namunteramatibahwaadanilais yang memberikannilaikhususpadaF(s) yaitus = 0. PadanilaisiniF(s) menjaditakmenentudannilais yang membuatF(s) takmenentuinidisebutpole. s adalahbesarankompleks. Posisipole di bidangkompleksdalamcontohinidapatkitagambarkansebagaiberikut. Posisipole diberitandaX

13. f(t) = Aetu(t) Jika f(t) adalah fungsi exponensial f(t) Ae-at u(t) Im t X Re Contoh: Untuks = , nilaiF(s) menjaditaktentu. s = iniadalahpole Penggambaranpadabidangkompleks: PosisiPole diberitandaX

14. Jika f(t) adalah fungsi cosinus f(t) = Acost u(t) relasi Euler: f(t) Acost u(t) t Contoh: Untuks = 0, nilaiF(s) menjadi nol. Nilais inidisebutzero Im Untuks2 = 2, atau nilaiF(s) menjaditaktentu. Nilais inimerupakanpole X Penggambaranpadabidangkompleks Zero diberitandaO PolediberitandaX O Re X

15. Salah satusifatTransformasi Laplace yang sangatpentingadalah Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi Laplace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari F(s). Tabelberikutinimemuatpasangan fungsi f(t) dan fungsi F(s). Walaupunhanyamemuatbeberapapasangan, namununtukkeperluankita, tabelinisudahdianggapcukup.

16. Pernyataan Sinyaldi Kawasan t f(t) Pernyataan Sinyal di Kawasan s L[f(t)]=F(s) impuls : (t) 1 anak tangga : u(t) eksponensial : [eat]u(t) cosinus : [cos t] u(t) sinus : [sin t] u(t) cosinus teredam : [eatcos t] u(t) sinus teredam : [eatsin t] u(t) cosinus tergeser : [cos (t + )] u(t) sinus tergeser : [sin (t + )] u(t) ramp : [ t ] u(t) ramp teredam : [ t eat ] u(t) TabelTransformasiLaplace

17. Sifat-SifatTransformasi Laplace

18. Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Dengan kata lain Jika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t) adalah V(s), maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk gelombang V(s) adalah v(t).

19. Jika maka transformasi Laplace-nya adalah Sifat Linier Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat linier. Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Bukti: dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari f1(t) dan f2(t).

20. Fungsi yang merupakanintegrasisuatufungsi t Jika , makatransformasi Laplacenyaadalah Bukti: maka Misalkan bernilai nol untuk t =  karena est = 0 pada t , bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).

21. Fungsi yang merupakan diferensiasi suatufungsi Jika makatransformasi Laplacenyaadalah Bukti: maka Misalkan bernilai nol untuk t =  karena est= 0 untuk t bernilai f(0) untuk t = 0. Iniadalahnilaif1(t) padat = 0

22. Translasi di Kawasan t Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari f(ta)u(ta) untuk a > 0 adalah easF(s). Translasi di Kawasan s Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace dari etf(t) adalah F(s + ).

23. Pen-skalaan(scaling) Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0 transformasi dari f(at) adalah Nilai Awal dan Nilai Akhir

24. Pernyataan f(t) Pernyataan F(s) =L[f(t)] linier : A1f1(t) + A2f2(t) A1F1(s) + A2F2(s) integrasi : diferensiasi : linier : A1f1(t) + A2f2(t) A1F1(s) + A2F2(s) translasi di t: translasi di s : penskalaan : nilai awal : nilai akhir : konvolusi : TabelSifat-SifatTransformasi Laplace

25. Mencari Transformasi Laplace dan Diagram pole – zero

26. MencariTransformasi Laplace CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut: Penyelesaian: a) Dari tabeltransformasi Laplace: f(t) = [cos t] u(t) b) Dari tabeltransformasi Laplace: f(t) =[sin t] u(t) c) Dari tabeltransformasi Laplace: f(t) = [eat]u(t)

27. Im Re  1 Im +j1,8 Re 2 j1,8 Im Re Mencari Diagram pole-zero CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari a). Fungsi ini mempunyai pole di s = 1 tanpa zero tertentu. b). Fungsi ini mempunyai zero di s = 2Sedangkan poledapat dicari dari c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 + j0.

28. MencariTransformasiBalik

29. Transformasi Balik Transformasi balikadalah mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari transformasibaliksetiapuraian. Hal inidimungkinkanolehsifat linier daritransformasi Laplace

30. Bentuk Umum F(s) Bentukumumfungsis adalah Dalambentukumuminijumlah pole lebih besar dari jumlah zero, Jadiindeksn> m Jika F(s) memiliki pole yang semuanya berbeda, pipj untuk ij , dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole ganda.

31. Fungsi Dengan Pole Sederhana Apabila F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan sebagaiberikut F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana. k1, k2,…..kndi sebut residu. Jikasemuaresidusudahdapatditentukan, maka Bagaimanacaramenentukanresidu ?

32. Cara menentukanresidu: Jika kita kalikan kedua ruas dengan (s p1), faktor (s p1) hilang dari ruas kiri, danruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s p1). Jika kemudian kita substitusikan s = p1maka semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k1 Dengandemikiankitaperoleh k1 k2diperolehdenganmengakalikan kedua ruas dengan (s p2) kemudian substitusikan s = p2, dst.

33. CONTOH:Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

34. CONTOH:Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

35. CONTOH:Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut. masukkans = 0 masukkans = 1 masukkans = 4

36. Fungsi Dengan Pole Kompleks Dalamformulasigejala fisika, fungsi F(s) merupakan rasio polinomial dengan koefisien riil. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang berbentuk p =  + j, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang berbentuk p* = j; sebab jika tidak maka koefisien polinomial tersebut tidak akan riil. Jadi untuk sinyal yang secara fisik kita temui, pole kompleks dari F(s) haruslah terjadi secara berpasangan konjugat. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk Residu k dan k* juga merupakan residu konjugat sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini dapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian fungsi dengan pole sederhana.

37. Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks adalah

38. CONTOH: Carilah transformasi balik dari memberi pole kompleks Memberikan pole sederhana di s = 0

39. Fungsi Dengan Pole Ganda Pada kondisi tertentu, F(s) dapat mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti contohsebelumnya. pole ganda pole sederhana

40. CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi:

41. AnalisisMenggunakanTransformasi Laplace

42. Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s

43. Kita mengetahuihubungantergangan-arus di kawasanwaktupadaelemen-elemenR, L, dan C adalah Denganmelihattabelsifat-sifattransformasi Laplace, kitaakanmemperolehhubungantegangan-aruselemen-elemen di kawasanssebagaiberikut:

44. Resistor: Induktor: Kapasitor: Kondisiawal Kondisiawaladalahkondisielemensesaatsebelumpeninjauan.

45. Konsep Impedansi di Kawasan s

46. Konsep Impedansi di Kawasan s Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di kawasan s dengan kondisi awal nol Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana. Admitansi, adalahY = 1/Z

47. + VL (s)  IC (s) + VR(s)  + VC (s)  IL (s) IR (s) sL R LiL(0)  + +  Representasi Elemen di Kawasan s ElemenR, L, danC di kawasans,jikaharusmemperhitungkanadanyasimpananenergiawalpadaelemen, dapatdinyatakandenganmeggunakansumberteganganatausumberarus. RepresentasidenganMenggunakanSumberTegangan Kondisiawal

48. + VR(s)  IR (s) R Jikasimpananenergiawaladalahnol, makasumbertegangantidakperludigambarkan. JikaKondisiawal = 0 + VL (s)  IC (s) + VC (s)  IL (s) sL

49. + VR(s)  IR (s) R IC (s) + VR(s)  IL (s) IR (s) sL + VC (s)  + VL (s)  CvC(0) R RepresentasidenganMenggunakanSumberArus Kondisiawal JikaKondisiawal = 0 + VL (s)  IC (s) + VC (s)  IL (s) sL

50. Transformasi Rangkaian Representasi elemen dapat kita gunakan untuk mentransformasi rangkaian ke kawasan s. Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan mengandung simpanan energi awal atau tidak. Jika tidak adasimpananenergiawal, maka sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi elemen tidak perlu kita gambarkan.