Portfoliomodelle Faktormodelle

1. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Jan Wosnitza Portfoliomodelle Faktormodelle

2. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Quelle: Wehn, C. S.: „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken...“, Siegen 2006

3. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Erwartungswert und Varianz: Credit Event = Ereigniss Default = Ausfall Downgrading = Bonitätsverschlechterung Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt.

4. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und –d („down“) annehmen kann:

5. http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsbewegung, 31.05.2008

6. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Satz 1 Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend: Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt:

7. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Satz 2 Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:

8. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Beweis 1 Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse:

9. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Beweis 1

10. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert:

11. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt: Dabei gilt:

12. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk): Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt.

13. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden, Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen: Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt: Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse:

14. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft: Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig. Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft:

15. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells • Ein stochastischer Prozess {X(t), t0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt: • X(0)=1 • Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig • Für 0<st sind die logarithmierten Quotienten der Zufallsvariablen normalverteilt: • Die Pfade sind stetig

16. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form: ?

17. http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_brownsche_Bewegung, 31.05.2008

18. https://www.cortalconsors.de/euroWebDe/-, 31.05.2008 Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA

19. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:

20. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells • Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden: • ATK • Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt • Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt AT-K 0 • AT<K • Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten • Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die Aktien sind wertlos

21. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt. Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber Put- und Calloption

22. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells • Annahmen im Modell von Black-Scholes: • Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu • Keine Dividenden • Zinssatz r bekannt und fest • Volatilität des Underlyings bekannt und fest • Keine Transaktionskosten • Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich • Beliebig kleine Stückelung des Underlyings • Leerverkauf des Underlyings möglich • Geldleihe • Lognormalverteilung des Aktienkurses

23. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Lognormalverteilung des Aktienkurses

24. Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für Optionen“)

25. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 3 Erwartungswert der Lognormalverteilung:

26. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist. Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:

27. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(,2)-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion  der Standardnormalverteilung ausdrücken:

28. Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen: Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell

29. Satz 4 Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an

30. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 5 Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K-(K-AT)+ zum Zeitpunkt t[0;T] ist:

31. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Beweis 5 Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit tT damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente: ?

32. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

33. https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Blau: Bear Stearns Cos. Inc.

34. https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: DAX Blau: Deutsche Bank

35. https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: SMI Blau: Novartis

36. https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008 Grün: Dow Jones Industrial Average Blau: General Electrics

37. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir:

38. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 6 Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt:

39. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p{0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil von F bezeichnet

40. http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil, 31.05.2008

41. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung:

42. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Satz 7 Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist: Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer

43. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:

44. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein: Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab.

45. Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert: Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung: Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung:

46. http://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilung, 31.05.2008

47. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit: Da ci und cj über ci=-1(pi) und cj=-1(pj) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (km) hergeleitet werden.

48. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1Di,1Dj): 

49. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen

50. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern: Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle: