Напречни премествания при специално огъване

1. Напречни премествания при специално огъване 1. Въведение Външните товари предизвикват премествания перпендикулярно на първоначално правата ос на гредата (специално огъване). Огънатата ос на гредата се нарича еластична линия. При специално огъване еластичната линия е равнинна крива. В редица практически случаи определящо за дадена конструкция ограничение на относителното преместване – например за мостовите кранове максималното провисване отнесено към разстоянието между опорите трябва да е по-малко от 1/500. При валовете това изискване е 1/800÷1/1000 При малки премествания се приема, че точките се преместват само напречно на оста.

2.   s w(s) s w еластична линия 2. Опростено диференциално уравнение на еластичната линия фиг.1 Обикновено се приема положителна посока за провисването надолу фиг.1. Ъгълът на наклона на тангентата към еластичната линия в дадена точка е равен на , като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. При ограниченията налагани на преместванията, ъглите на наклона рядко достигат 5. При малки ъгли с достатъчна точност може да се приеме (1)

3. (2) При огъване доказахме, че радиусът на кривина е: От математиката е известно, че кривината на линия се дава с израза: В нашия случай можем да запишем (3): (3)

4. s s w w Знакът се определя от избора на координатната система. При приетите положително посоки и правила за положителен момент (фиг.2) трябва да се приеме знак минус. фиг.2 След направените уговорки за знака, сравнявайки (2) и (3) получаваме пълното диференциално уравнение на еластичната линия (4). (4) • Това нелинейно уравнение се решава трудно и се използва само при гъвкави греди, при които провисването е по-голямо от височината на сечението ( ресори).

5. При малки провисвания w’е малка величина и повдигната на квадрат може да се пренебрегна спрямо единицата в знаменателя на (4). Така получаваме опростеното дифренциално уравнение на еластичната линия (5). (5) Диференцирайки двукратно (5) получаваме: (6) Интегрирането на (5) или (6) позволява да се определят параметите на провисването и разрезните усилия.

6. P s w(s) s w Пример: фиг.3 Огъващият момент е My=-Ps.Заместваме в (5) и интегрираме двукратно. Константите определяме от граничните условия: Заместваме получените константи и получаваме окончателният вид на уравнението и максималното провисване и завъртане :

7. wо P q m 1 2 3 4 о 5 s a еластична. линия b c d w 3. Универсално уравнение на еластичната линия Определянето на константите при повече участъци е трудно. Това се избягва с подхода предложен от Клебш, при който независимо от броя на участъците константите са две на брой. • Разглеждаме греда с обичайните за практиката товари фиг.4. • За опростяване на разпределеният товар се продължава до края на гредата и за да не се промени равновесието същият се изважда за компенсация. • На фиг. 4 са показани положителните посоки за товарите, които определят пет участъка. Разстоянието до началото на всеки участък е зададен от началото на гредата. Фиг.4

8. wо P q m 1 2 3 4 о 5 s a еластична. линия b c d w Изхождаме от уравнение (5) и изразяваме огъващите моменти в различните участъци.

9. За да определим ъгловите завъртания интегрираме получените изрази без да разкриваме скобите. Получаваме следните изрази:

10. Константите В1В5 определяме от условията за равенство на наклоните в съседство на границите на участъците. Горните уравнения имат тази особеност, че за всеки следващ участък съдържа предишния. Те могат да се обединят, като за всеки участък се слага разделителна линия.

11. Така е получено унивесалното уравнение за ъгловите завъртания (7). (7) Интегрираме (7) и получаваме уравнение за напречните премествания. Константата С определяме от условието:

12. Окончателно получаваме универсалното уравнение на еластичната линия (8). (8) В това уравнение независимо от броя на участъците има само две неизвестни константи – началното провисване w0 и началния ъгъл на завъртане0, които винаги могат да се определят за кинематически неизменяема система. За всеки участък в уравнението играят роля само тези параметри, които са преди дясната граница на съответния участък. Ето защо този подход се нарича “ Метод на началните параметри”.

13. 4. Аналогия на Мор за определяне на преместванията Опростеното диференциално уравнение на еластичната линия (5) и диференциалната зависимост на Журавски между огъващия момент и разпределения товар са от математическа гледна точка едни и същи обикновени диференциални уравнения от втори ред. В такива случаи казваме, че между съответните величини съществува анлогия. В общия случай инерционният момент на сечението може да е променлив.

14. Вижда се, че провисването е аналогична величина на момента, а ъгълът на завъртане на срязващата сила. Ако натоварим фиктивна греда с фиктивен разпределен товар, то фиктивният огъващ момент на същата ще бъде EJcкратното преместване на действителната греда. Диференцирайки (10), ще получим (11): (11) (9) (10) Окончателно ще запишем следните уравнения за прилагане на аналогията на Мор: (12)

15. Да изясним условията за подпиране на фиктивната греда. Те се определят от граничните условия. действителна греда фиктивна греда Фиг.5 За греда на две опори няма промяна в закрепването. При конзолна греда свободният край се запъва, а запънатият се освобождава. Опора между двата края на греда се превръща в Герберова става.

16. l P s w(s) s w Му=-Pl Пример 2 За гредата от фиг.3 да се приложи аналогията на Мор. Реална греда Фиктивна греда фиг.6

17. с 5. Греда на еластична основа Редица случаи в практиката се моделират с греда на еластична основа – релса или тръба поставени в почвата, плаващи понтони; кораб и др. • Реакцията на основата е пропорционална на напречното преместване на гредата –c.w • Тук с [N/m2]е коефициент на еластичната основа, стойности за различните почви се вземат от таблици. • За греда, плаваща в течност със специфично тегло , коравината на еластичната основа е с=b, където bе ширината на гредата. Диференциалното уравнение на греда на еластична основа е: Фиг.7 Решението се представя чрез специални функции, представляващи комбинации от тригонометрични и хиперболични функции, наречени функции на Крилов. Съществуват програмни системи за числено решаване на задачи съдържащи греди на еластична основа (напр. SDAN).