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二次函数复习课. 二次函数复习课. 凤凰实验中学 唐建平. 1. 定义：一般地 , 形如 y=ax ² +bx+c (a,b,c 是常数 , a≠0 ) 的函数叫做 二次函数. 2. 定义 要点 : (1) 关于 x 的代数式一定是 整式 ,a,b,c 为常数 , 且 a≠0 . (2) 等式的右边 最高次数 为 2 , 可以没有一次项和常数项 , 但不能没有二次项. 知识点一、二次函数的定义. 练习 1:. 1. 下列函数中 , 哪些是二次函数 ?. 是. 不是. 是. 是. 不是. 1. 2. +. +. =. -. 2. k. k.
E N D
二次函数复习课 二次函数复习课 凤凰实验中学 唐建平
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 2.定义要点: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 知识点一、二次函数的定义
练习1: 1.下列函数中,哪些是二次函数? 是 不是 是 是 不是
1 2 + + = - 2 k k 1 y ( k ) x 2. 函数 是二次函数， 2 = k _______ . 则 -1 ① 解：根据题意，得 ② 由①，得： 由②，得： ∴
知识点2：函数的图象及性质 a＞0向上 y轴 ( 0 , 0 ) a＜0向下 a＞0向上 ( 0 , h ) y轴 a＜0向下 a＞0向上 直线x=-d ( -d, 0 ) a＜0向下 a＞0向上 ( -d , h) 直线x=-d a＜0向下
练习2: 1、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别是（ ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３） D 2、二次函数 图象的顶点坐标和对称轴方程为（ ） A、（1，-2）， x＝1B、（1，2)，x＝1 C、（-1，-2），x＝-1 D、（-1，2），x＝-1 A
知识点3：二次函数的一般式 经过（0，c）的一条抛物线 开口向上 开口向下
练习3: 1、函数 的开口方 向，顶点坐标是，对 称轴是. 当x时.y随x的增大而减小。 当x时.y有最值为. 向上 ＜－１ 小 ＝－１ 顶点坐标公式
25 25 1 1 1 1 （—，-—） （—，-—） x=— x=— 4 4 2 2 2 2 y 0 x 2.二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 对称轴是_________。 增减性: 当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大 最值: (-2,0) (3,0) 当 时,y有最 值,是 小 (1,-6) 函数值y的正负性: (0,-6) 当 时,y>0 当 时,y=0 当 时,y<0 x<-2或x>3 x=-2或x=3 -2<x<3
知识点4:一般式化顶点式 例：用配方法把一般式化成顶点式 (1) (2)
知识点5： 平移 左加右减， 上加下减 函数平移口诀 y = a( x +d)2 + h 上下平移 左右平移 (-d,h) y = ax2 + h y = a(x +d )2 (-d,0) (0,h) 上下平移 左右平移 y = ax2 (0,0)
练习4: 1.把抛物线 向右平移1个单位长度得到新的抛物线的解析式为，再向下平移2个单位长度得到新的抛物线的解析式为 。 2.抛物线 是由抛物线 向平移个单位长度再向平移个 单位长度得到的。 左 上 2 1
知识点6： 函数与一元二次方程 1.二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： 有两个不相等的实数根 有两个交点 b2 – 4ac > 0 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0 只有一个交点 没有交点 没有实数根 b2 – 4ac < 0 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和y轴交点为（0，c）
练习5: 1.一次函数 的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围。 2.已知抛物线 与x轴的正半轴交于点A，与负半轴交与点B，与y轴交于点c。 （1)求点A、B、C的坐标 （2）求△ABC的坐标
知识点7：抛物线与a，b ，c 1. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号： ①a 0; ②c0; ③b2 - 4ac0; ④ b 0; ⑤a+b+c0 ⑥a-b+c0 y x O -1 3 小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
练习6: 1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ） D y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 o x
第（1）问中观察函数图像得： 图像开口向上决定a＞0； 对称轴 ＞0，可得b＜0； x=0时， y＜0，即c ＜0； 由x=1时，y=0，得a+b+c=0. 第（2）问要求我们具有一定推理能力. 由（1）知a＞0，b＜0，c＜0；∴abc＞0； 又对称轴 ＜1， ∴2a+b ＞ 0； ∵（-1，2），（1，0）在抛物线上， 代入解析式得 ①+②得a+c=1，得a=1-c，∵c ＜ 0∴1-c ＞ 1，即a ＞ 1. 2.如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴. 第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是. 第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______. ①④ ②③④ 思路点拨： 本题考查同学们的识图能力.
1.下列各图中可能是函数 与 ( )的图象的是( ) A B C D 知识点8：同一坐标系中两个函数的图像 √ 小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得出字母的正负性，再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象
练习7: 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ ） C y y y y x x x x o o o o (D) (A) (C) (B)
y y y y y x O x x x x 1 O O O O A． B． C． D． 2.（09烟台）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数在同一坐系内的图象大致为（ ） D
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2、已知抛物线顶点坐标（-d, h），通常设抛物线解析式为_______________ 知识点9：待定系数法 求抛物线解析式的三种方法 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x+d)2+h(a≠0) 练习:根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
练习8: 已知抛物线y＝x²-mx+m-1. = 1 (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______； ＞1 (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______； = 0 (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。 = 2 (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
知识点9：二次函数的应用 y o x 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m. 问题1建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； 问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 3.5m 3.05m 2.5m 4 m
解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6 1.6=-0.1k+2.5 K=±3 又因为对称轴是在y轴的右侧， 即x=k>0 所以，k=3 2 y ③当x=6时， y=-0.1(6-3)+2.5 =1.6 2 ②-0.1(x-3)+2.5=0 解之得，x =8,x =-2 所以，OB=8 故铅球的落点与丁丁的距离是8米。 2 2 1 x O 参考答案 ①求k的值 B >1.5 所以，这个小朋友不会受到伤害。
实际问题 喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
y ●B(1,2.25) (0,1.25) x A 数学化 o 解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25) ● D(-2.5,0) ● C(2.5,0) 设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. 跳水与抛物线
丙 丁 甲 乙 跳绳与抛物线 平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高？
实际问题 最大利润问题 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 :件; 销售额可表示为:元; 所获利润可表示为:元; 当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 调整价格包括涨价和降价两种情况
即 涨价： （1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖_____件，实际卖出___________件,销额为_______________元，买进商品需付________________元因此，所得利润为_____________________________元 (300-10x) 10x 40(300-10x) (60+x)(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤x≤30)
(0≤x≤30) 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
(0≤x≤20) 答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
M 30cm C D ┐ 40cm N A B 最大面积问题 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? xcm bcm
x x y 最多光线问题 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
二次函数应用小结 解决关于函数实际问题的一般步骤 （1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式. （2）研究自变量的取值范围. （3）研究所得的函数. （4）检验 x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值. （5）解决提出的实际问题. （配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）
