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导数及其应用

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导数及其应用

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  1. 导数及其应用

  2. ◆导数 Derivative的概念 函数 自变量 函数 导数 其它形式 zjz4404@163.com

  3. 例题 设 ,求 所以 解 如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果 其结果表示是x的函数,称之为导函数。 zjz4404@163.com

  4. ◆基本导数公式 记熟、记牢、记准 zjz4404@163.com

  5. ◆函数的和差积商的求导法则 你记住了吗? 特别 zjz4404@163.com

  6. 例1设 例2 解 解 zjz4404@163.com

  7. 例3设 解 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

  8. 推广 ◆复合函数的求导法则 链式法则 Chain Rule zjz4404@163.com

  9. 例6设 解 因为 所以 代入 例7设 可分解为 所以 解 也可以不写出中间变量 zjz4404@163.com

  10. 例8设 由外及里,环环相扣 解 zjz4404@163.com

  11. 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

  12. 例9 例10 解 解 zjz4404@163.com

  13. 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

  14. ◆高阶导数 ——导函数的导数 函数 一阶导数 二阶导数 三阶导数 n阶导数 zjz4404@163.com

  15. 练一练 求下列函数的二阶导数 解 zjz4404@163.com

  16. ◆隐函数的导数 例12 求由方程 确定的隐函数的导数 解 将方程两边同时对 x求导,得: 所以 隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。 注意:y是x的函数,则y的函数f(y)视为x的复合函数。 zjz4404@163.com

  17. 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 所以 解 将方程两边同时对x 求导,得: 因为当 x = 0时,从原方程可以解得 y = 0 zjz4404@163.com

  18. 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 将方程两边同时对 x求导,得: 注意:y是x的函数,siny则是x的复合函数。 zjz4404@163.com

  19. 例14 ◆幂指函数的导数 转化为初等函数,直接求导法 解法1 转化为隐函数,对数求导法 解法2 两边取对数,得 将方程两边同时对x求导(注意 y是 x 的函数)得: zjz4404@163.com

  20. 一般地,幂指函数 的求导,可有两种方法, 都可得到一般公式: 练习 设 如 解答 zjz4404@163.com

  21. ◆对数求导法 例15 解 两边取对数,得 两边对 x求导(注意 y 是 x 的函数)得: 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。 zjz4404@163.com

  22. 练一练 解 zjz4404@163.com

  23. ◆由参数方程所确定的函数的导数 注意一阶导数也是 t 的函数 zjz4404@163.com

  24. 求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。 例16 解 zjz4404@163.com

  25. 练习 解 zjz4404@163.com

  26. 练一练 解 zjz4404@163.com

  27. 函数在点x0处可导 左导数和右导数都存在,并且相等。 ◆单侧导数 • 左导数 • 右导数 zjz4404@163.com

  28. 例5 已知 解 因为 所以 ,从而 zjz4404@163.com

  29. ◆导数的几何意义 y T M o x 的切线方程为 法线方程为 法线是过切点且与切线垂直的直线 zjz4404@163.com

  30. 例6求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。 所以,所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 所求法线方程为 即 解 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为 zjz4404@163.com

  31. 例 曲线 在点处的切线平行于直线 例 曲线 在点处的切线垂直于直线 例 曲线 在点处的法线垂直于直线 zjz4404@163.com

  32. ◆函数的可导性与连续性的关系 连续 可导 连续是可导的必要非充分条件 zjz4404@163.com

  33. 例7讨论函数 在点 的连续性和可导性。 解 故函数在点 x=0 处连续 不存在 故函数 f (x)= |x|在点 x=0 不可导 • 函数 f (x) 在某点连续,却不一定在该点可导。 zjz4404@163.com

  34. 例8设 在 点可导,求常数 的值。 即有 (1) 解 因为函数在x=2点可导,所以函数在该点连续。 所以有 又 zjz4404@163.com

  35. 所以 代入(1)式得 即为所求。 所以 又 zjz4404@163.com

  36. 结论: 可导 可微,且 一一对应 导数公式 微分公式 ◆函数的微分 一般形式 zjz4404@163.com

  37. ◆复合函数的微分法则和微分形式不变性 zjz4404@163.com

  38. 例2 例1 解 解 zjz4404@163.com

  39. 例3 解 zjz4404@163.com

  40. 例4 求由方程 确定的隐函数的微分 解 两边同时微分,得 即 所以,所求微分为 zjz4404@163.com

  41. y 若函数 满足: (1)在闭区间 上连续 (2)在开区间 内可导; x (3) 则在 ,使 内至少存在一点 ◆罗尔定理 Rolle Theorem 罗尔定理的几何意义 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线,且两个端点的纵坐标相等,则曲线弧上至少存在一点C,使得曲线在该点处的切线是水平的. zjz4404@163.com

  42. 例1验证函数 在区间 上满足罗尔 定理,并求出定理中的 值。 解 因为函数在 上连续,在 内可导,且 所以,函数在 上满足罗尔定理 而 令 得 所以, 即为所求的点。 zjz4404@163.com

  43. 满足: 若函数 y 上连续; (1)在闭区间 (2)在开区间 内可导; x 则在 ,使 内至少存在一点 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线,则弧上至少至少存在一点 ,使得曲线在点 处的切线平行弦AB。 ◆拉格朗日中值定理 lagrange Theorem 几何意义: zjz4404@163.com

  44. 例 证明 证明 令 则 在 内满足Lagrange中值定理 而 所以 而 所以 推论:如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零,那末 f (x) 在区间I上是一个常数 zjz4404@163.com

  45. 例2 因为 所以 即 所以 即为所求。 解 由Lagrange中值定理可知 练习 解答 zjz4404@163.com

  46. 例3 解 所以 即 所以 解题思路: 确定应用区间 构造有关的函数 应用Lagrange定理 计算导数后的等式 转化为不等式 zjz4404@163.com

  47. 若 属 类型的极限问题,则可考虑用洛 必达法则,如果 存在或为 ,则 注意:法则只能解决 存在时,未定式 的定值问题。即如果不存在,也不是, 则法则失效。 ◆洛必达法则 zjz4404@163.com

  48. 型 型 例1求下列极限 解 原式 解 原式 解 原式 zjz4404@163.com

  49. 解 这是 型的未定式,且当 时, 所以,原式 例2求极限 适当使用等价无穷小替换,再使用洛必达法则,可简化极限运算。 练习 zjz4404@163.com

  50. ◆其它形式的未定式的定值 (1)形如 的未定式 解题方法:将未定式变形 例3求极限 解 原式 zjz4404@163.com