导数及其应用

1. 导数及其应用

2. ◆导数 Derivative的概念 函数 自变量 函数 导数 其它形式 zjz4404@163.com

3. 例题 设 ，求 所以 解 如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果 其结果表示是x的函数，称之为导函数。 zjz4404@163.com

4. ◆基本导数公式 记熟、记牢、记准 zjz4404@163.com

5. ◆函数的和差积商的求导法则 你记住了吗？ 特别 zjz4404@163.com

6. 例1设 例2 解 解 zjz4404@163.com

7. 例3设 解 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

8. 推广 ◆复合函数的求导法则 链式法则 Chain Rule zjz4404@163.com

9. 例6设 解 因为 所以 代入 例7设 可分解为 所以 解 也可以不写出中间变量 zjz4404@163.com

10. 例8设 由外及里，环环相扣 解 zjz4404@163.com

11. 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

12. 例9 例10 解 解 zjz4404@163.com

13. 练一练 求下列函数的导数 zjz4404@163.com

14. ◆高阶导数 ——导函数的导数 函数 一阶导数 二阶导数 三阶导数 n阶导数 zjz4404@163.com

15. 练一练 求下列函数的二阶导数 解 zjz4404@163.com

16. ◆隐函数的导数 例12 求由方程 确定的隐函数的导数 解 将方程两边同时对 x求导，得： 所以 隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。 注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。 zjz4404@163.com

17. 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 所以 解 将方程两边同时对x 求导，得： 因为当 x = 0时，从原方程可以解得 y = 0 zjz4404@163.com

18. 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 将方程两边同时对 x求导，得： 注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。 zjz4404@163.com

19. 例14 ◆幂指函数的导数 转化为初等函数，直接求导法 解法1 转化为隐函数，对数求导法 解法2 两边取对数，得 将方程两边同时对x求导（注意 y是 x 的函数）得： zjz4404@163.com

20. 一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法， 都可得到一般公式： 练习 设 如 解答 zjz4404@163.com

21. ◆对数求导法 例15 解 两边取对数，得 两边对 x求导（注意 y 是 x 的函数）得： 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。 zjz4404@163.com

22. 练一练 解 zjz4404@163.com

23. ◆由参数方程所确定的函数的导数 注意一阶导数也是 t 的函数 zjz4404@163.com

24. 求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。 例16 解 zjz4404@163.com

25. 练习 解 zjz4404@163.com

26. 练一练 解 zjz4404@163.com

27. 函数在点x0处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。 ◆单侧导数 • 左导数 • 右导数 zjz4404@163.com

28. 例5 已知 解 因为 所以 ，从而 zjz4404@163.com

29. ◆导数的几何意义 y T M o x 的切线方程为 法线方程为 法线是过切点且与切线垂直的直线 zjz4404@163.com

30. 例6求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。 所以，所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 所求法线方程为 即 解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为 zjz4404@163.com

31. 例 曲线 在点处的切线平行于直线 例 曲线 在点处的切线垂直于直线 例 曲线 在点处的法线垂直于直线 zjz4404@163.com

32. ◆函数的可导性与连续性的关系 连续 可导 连续是可导的必要非充分条件 zjz4404@163.com

33. 例7讨论函数 在点 的连续性和可导性。 解 故函数在点 x=0 处连续 不存在 故函数 f (x)= |x|在点 x=0 不可导 • 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。 zjz4404@163.com

34. 例8设 在 点可导，求常数 的值。 即有 （1） 解 因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。 所以有 又 zjz4404@163.com

35. 所以 代入（1）式得 即为所求。 所以 又 zjz4404@163.com

36. 结论： 可导 可微，且 一一对应 导数公式 微分公式 ◆函数的微分 一般形式 zjz4404@163.com

37. ◆复合函数的微分法则和微分形式不变性 zjz4404@163.com

38. 例2 例1 解 解 zjz4404@163.com

39. 例3 解 zjz4404@163.com

40. 例4 求由方程 确定的隐函数的微分 解 两边同时微分，得 即 所以，所求微分为 zjz4404@163.com

41. y 若函数 满足： (1)在闭区间 上连续 (2)在开区间 内可导； x (3) 则在 ，使 内至少存在一点 ◆罗尔定理 Rolle Theorem 罗尔定理的几何意义 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的. zjz4404@163.com

42. 例1验证函数 在区间 上满足罗尔 定理，并求出定理中的 值。 解 因为函数在 上连续，在 内可导，且 所以，函数在 上满足罗尔定理 而 令 得 所以， 即为所求的点。 zjz4404@163.com

43. 满足： 若函数 y 上连续； (1)在闭区间 (2)在开区间 内可导； x 则在 ，使 内至少存在一点 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点 ，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。 ◆拉格朗日中值定理 lagrange Theorem 几何意义: zjz4404@163.com

44. 例 证明 证明 令 则 在 内满足Lagrange中值定理 而 所以 而 所以 推论：如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零，那末 f (x) 在区间I上是一个常数 zjz4404@163.com

45. 例2 因为 所以 即 所以 即为所求。 解 由Lagrange中值定理可知 练习 解答 zjz4404@163.com

46. 例3 解 所以 即 所以 解题思路： 确定应用区间 构造有关的函数 应用Lagrange定理 计算导数后的等式 转化为不等式 zjz4404@163.com

47. 若 属 类型的极限问题，则可考虑用洛 必达法则，如果 存在或为 ，则 注意：法则只能解决 存在时，未定式 的定值问题。即如果不存在，也不是， 则法则失效。 ◆洛必达法则 zjz4404@163.com

48. 型 型 型 例1求下列极限 解 原式 解 原式 解 原式 zjz4404@163.com

49. 解 这是 型的未定式，且当 时， 所以，原式 例2求极限 适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。 练习 zjz4404@163.com

50. ◆其它形式的未定式的定值 （1）形如 的未定式 解题方法：将未定式变形 例3求极限 解 原式 zjz4404@163.com