第十二章 轴对称 小结与复习

1. 第十二章 轴对称 小结与复习 岳麓区坪塘中学C175

2. 一.轴对称图形 1、轴对称图形： • 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 • 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点_____. 2、轴对称：

3. 知识回顾： 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 一个 两个 (1)轴对称图形是指( ) 具 有特殊形状的图形, 只对( )图形而言; (2)对称轴( )只有一条 (1)轴对称是指( )图形 的位置关系,必须涉及 ( )图形; (2)只有( )对称轴. 区别 一个 两个 一条 不一定 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形. 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 联系

4. 4、轴对称的性质： ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

5. 练习： 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ） A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士 C 加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士

6. 2、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，请你判断这个英文单词是（ ） A (B) (A) (D) (C)

7. L 3、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则∠C是多少度？ 650 750

8. 3. 解:

9. 二.线段的垂直平分线 1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 （纯粹性）。 你能画图说明吗？

10. 3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性） 4.线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是 与线段两个端点距离相等的所 有点的集合。

11. 三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______. (x, － y) (－ x, y)

12. 练 习 (抢答) 1、完成下表. (2, 3) (-1,-2) (-6, 5) (0,1.6) (4,0) (-2, -3) (1, 2) (6, -5) (-4,0) (0, -1.6) 2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2). 若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______. 若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______. 2 4 -20 6

13. c 0 · -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 4 · B 3 2 1 -1 -2 -3 -4 例：已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形。 y · · 解：点A(-3,5),B(-4,1), C(-1,3)，关于y轴对称 点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接A’B’,B’C’,C’A’,就得到△ABC关于y轴对称的△A’B’C’. A A’ · C’ · B’ x 归纳:（P44）先求出已知图形中的 特殊点(如多边形的顶点或端点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可 得到这个图形的轴对称图形.

14. 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 y x=1 P(-2,4) P’(4,4) · · 1 ’ M(-1,1) M’(3,1) · · -1 x -2 · · N(-3,-2) N’(5,-2) 15 思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗? 点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）

15. D(6,5) F(3,3) E(6,1) M(-4,-3) N(-4,-7) 如图，分别作出△ABC关于直线x=1（记为m) 和直线y=-1（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？ m Y • 如图： A(-4,5) B(-1,3) C(-4,1) x X O n G(-1,-5) 点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）关于直线y=-1对称的点的坐标为（x, -2-y） 点（x, y）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-x, y）,关于直线y=n对称的点的坐标为（x, 2n-y）

16. 归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线 x=m对称，则; 类似: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ; y1=y2 (m= ) X2=2m-x1 x1=x2 y2=2n-y1 (n= )

17. A P C B 1.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。 （1）求证：PA=PB=PC。 （2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？ 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

18. 4.利用轴对称变换作图： 如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ B A L P

19. 利用轴对称变换作图： 1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。 A C B

20. A· M N E B 1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） • .

21. 作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 A· M C N D E B

22. a A B · · D C E 2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点， 作法：作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。 证明：在直线a上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a对称,点D.E 在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE中，AE+EC＞AC, 即AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处，

23. 某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA的 对称点点D, 2. 作点C关于直线OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短 D G M O A H • Ｃ.. N E B

24. G D H M O A • Ｃ.. N E B 证明：在直线OA上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短

25. 4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线， 作法：1.作点C关于直线 OA的 对称点点F, 2. 作点D关于直线OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短 F G O A · C H D · E B

26. F G M O A H · C N D · E B 证明：在直线OA上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND即CM+MN+ND最短

27. 4、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，4、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AD ⊥CF （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。 C D F B A E F

28. C E A B D 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。

29. A D E B 6.如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。 C

30. 7.如图：在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是。7.如图：在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是。 18厘米 A E C B D

31. 三.（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

32. 四.（等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。 2、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它 所对的直角边等于斜边的一半。

33. 练习： A D C B 1、如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)∵AD⊥BC ∴∠ ____= ∠_____;____=____ (2) ∵AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____ (3) ∵ AD是角平分线 ∵____ ⊥____;_____=____ BAD CD CAD BD BAD AD BC CAD AD BC BD CD

34. 2、“有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm，则周长为2、“有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm，则周长为 20cm

35. 700,700 或 400，1000 3、若等腰三角形的一个角为400，则另外两个角的度数为

36. 4、已知，如图: AB=AC AD=DC=BC则∠A= 360 A D C B

37. 5、已知，如图AB=AB=CD AD=BD则∠BAC= 1080 A B C D

38. 课堂练习： 1、哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直线表示进镜子、垂直放置在纸条前) 口 木 E 目 人 晶 S N 中 田 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★

39. 26cm 6、如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm. A E D C B

40. A C B Q P 7、如图，P、Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ， 求∠BAC的度数。

41. 6、等腰三角形的一个角为100°，底角为_____ A D E B 7、等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_______ 8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。 9、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。 C

42. 作业布置： 已知，如图：△ABC中 AB=AC E为AC延长线上的一点且CE=BD DE交BC于F 求证：DF=EF (提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可) A D C B F G E