ПО ТЕМЕ «КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

1. ПО ТЕМЕ «КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

2. Запомните!!! Определение: Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке. Теорема о перестановках элементов конечного множества: n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами. Рn=n!

3. Задача: Антон, Борис и Виктор купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е, 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места?

4. Решение задачи: Может быть такая последовательность: Б А В А В Б Заметим, что 3!=1•2•3=6 Может быть и так: Б В А Б А В А может быть и так: В А Б В Б А Ответ: 6 вариантов

5. Задача: В n-ном классе в среду 6 уроков: математика, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить? Расставляем предметы по порядку Всего вариантов расписания 6 Математика Литература 5 6!=1•2•3•4•5•6= 4 Русский язык Английский язык 720 3 Биология 2 Физкультура 1

6. Задача: В n-ном классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика- последний урок? Чем отличается эта задача от предыдущей? Какой предмет можно не учитывать при составлении расписания? 4!=24

7. Задача: Сколькими способами можно переставить буквы в слове «эскиз»? 5!=120

8. Задача: Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «переправа»? 22680 Чем отличается эта задача от предыдущей? Запишем следующую формулу: Разберём эту формулу на нашем примере: Буква «п» встречается 2 раза, «е» – 2 раза, «р» – 2 раза, «а» – 2 раза, «в» – 1 раз, значит, к=2+2+2+2+1=9, к1=2,к2=2,к3=2,к4=3,к5=1. Подставим полученные значения в формулу: где к –сумма повторений различных букв, а к1,к2,… - повторения каждой различной буквы.

9. Запомните Определение: Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. В размещении учитывается порядок следования предметов. Так, например, наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются различными

10. Запомните Формула: Количество размещений из n по m, обозначается и вычисляется по формуле:

11. Решите самостоятельно задачу: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 4,5,6,7,8? 60

12. Задача: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4? В данной задаче: n=4, m=2. Значит, надо вычислить: Решим задачу деревом переборов: 12 12 Получили такой же ответ:

13. Задача: Завучу школы из 8 предметов: алгебра, геометрия, информатика, физика, химия, ОБЖ, литература, физическая культура необходимо составить расписание на один день из 5 уроков. Сколькими способами можно это сделать? 6720

14. Задача: Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны? Всего цифр десять:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, из пять нечётных:1,3,5,7,9. Значит, в этой задаче n=5(из пяти нечётных цифр составляются числа) и m=2(т.к. числа двузначные). 20

15. Задача: Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, стал набирать их наудачу. Сколько вариантов ему надо перебрать, чтобы набрать нужный номер? 90

16. Запомни и выучи!!! Сочетаниями без повторений из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В сочетаниях без повторений не имеет значение порядок расположения элементов в той или иной группе.

17. Обозначение: Количество сочетаний из n по m, обозначается и вычисляется по формуле:

18. Задача: На окружности отмечены 10 точек. Сколько разных треугольников с вершинами в этих точках можно получить? 120

19. Задача: Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 учителей, можно образовать из 14 педагогов? 3432

20. Задача: 1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных. Способов выбора черных шаров Способов выбора былых шаров По правилу умножения искомое число способов равно

21. Задача: Подгруппа из 3 человек Подгруппа из 4 человек Подгруппа из 5 человек Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно: Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй- не более 9 человек ? Решение:

22. Запомни и выучи!!! Сочетаниями с повторениями из n элементов по m называются соединения, имеющие одинаковый состав из n элементов, содержащих m элементов.

23. Обозначение: Количество сочетаний с повторениями из n по m, обозначается и вычисляется по формуле:

24. Задача: В кондитерской продаются пирожные эклер, корзиночка, бисквит, безе, картошка, заварное (всего 6 сортов). Надо купить 10 пирожных. Сколькими способами можно это сделать? 3003

25. Запомни и выучи!!! Вероятностью события А назовем отношение числа благоприятных исходов к общему числу элементарных исходов. где m – число благоприятных исходов n – общее число элементарных исходов

26. Свойства вероятности • Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. • Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. • Свойство 3. Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы

27. Невозможное и достоверное события Достоверным назовем событие, наступающее при любом исходе испытания. Невозможным назовем событие, не наступающее ни при одном исходе испытания. Достоверное событие: при подбрасывании монеты выпадет Орел или Решка. Невозможные события: «Встанет на ребро», «Повиснет в воздухе».

28. Задачи про кубики

29. Задача. Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 сек. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 сек. Решение: Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, «А»=«ВСD» - по определению произведения событий, следовательно, Р(А)=Р(ВСD). По формуле вероятности произведения независимых событий: Р(ВСD) = Р(В)*Р(C)*Р(D). Вычислим вероятности событий В, C и D. В этом примере имеется 3 равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий В, C и D благоприятствует 1 из них, поэтому Р(В)=Р(С)=Р(D)= 1/3, тогда Р(А) = Р(ВСD) = 1/3 ×1/3 ×1/3 =1/9

30. Задача. Будут ли события А и В независимыми, если Р(А)= 1/4, Р(В)=2/3, Р(АВ)= 1/12 Решение: Р(А) × Р(В) = 1/4 × 2/3 =1/6, 1/6 ≠ 1/12 = Р(АВ), следовательно, события не являются независимыми. Задача. Являются ли события А и В независимыми, если Р(А)=0,8 , Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,48 Решение: Р(АВ)= Р(А) × Р(В) = 0,8 × 0,6 = 0,48, 0,48 = 0,48, следовательно, события являются независимыми

31. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Событие А или событие В, то есть событие А + событие В Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар

32. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Событие А и событие В, то есть событие А • событие В Пример: происходят следующие события: А- из колоды карт вынута ”дама” В- вынута карта пиковой масти А∙В – событие – вынута карта “дама пик”

33. Задача: Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий должны написать по 5 глав, второй - 4, а четвертый 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами? 171531360

34. Задача: В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревнованиях необходимо составить команду из 4 человек, в которую должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами можно это сделать? 56

35. Задача . На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15-второй и 10 третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой. Указания к решению:а)Определите, о каких событиях идёт речь? б)Совместны ли данные события? в)Обозначьте вероятность каждого события г)Вычислите вероятность наступления каждого события по классической вероятностид) примените теорему сложения вероятностей

36. Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной первой бригадой. Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной второй бригадой. Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной третьей бригадой. Р(А)=25/50=1/2, Р(В)=15/50=3/10, Р(С)=10/50=1/5 Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2

37. Задача 2. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта. Решение: А – событие, что изделие годно к использованию, В – изделие первого сорта Найти Р (АВ) Р(А)=0,96, Р(В)=0,75 Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72

38. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

40. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Рассмотрим события • А = кофе закончится в первом автомате, • В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 =0,52.

41. Задания из Открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 5% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 30% на услуги мобильного интернета. Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 580 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 155 рублей на звонки в другие регионы и 110 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?

42. Звонки в своем регионе 580р. 5% = 29р. • Звонки в другие регионы 155р. 20% = 31р • Мобильный интернет 110р. 30% = 33 р.

43. На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму выбросов занимал Пакистан, десятое место —  Нигерия. Какое место среди представленных стран занимал Ирак?

44. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92. задача решение

45. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд. Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так : Вероятность двух попаданий подряд равна 0,9 ·0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 ·0,9 ·0,9 · 0,9 = 0,6561. задача решение

46. Сайты, рекомендуемые при подготовке к ЕГЭ • http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B10/all/ - открытый банк задач . • http://interneturok.ru/ruвидеоуроки • http://www.egetrener.ru/index.php ЕГЭ - тренер • http://video.yandex.ru/#!/search?text=подготовка к егэ по математике 2013 с решениями&where=all&filmId=GenQXHfPUXIвидеоуроки • http://alexlarin.net/ подготовка к ЕГЭ и ГИА • http://www.egetrener.ru/treningB.php еще один ЕГЭ - тренер

47. Спасибо за внимание! Успехов в работе!