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MATLAB 개요와 응용 3 장 배열 연산

MATLAB 개요와 응용 3 장 배열 연산. 목 차. 배열의 덧셈과 뺄셈 배열 곱셈 배열 나눗셈 원소별 연산 MATLAB 내장함수에서의 배열 사용 난수의 발생 응용예제. 개요. 스칼라 또는 배열 변수들이 MATLAB 에서 생성되면 , 이 변수들은 다양한 수학연산에 사용될 수 있다 . MATLAB 은 과학과 공학 분야에서 많은 응용분야를 가진 고급 배열연산을 수행하도록 설계되었다 . 이 장에서는 배열을 이용하여 MATLAB 이 수행하는 기본적이고 가장 일반적인 수학 연산을 제시한다 .

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MATLAB 개요와 응용 3 장 배열 연산

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  1. MATLAB개요와 응용3장 배열 연산

  2. 목 차 • 배열의 덧셈과 뺄셈 • 배열 곱셈 • 배열 나눗셈 • 원소별 연산 • MATLAB 내장함수에서의 배열 사용 • 난수의 발생 • 응용예제 3장 배열과 행렬

  3. 개요 • 스칼라 또는 배열 변수들이 MATLAB에서 생성되면, 이 변수들은 다양한 수학연산에 사용될 수 있다. MATLAB은 과학과 공학 분야에서 많은 응용분야를 가진 고급 배열연산을 수행하도록 설계되었다. 이 장에서는 배열을 이용하여 MATLAB이 수행하는 기본적이고 가장 일반적인 수학 연산을 제시한다. • 배열의 덧셈과 뺄셈 연산 • 선형대수법칙에 따른 배열의 곱셈과 나눗셈, 거듭제곱 연산(표준기호 *, /, ^ 이용) • 원소별 연산(element-by-element operation)을 이용한 배열의 곱셈과 나눗셈, 거듭제곱 연산(.*, ./, .^의 기호 이용) 3장 배열과 행렬

  4. >> v = [3 6 2]; w=[9 -1 5]; >> z = v + w z = 12 5 7 >> A=[2 -3 7; 8 4 5]; >> B=[10 7 4; -11 15 1]; >> C = A - B C = -8 -10 3 19 -11 4 >> D = A + B D = 12 4 11 -3 19 6 >> D-2 ans = 10 2 9 -5 17 4 >> C * 2 ans = -16 -20 6 38 -22 8 행렬의 덧셈이나 뺄셈에 스칼라가 포함된 경우, 행렬의 모든 원소에 스칼라를 더하거나 뺀다. 행렬의 덧셈과 뺄셈 • 같은 크기의(같은 행과 열의 수를 가진) 배열들에 대한 덧셈과 곱셈은 같은 위치의 원소들을 더하거나 빼서 구한다. 3장 배열과 행렬

  5. >> M = [61 78 39 42; 49 57 24 36; 92 97 89 84]; %중간고사 성적 >> F = [69 84 51 46; 55 53 31 40; 96 97 92 90]; %기말고사 성적 >> T = 0.5*(M + F) % 학생별, 과목별 총점 구하기 T = 65.0000 81.0000 45.0000 44.0000 52.0000 55.0000 27.5000 38.0000 94.0000 97.0000 90.5000 87.0000 >> E = F – M % 학생별, 과목별 성적 향상 E = 8 6 12 4 6 -4 7 4 4 0 3 6 배열의 덧셈과 뺄셈 응용예 • 세 학생의 과목별 중간고사 및 기말고사 성적은 다음 표와 같다. 세 학생의 각 과목별 평균점수와 중간고사에 대한 성적향상 점수를 구하라. 3장 배열과 행렬

  6. >> A = [ 1 4 3; 2 6 1; 5 2 8]; >> B = [5 4; 1 3; 2 6]; >> C = A*B T = 15 34 18 32 43 74 >> D = B*A ??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. 배열의 곱셈 • MATLAB에서 행렬의 곱은 선형대수의 규칙에 따라 행해진다. 3장 배열과 행렬

  7. >> A = [ 6 2; 4 7]; B = [3 9; 5 1]; >> C = A*B, D = B*A % A*B≠B*A C = 28 56 47 43 D = 54 69 34 17 행렬 곱과 벡터 곱 (1/2) • 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, AB≠BA이다. • 벡터 곱 vw의 경우, 두 벡터의 원소 개수는 같아야 하고 한쪽 벡터가 행벡터이면 나머지 벡터는 열벡터이어야 하며, 스칼라 또는 행렬을 얻게 된다. dot(a, b)내장함수는 두 벡터의 행∙열 구분 없이 내적을 구한다. 3장 배열과 행렬

  8. >> G*F ans = 14 26 31 45 >> A=[2 5 7 0; 10 1 3 4; 6 2 11 5] A = 2 5 7 0 10 1 3 4 6 2 11 5 >> C = 3*A C = 6 15 21 0 30 3 9 12 18 6 33 15 >> D=A*3 D = 6 15 21 0 30 3 9 12 18 6 33 15 >> v = [ 6 2 4 ]; w = [3; 9; 5]; >> x = v*w x = 56 >> z = w*v z = 18 6 12 54 18 36 30 10 20 >> dot(v, w) % v*w ans = 56 >> F=[1 3; 5 7]; G=[4 2; 1 6]; >> F*G ans = 7 20 27 52 v*w ≠ w*v 수와 행렬의 곱은 행렬의 각 원소에 수를 곱해 구한다. 행렬 곱과 벡터 곱 (2/2) 3장 배열과 행렬

  9. 단위행렬(identity matrix or unity matrix) I 대각선 원소가 모두 1이고 그 외의 원소는 0인 정방행렬(square matrix)로서, MATLAB에서는 eye(n)명령어로 생성한다. 스칼라 변수에 1을 곱한 경우처럼 행렬(또는 벡터)에 단위행렬 I를 곱해도 행렬은 변화가 없다. 즉, AI = A, Iv = v, BI = B이다. 만일 A가 정방행렬이면, AI = IA = A이다. 연립선형방정식의 행렬 표현과 나눗셈 • 연립선형방정식을 행렬에 의해 간단히 표현하고 해를 체계적인 방법으로 구할 수 있다. 3장 배열과 행렬

  10. >> A^-1% A의 역행렬 ans = 0.2278 -0.0886 -0.1646 -0.0253 -0.1013 0.2405 -0.0823 0.1709 0.0316 >> A*A^-1% AA-1=I ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 0 -0.0000 0.0000 1.0000 >> A= [ 7 4 6; 3 1 8; 2 5 4]; >> B=inv(A) B = 0.2278 -0.0886 -0.1646 -0.0253 -0.1013 0.2405 -0.0823 0.1709 0.0316 >> A*B % B*A와 동일 ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 0 -0.0000 0.0000 1.0000 5.55e-17 행렬의 역행렬(Inverse Matrix) • 정방행렬인 A와 B를 곱한 결과가 단위행렬 I라면, 두 행렬은 서로 역행렬의 관계에 있다. 즉 A는 B의 역행렬이며, B는 A의 역행렬이다. AB = BA = I → A=IB-1 =B-1 or B=IA-1 =A-1 AA-1 =I → A-1 은 A의 역행렬 • MATLAB에서 A의 역행렬은A^-1또는inv(A)명령으로 구한다. 3장 배열과 행렬

  11. >> A= [ 1 2 0; 0 1 1; 3 0 1]; det(A) ans = 7 >> B=[ 1 2 1; 0 1 1; 3 1 1]; det(B) ans = 3 행렬식(Determinant) • 행렬 A의 determinant는 |A|로 표시하며, MATLAB 명령어 det(A)에 의해 구한다. 3장 배열과 행렬

  12. 행렬 나눗셈 (1/2) • MATLAB에는 ‘right division(/)’과 ‘left division(\)’의 두 가지 형식의 행렬 나누기가 있다. 연립선형방정식을 Ax=B의 행렬형태로 나타냈을 때 벡터 x는 두 가지 방법으로 구할 수 있다. • Left division \ • Ax = b의 양변에 A의 역행렬 A-1을 곱하면, A-1Ax = A-1b → Ix = x = A-1b 즉, Ax = b의 해는 x = A-1b이다. MATLAB 명령어로 x = inv(A)*b이다. • MATLAB에서 left division ‘\’를 이용하여 구할 수도 있다. 즉, x = A\b. • 위의 두 방법은 같은 결과를 주는 것처럼 보이지만, MATLAB이 x를 계산하는 방법은 다르다. Left division ‘\’는 Gauss elimination 방법에 따라 수치적으로 계산한다. • 큰 행렬이 포함된 경우, 역행렬 계산이 가우스 소거법보다 정확도가 떨어질 수 있으므로 선형연립방정식을 푸는 경우에는 left division을 사용하는 것이 유리하다. 3장 배열과 행렬

  13. Ax=b >> 4/8 ans = 0.5000 >> 4\8 ans = 2 >> A=[ 4 -2 6; 2 8 2; 6 10 3]; b=[8; 4; 0]; >> x=A^-1 * b ans = -1.8049 0.2927 2.6341 >> x2 = inv(A)*b x2 = -1.8049 0.2927 2.6341 >> x3 = A\b % 가우스 소거법 x3 = -1.8049 0.2927 2.63412 행렬 나눗셈 (2/2) • Right division / • 행 벡터 v와 w에 대해, 선형방정식 vA = w에서 v를 구하려면 vAA-1 = wA-1→ vI = v = wA-1or v = w/A 즉, vA = w의 해는v = w/A or wA-1이다. 3장 배열과 행렬

  14. >> A=[ 4 -2 6; 2 8 2; 6 10 3]; b=[8; 4; 0]; >> x=A\ b % x=inv(A)*b로 구할 수도 있음 x = -1.8049 0.2927 2.6341 >> C=[4 2 6;-2 8 10; 6 2 3]; w = [8 4 0]; >> x = w/C x = -1.8049 0.2927 2.6341 Ax = b → A-1Ax=A-1b →x=A\b xC=w → xCC-1=wC-1 →x = w/C 예제 3.1 연립선형방정식의 해 • 다음 선형연립방정식을 행렬 형식으로 나타내고 해를 구하라. 4x – 2y + 6z = 8 2x + 8y + 2z = 4 6x + 10y + 3z = 0 위 연립방정식을 행렬 형식으로 나타내면 다음과 같다: 3장 배열과 행렬

  15. 선형연립방정식을 행렬로 표현한 후, 계수행렬의 대각선 원소들을 0으로 만들고 대각선 밑의 원소들은 모두 0으로 만듦으로써 삼각형 모양의 계수 행렬로 변형하여 해를 구하는 방법이다. • 예제 : x + 3y + z = 10 4x + y + 2z = 16 x + 2y + 5z= 12 ①행×(-4)+②행 → ② ①행×(-1)+③행 → ③ ②행과 ③행 교환 ②행 ×(-1) → ② ②행 ×(11)+③행 → ③ ③행 ×(-1/46) → ③ Gauss-Jordan Elimination (1/2) 3장 배열과 행렬

  16. ③행×(4) + ②행 → ② ③행×(-1)+ ①행 → ① ②행 ×(-3) +①행 → ① Gauss-Jordan Elimination (2/2) • 위 식의 계수 행렬을 I 행렬로 만들면 Gauss-Jordan소거법이 된다. 3장 배열과 행렬

  17. 원소별(Element-by-Element) 연산 • 행렬에 대한 곱셈과 나눗셈은 선형대수의 법칙을 따른다. 그러나 두 행렬의 원소와 원소 사이의 연산이 필요한 경우가 많다. 덧셈과 뺄셈은 원래 행렬의 같은 위치의 원소끼리 더하거나 빼므로 원칙적으로 원소별 연산에 해당된다. • 원소별 연산은 다음과 같이 점 뒤에 연산기호를 붙이면 된다: .* (원소별 곱셈), .^ (원소별 지수승), ./ (우측 나눗셈), .\ (좌측 나눗셈) • 두 벡터 v와 w가 각각 v=[v1, v2, v3], w=[w1w2w3]이라면, v.*w = [ v1w1, v2w2, v3w3 ] v./w = [ v1/w1, v2/w2, v3/w3 ] v.^w = [ v1w1, v2w2, v3w3] • 두 행렬 A와 B에 대해 3장 배열과 행렬

  18. >> C=A./B C = 2.0000 1.5000 0.3000 1.6667 4.0000 0.5714 >> 2.^B ans = 2 16 1024 8 4 128 >> A*B ??? Error using==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. 행렬의 원소별 연산 >> A=[2 6 3; 5 8 4]; >> B=[1 4 10; 3 2 7]; >> A.*B ans = 2 24 30 15 16 28 3장 배열과 행렬

  19. >> x = 1:7 x = 1 2 3 4 5 6 7 >> y = 2*x.^2 – 5*x + 1 y = -2 -1 4 13 26 43 64 >> plot(x, y) • y(x) = (x3 + 5x)/(4x2 – 10)의 계산 >> x = [1:0.03:3]; >> y = (x.^3 + 5*x)./(4*x.^2 - 10); >> plot(x, y) 원소별 연산 예 • 원소별 연산은 많은 독립변수에서 함수값을 계산할 때 매우 유용하다. 먼저 독립변수의 값들을 벡터로 정의하고 이 벡터를 이용하여 함수값을 원소별 연산을 이용하여 계산한다. • y(x)= 2x2- 5x+1 함수의 값 계산 3장 배열과 행렬

  20. MATLAB의 내장함수는 입력인자가 배열인 경우 함수에 의해 정의된 연산이 배열의 각 원소에 대해 수행되도록 만들어져 있으므로, 함수를 원소별로 적용하는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 출력은 입력인자 배열의 각 원소를 함수에 대입하여 얻은 결과를 해당 원소로 갖는 배열이다. • cos(x) 함수의 계산 >> x=[0:pi/6:2*pi] x = Columns 1 through 7 0 0.5236 1.0472 1.5708 2.0944 2.6180 3.1416 Columns 8 through 13 3.6652 4.1888 4.7124 5.2360 5.7596 6.2832 >> y=cos(x) y = Columns 1 through 7 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000 -0.5000 -0.8660 -1.0000 Columns 8 through 13 -0.8660 -0.5000 -0.0000 0.5000 0.8660 1.0000 >> plot(x, y), grid on 내장함수에서의 배열 사용 (1/2) 3장 배열과 행렬

  21. sqrt(x) 함수의 계산 >> d=[1 4 9; 16 25 36; 49 64 81] d = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 >> h=sqrt(d) h = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 내장함수에서의 배열 사용 (2/2) 3장 배열과 행렬

  22. 배열 해석용 내장함수 (1/2) 3장 배열과 행렬

  23. 배열 해석용 내장함수 (2/2) 3장 배열과 행렬

  24. Random number(난수)의 생성 (1/2) • 많은 공학 응용에서 많은 난수들의 집합을 필요로 하는 경우가 종종 있다. MATLAB은 난수를 생성하는 내장함수로 rand, randn이 있다. • rand 명령어: 0과 1 사이에서 균일하게 분포된 난수들을 생성시킴 • rand : 한 개의 난수 생성, rand(1, n) : n개의 난수 행벡터 생성 • rand(n) : nn 크기의 난수 행렬 생성, rand(m, n) : mn 크기의 난수행렬 생성 • randperm 명령어: 1에서 n까지의 정수의 무작위 순열(random permutation)으로 구성된 1n의 행벡터를 생성함 >> x = randperm(8) x = 8 2 7 4 3 6 5 1 • (0, 1)이 아닌 구간에 분포되어 있는 난수들이나 정수로만 이루어진 난수들이 필요한 경우, 다음과 같은 수학적인 조작에 의해 구할 수 있다: (b-a)*rand+a 예) -5와 10 사이의 난수를 가지는 원소 10개의 벡터 : >> v=15*rand(1,10)-5 v = 7.2209 8.5869 -3.0952 8.7006 4.4854 -3.5369 -0.8225 3.2032 9.3626 9.4733 3장 배열과 행렬

  25. 모두 정수인 난수의 생성은 실수를 정수로 변환하는 함수를 이용한다. 예) 1에서 100 사이의 정수 난수를 갖는 2×15 행렬의 생성: >> A=round(99*rand(2,15)+1) A = 44 77 20 45 71 28 66 13 96 59 39 80 49 65 76 68 17 50 35 23 • randn 명령어: 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 난수들의 생성 • randn(n) : nn 크기의 난수행렬, rand(m, n) : mn 크기의 난수행렬 >> d=randn(3,4) d = -0.5883 -0.1364 1.0668 2.1832 0.1139 0.0593 >> x = round( 5*randn(1, 10) + 10) x =6 4 10 10 7 10 10 3 13 8 randn 명령어의 결과에 원하는 평균값을 더하고 원하는 표준편차를 곱함으로써 임의의 평균과 표준편차를 갖는 난수를 생성할 수 있다. Random number(난수)의 생성 (2/2) 3장 배열과 행렬

  26. 그림과 같이 고리에 가해지는 세 힘의 합력(등가 힘)을 구하라. • 풀이 • 직각좌표계에서 힘 벡터 F는 다음과 같이 쓸 수 있다: F3=700 N F2=500 N 143° 30° 20° F1=400 N • 합력(등가 힘)은 고리에 가해지는 세 힘을 모두 더하여 구한다. 다음 세 단계에 따라 해를 구한다. • 각 힘을 두 원소의 벡터로 나타낸다. 벡터의 첫 번째 원소는 힘 벡터의 x 축 성분이고 두 번째 원소는 힘 벡터의 y 축 성분이다. • 세 벡터를 더하여 등가 힘을 벡터 형태로 구한다. • 등가 힘의 크기와 방향을 구한다. 예제 3.2 등가 힘의 계산 (1/2) 3장 배열과 행렬

  27. 스크립트 파일 Ch3Ex3_2.m 명령어 창에서의 프로그램 실행 Ftot=589.98 N F3=700 N F2=500 N 64.95° F1=400 N 예제 3.2 등가 힘의 계산 (2/2) 3장 배열과 행렬

  28. 실험에서 마찰 계수 μ는 질량 m을 이동시키는데 필요한 힘 F를 측정하면 다음 식에 의해구할 수 있다: F m 여섯 번의 시험을 통한 F에 대한 측정 결과가 다음 표로 주어졌다. 각 시험에 대한 마찰계수를 구하고, 모든 시험 결과에 대한 마찰계수의 평균을 구하라. >> m=[2 4 5 10 20 50]; F = [12.5, 23.5, 30, 61, 117, 294]; >> mu=F./(m*9.81) mu = 0.6371 0.5989 0.6116 0.6218 0.5963 0.5994 >> mu_ave = mean(mu) mu_ave = 0.6109 m과 F의 값을 벡터로 입력함 원소별 연산으로 각 시험에 대한 mu의 값을 계산함 예제 3.3 마찰 실험(원소별 계산) 3장 배열과 행렬

  29. 다음 전기회로에 대해 Kirchhoff의 전압법칙에 의한 망전류 방법(mesh current method)을 이용하여 각 저항에서의 전류를 구하라. V1 = 20 V, V2 = 12 V, V3 = 40 V R1 = 18 , R2 = 10 ,R3 = 16  R4 = 6 , R5 = 15 , R6 = 8  R7 = 12  , R8 = 14  • 풀이 : Kirchhoff 전압법칙(voltage law) : 폐회로상의 전압을 모두 더하면 0이다. 각 망에 전류 i1, i2, i3, i4를 할당한 후, Kirchhoff 전압 제2법칙을 각 망에 적용하면, 전류에 대한 선형 연립방정식 4개를 얻을 수 있으며, 이 선형 연립방정식으로부터 망전류의 값을 구할 수 있다. 두 망에 모두 속해 있는 저항을 흐르는 전류는 각 망에서의 전류를 더한 값과 같다. 모든 전류는 시계방향으로 흐른다고 가정한다. 각 망에 대한 식에서, 전압원의 부호는 전류가 -극 쪽으로 흐를 때 양(+)이며, 저항의 전압 부호는 망전류 방향의 전류에 대해 음(-)이다. 예제 3.4 전기저항회로 분석 (1/3) 3장 배열과 행렬

  30. 네 망에 대해 전압 제2법칙을 적용하여 얻은 선형방정식 • 위의 연립방정식을 행렬 형태로 나타낸다. 예제 3.4 전기저항회로 분석 (2/3) 3장 배열과 행렬

  31. 스크립트 파일 Ch3Ex3_4.m • 명령어 창에서의 실행 결과 예제 3.4 전기저항회로 분석 (3/3) 3장 배열과 행렬

  32. 기차와 자동차가 교차로로가고 있다. t=0에서 기차는 교차로의 남쪽 400 ft 지점에서 54 mi/h의 정속으로 북쪽으로 달리고 있으며, 동시에 자동차는 교차로의 서쪽 200 ft 지점에서 28 mi/h의 속력과 4 ft/s2의 가속도로 동쪽으로 달리고 있다. 이후 10초 동안에 대해 매초마다 기차와 자동차의 위치, 둘 사이의 거리, 자동차에 대한 기차의 상대 속력을 구하라.결과는 11×6의 행렬로생성하여 출력한다.행렬의 각 행에서 첫째 원소는 시간, 나머지 다섯 원소는 각각 기차의 위치, 자동차의 위치, 기차와 자동차 사이의 거리, 자동차의 속력, 자동차에 대한 기차의 상대 속력이다. y v=28 mi/h a=4 ft/s2 x 200 ft 400 ft v=54 mi/h • 풀이 : 일정한 가속도로 직선을 따라 움직이는 기차와 자동차의 위치: 기차와 자동차 사이의 거리: 예제 3.5 두 질점의 운동 (1/3) 3장 배열과 행렬

  33. 기차의 속도는 일정하며, 벡터 기호로는 vtrain = v0 trainj이다. 자동차는 가속하고 있으며 시간 t에서의 속도는 vcar=(v0 car + acar t)i이다. 자동차에 대한 기차의 상대속도는 vt/c = vtrain – vcar = (vocar + acar t)i + v0 trainj이며, 상대속도의 크기는 벡터의 길이와 같다. 예제 3.5 두 질점의 운동 (2/3) 3장 배열과 행렬

  34. 스크립트 파일을 명령창에서 실행하면 다음 결과를 얻는다: 차에 대한 기차의 상대속력(ft/s) 시간 차와 기차 사이의 거리(ft) 차 위치(ft) 기차 위치(ft) 예제 3.5 두 질점의 운동 (3/3) 3장 배열과 행렬

  35. 3장 끝 3장 강의록 끝 3장 배열과 행렬

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