מדדי מיקום יחסי וההתפלגות הנורמלית

1. מדדי מיקום יחסיוההתפלגות הנורמלית

2. השימוש של מדדי מיקום יחסי: כאשר נרצה להשוות בין תצפיות הנמצאות על אותה סקאלה של יחידות מדידה, אך משתייכות להתפלגויות שונות (לכל התפלגות ממוצע ופיזור משלה). דוגמא: מה יותר טוב - לקבל 88 בפסיכולוגיה קוגניטיבית או 86 בפסיכולוגיה חברתית ? כאשר נרצה להשוות בין תצפיות הנמדדות בסקאלות שונות: דוגמא: דני שוקל 50 ק"ג וגובהו 165 ס"מ. בהשוואה לשאר ילדי הכיתה האם הוא בולט יותר במשקלו או בגובהו ?  מדדי מיקום יחסי יעזרו לנו לענות על שאלות כגון אלו.

3. מדדי מיקום יחסי מאפשרים לבטא את ערכי ההתפלגות כערכים יחסיים וטהורים. • ערך יחסי מאפשר לדעת מהו מיקומה של תצפית מסוימת יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות • או יחסית לתצפיות המשתייכות להתפלגויות של משתנים אחרים. • ערך טהור הוא ערך שאינו תלוי ביחידות המדידה הגולמיות.

4. מדדי מיקום יחסי: • - אחוזונים / מאונים Percentiles • - ציוני תקן Z scores

5. אחוזונים / מאונים Percentiles # ערך המאון מבטא את הכמות היחסית של ערכי ההתפלגות הנמצאים מעל או מתחת לתצפית כלשהי. # המאון מציין את מיקומה היחסי של התצפית בהתפלגות במונחים של סדר. # המאון אינו מתייחס לערך התצפית או למרחקה ממרכז ההתפלגות.

6. אחוזונים / מאונים Percentiles # כלומר, מאונים הם בסולם סדר, ללא קשר האם המשתנה הוא בסולם רווח או מנה (הם מספקים מידע על סדר הערכים בלבד ולא על המרווחים הקיימים בין הערכים). # חסרונו של המאון – המאון אינו מתקבל כטרנספורמציה ליניארית של הציון הגולמי ולכן קשה לטפל בו מבחינה מתמטית. ציון התקן מתגבר על חיסרון זה ולכן עדיף להשתמש בו. Px – מאון התצפית שערכה x

7. למשל, עבור התפלגות גבהים של ילדי כיתה ידוע כי P165 = 80 כלומר, גובהם של 80% מילדי הכיתה הוא לכל היותר 165 וגובהם של 20% מילדי הכיתה הוא לפחות 165.

8. מהם מאוני הרבעונים? PQ1 = 25 PMd = 50 PQ3 = 75 PQ4= 100

9. שכיחות מצטברת מס' סטודנטים מס' איחורים CF(X) f(x) X 20 20 0 33 13 1 45 12 2 51 6 3 56 5 4 60 4 5+ n=60 n=60 סה"כ עבור סדרת ערכים בדידיםהמאון עבור ציון X כלשהו הינו אחוז התצפיות הקטנות או שוות לו. דוגמא – התפלגות איחורים לשיעור סטטיסטיקה

10. מהו המאון עבור 0 איחורים ? ישנם 20 סטודנטים אשר כלל לא איחרו, ולכן: P0 = CFx * 100 / n = 20*100 / 60 = 33.33 כלומר, 33.33% מהסטודנטים לא איחרו בכלל ו- 66.67% מהסטודנטים איחרו לפחות פעם אחת. מהו המאון עבור 3 איחורים ? ישנם 51 סטודנטים אשר איחרו לכל היותר 3 פעמים, ולכן: P3 = CFx * 100 / n = 51*100 / 60 = 85 כלומר, 85% מהסטודנטים איחרו לכל היותר 3 פעמים ו- 15% מהסטודנטים איחרו יותר מ- 3 פעמים.

11. שכיחות יחסית מצטברת שכיחות מצטברת מס' סטודנטים מס' איחורים Cp = CFx * 100 / n CF(X) f(x) X 33.33% 20 20 0 55% 33 13 1 %75 45 12 2 %85 51 6 3 %93.33 56 5 4 %100 60 4 5+ %100 n=60 n=60 סה"כ ערכי המאונים עבור סדרת ערכים בדידים מופיעים למעשה בעמודת השכיחות היחסית המצטברת (Cp), עליה למדנו בשיעור על ארגון וקיבוץ נתונים:

12. עבור משתנים רציפים (טבלת קטגוריות) כאשר נתון ערך המאון Px ואנו מעוניינים למצוא את ערך X המתאים לו נציב בנוסחה: כאשר נתון ערך X ואנו מעוניינים למצוא את ערך המאון Px המתאים לו נציב בנוסחא (זהו פיתוח של הנוסחא הקודמת):

13. l1 – גבול אמיתי תחתון של מחלקת המאון n – מספר התצפיות בסה"כ CF – השכיחות המצטברת עד מחלקת המאון Fi – שכיחות המקרים במחלקת המאון W – רוחב הקטגוריה

14. שכיחות יחסית מצטברת Cp שכיחות מצטברת CF שכיחות f(x) גבולות אמיתיים זמן אכילה (x) 6.66% 2 2 5.5-15.5 6-15 23.33% 7 5 15.5-25.5 16-25 76.66% 23 16 25.5-35.5 26-35 100% 30 7 35.5-45.5 36-45 100% N=30 N=30 סה"כ דוגמא: התפלגות זמני אכילה בדקות של מגש פיצה @ גדי נמצא במאון ה- 74, כמה דקות לוקח לו לאכול מגש של פיצה ?

15. נחשב את מספר התצפיות עד למאון ה- 74: • n*Px / 100 = 30*74 / 100 = 22.2 • כלומר, לפי עמודת CF המאון נמצא במחלקה השלישית (25.5-35.5 דקות). • [כמובן, לחליפין אפשר להסתכל על עמודת Cp ולראות עד איזו מחלקה הצטברו 74% מהתצפיות] • נציב בנוסחה: כלומר, לגדי לוקח 35 דקות לאכול מגש פיצה – 74% מהנבדקים אוכלים מהר יותר ממנו או לפחות בקצב שלו ו- 26% מהנבדקים אוכלים לאט יותר ממנו.

16. דני אוכל מגש פיצה במשך 17 דקות, באיזה מאון הוא נמצא ? • עלינו להתייחס למחלקה השנייה (15.5-25.5 דקות). נציב בנוסחה: כלומר, דני נמצא במאון ה- 9.16 – 9.16% מהנבדקים אוכלים מהר יותר ממנו או לפחות בקצב שלו ו- 90.84% מהנבדקים אוכלים לאט יותר ממנו.

17. חישוב עשירונים: • מהו העשירון העליון בהתפלגות זו? • מהו העשירון התחתון בהתפלגות זו?

18. ציוני תקן Z scores # ציון יחסי וטהור [Zxi] המבטא את מרחקו של הציון הגולמי [Xi] מתוחלת / ממוצע ההתפלגות [ ]. # המרחק נמדד ביחידות של ס"ת ]σ, SD[ - יחידות של פיזור.

19. # עבור אוכלוסיה נשתמש בפרמטרים: # עבור מדגם נשתמש בסטטיסטים: # כלומר, ציון התקן מלמד בכמה ס"ת רחוק ערך Xi מסוים מהממוצע. # לכן, בעזרת ציוני תקן נוכל להשוות ציונים המשתייכים להתפלגויות השונות בממוצע או בפיזור.

20. דוגמא: מה יותר טוב - לקבל 87 בפסיכולוגיה קוגניטיבית או 86 בפסיכולוגיה חברתית ? בפסיכולוגיה קוגניטיבית (X) הממוצע = 88 וס"ת = 4 בפסיכולוגיה חברתית (Y) הממוצע = 85 וס"ת = 6 חישוב: ניתן לראות כי Zxi < Zyi כלומר, עדיף לקבל 86 בפסיכולוגיה חברתית ולהיות 0.167 יחידות תקן מעל ממוצע הקורס, מאשר לקבל 87 בפסיכולוגיה קוגניטיבית ולהיות 0.25 יחידות תקן מתחת לממוצע הקורס.

21. # כיוון שיחידות המדידה המקוריות מופיעות הן במונה והן במכנה – הן לא באות לידי ביטוי, אלא רק היחס ביניהן. כלומר, ציון התקן הוא ערך טהור, שאינו תלוי ביחידות המדידה הגולמיות. # לכן, בעזרת ציוני תקן נוכל להשוות ציונים הנמדדים על סקאלות שונות.

22. דוגמא: דני שוקל 50 ק"ג וגובהו 165 ס"מ. בהשוואה לשאר ילדי הכיתה האם הוא בולט יותר במשקלו או בגובהו ? ממוצע התפלגות הגבהים (X) 155, ס"ת 8 ממוצע התפלגות המשקלים (Y) היא 45, ס"ת 3 כלומר, יחסית לילדי הכיתה דני בולט יותר במשקלו בהשוואה לגובהו, כיוון שמשקלו סוטה ביותר יחידות תקן מעל הממוצע הכיתתי בהשוואה לסטייה בגובה.

23. המשך- ציוני תקן # ציון התקן בערך מוחלט מלמד על מידת המרחק בין הציון לבין הממוצע. # סימן ציון התקן, + או –, מלמד האם ציון הגלם גדול או קטן מהממוצע, בהתאמה. # המרת ציונים גולמיים לציוני תקן הנה טרנספורמציה ליניארית ולכן מתאימה רק למשתנים כמותיים מסולם רווח ומעלה. # ע"י המרת כל הציונים הגולמיים לציוני תקן נוכל ליצור התפלגות סטנדרטית – התפלגות ציוני תקן.

25. המשך- ציוני תקן # טרנספורמציה ליניארית מצליחה לשמר את המרווחים בין הערכים, אך לא את היחסים בין הערכים. # לכן, ציוני תקן הם בסולם רווח, אף אם הציונים הגולמיים הם בסולם מנה. # ממוצע ההתפלגות הסטנדרטית = 0.

26. המשך- ציוני תקן # שונות וס"ת ההתפלגות הסטנדרטית = 1.

27. טרנספורמציות על ציוני התקן: 1. הוספת קבוע ? 2. הכפלה בקבוע? הוספת קבוע לכל ציוני הגלם אין שינוי בציוני התקן. הכפלת כל ציוני הגלם בקבוע חיובי אין שינוי בציוני התקן הכפלת כל ציוני הגלם בקבוע שלילי היפוך סימני ציוני התקן

28. תרגילים: תרגיל 1:  במחקר לגבי אוכלוסיית השכירים נמצא: ממוצע השכר 1500 ש"ח עם סטיית תקן 400. ממוצע שנות הלימוד 11.8 שנים עם סטיית תקן 3. שכיר מסוים משתכר 1700 שקלים ולמד 15 שנה. באיזה משתנה מצבו היחסי של השכיר גבוה יותר? פתרון 1: ציון התקן בשכר הינו 0.5. בשנות-לימוד ציון התקן הינו 1.067. אי לכך, מצבו היחסי גבוה יותר בשנות לימוד.

29. 2. ציון התקן של סטודנט במבחן במבוא לסטטיסטיקה הוא Z=+1.2, ואילו ציון התקן שלו במבחן במבוא לסוציולוגיה הוא Z=+2. האם ציונו המקורי במבחן בסוציולוגיה בהכרח גבוה יותר מציונו במבחן בסטטיסטיקה? פתרון 2: לא בהכרח. הדבר תלוי בממוצע הגולמי ובסטיית התקן הגולמית בשני המקצועות.

30. 3.לפניכם נתונים על היקף רגליהם של חייזרים שהגיעו לארץ: 29, 30, 33, 33, 36, 37. א.חשבו לסדרה זו את ציוני התקן. ב.חשבו את הממוצע וסטיית התקן של ציוני התקן. פתרון 3: א.-1.38, -1.04, 0, 0, +1.04, +1.38. ממוצע = 0, ס.ת = 1

31. 4. על מנת להתקבל לאוניברסיטה מסוימת על המועמדים לעבור מבחן כניסה. הקבלה לפקולטות השונות מותנית בגובה ציון התקן. ממוצע הציונים במבחן הוא 70 וסטיית התקן 10. לפקולטה לרפואה יתקבלו רק מועמדים שהשיגו מעל 2=Z ללימודי פסיכולוגיה יתקבלו רק מועמדים שהשיגו מעל 1=Z הישג של מעל -1 = Z מאפשר קבלה לפקולטות האחרות. א.דינה קבלה 89. האם תתקבל לרפואה? ב.מהו הציון הגולמי הנמוך ביותר הנדרש כדי להתקבל לפסיכולוגיה ? תחת איזה ציון אי אפשר להתקבל לאף פקולטה ? פתרון 4: א.דינה לא תתקבל לרפואה: 1.9 = Z ב.80 = 10+70 60 = -10+70 .

32. 5. סטודנט נבחן בשלוש בחינות: מתמטיקה, אנגלית וספרות. להלן ציוני הסטודנט, ממוצעי הכיתות וסטיות התקן: באיזה מקצוע מדורג הסטודנט במקום היחסי הגבוה ביותר ובאיזה בנמוך ביותר ? פתרון 5: הסטודנט מדורג יחסית במקום הגבוה ביותר בספרות (2 = Z), ובמקום היחסי הנמוך ביותר באנגלית (0.83 = Z). במתמטיקה מקומו היחסי בין שני המקצועות האחרים (1.5 = Z).

33. 6. ראובן קיבל בבחינה בסטטיסטיקה 83 וציון התקן שלו 1.8. ידוע כי סטית התקן של הציונים בסטטיסטיקה היא 5. א.מהו ממוצע ההתפלגות? ציון התקן של שמעון בבחינה היה -1.3. כמה קיבל בבחינה ?   פתרון 6: א.ממוצע ההתפלגות: 74 ציון הגלם של שמעון בבחינה: 67.5  

34. ההתפלגות הנורמלית- Normal Distribution מכונה גם התפלגות גאוסיאנית (על שמו של Gauss) או התפלגות פעמונית בשל צורתה. תכונות נוספות : • סימטרית. • חד-שיאית / שכיחית. • שכיחות ערכי המשתנה במרכז ההתפלגות היא הגבוהה ביותר. • ככל שמתרחקים ממרכז ההתפלגות שכיחות ערכי המשתנה הולכת וקטנה, אבל אינה מגיעה ל-0. • אסימפטוטית לציר ה- X (גבולותיה בין + ל- -). • כלל השטח תחת העקומה = 1 (100% מהמקרים). • הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים בציר הסימטרייה. 8. עקומה רציפה.

35. המשך התפלגויות נורמאליות תלויות ב- 2 פרמטרים, המבדילים אותן זו מזו: • תוחלת האוכלוסייה – מיקום הפעמון, נקודת ציר הסימטרייה. • ס"ת האוכלוסייה – רוחב הפעמון (ערך חיובי בלבד). כלומר, זו משפחה של התפלגויות, כאשר לכל התפלגות ישנה ס"ת וממוצע (וחציון ושכיח) שונים. קיימים תנאים מינימליים של מידת "הכיפתיות" והסימטרייה של העקומה ע"מ שתיחשב התפלגות נורמלית.

36. המשך Skewness–מדד לבחינת הסימטריות/א-סימטריות של ההתפלגות: כאשר ההתפלגות היא התפלגות נורמלית, ערך ה –skewness יהיה 0. התפלגות שאינה נורמלית יכולה להיות ימנית חיובית, או שמאלית שלילית. ככל שהערך גדול יותר, ובעיקר כאשר הוא גדול מ- 1, זוהי אינדיקציה שההתפלגות שונה מהתפלגות נורמלית והיא ימנית או שמאלית. Kurtosis–מדד לבחינת הפיזור סביב הממוצע: האם ההתפלגות הומוגנית ומרוכזת סביב הממוצע, או האם היא הטרוגנית ושטוחה יותר. עבור התפלגות נורמלית, ערך ה –kurtosis יהיה 0. ערך חיובי מראה כי להתפלגות יש זנבות ארוכים יותר מהתפלגות הנורמלית והיא שטוחה והטרוגנית יותר; ערך שלילי של ה–kurtosis מוכיח כי להתפלגות יש זנבות קצרים יותר מאשר להתפלגות הנורמלית וזוהי התפלגות הומוגנית יותר שמרוכזת סביב הממוצע. אין צורך לחשב!

37. דוג' : התפלגויות2, 3 – דומות במדדי המרכז, אך שונות בפיזור. התפלגויות 1, 4 – דומות בפיזור, אך שונות במדדי המרכז.

38. סימון זה פירושו – המשתנה X מתפלג נורמאלית והפרמטרים שלו הם ו- . • עקומת ההתפלגות הנורמאלית ניתנת לתיאור בעזרת פונקצית הצפיפות של ההתפלגות הנורמאלית:

39. המשך- התפלגות נורמלית: • זו התפלגות תיאורטית. • התפלגויות שכיחויות של תכונות רבות בטבע שואפות להתפלגות הנורמלית התיאורטית, וניתן לאפיינן בקירוב ע"י תכונות ההתפלגות הנורמלית. • למשל: תכונות כמו- משקל, גובה, אינטליגנציה ועוד.

40. התפלגות נורמאלית סטנדרטית # המרת ציונים גולמיים של התפלגויות נורמאליות שונות לציוני תקן יוצרת התפלגות אחת של ציוני תקן, המכונה "התפלגות נורמאלית סטנדרטית" או "התפלגות Z". (נקבל התפלגות נורמלית של ציוני תקן). # כמו בכל התפלגות של ציוני תקן, הממוצע = 0 וס"ת = 1. # השטח מתחת לעקומה הנורמאלית סטנדרטית מחולק לתחומים ידועים (מס' סטיות תקן שלמות מעל או מתחת לממוצע), המייצגים כל אחד את ההסתברות לקבלת ערכים בתחום.

41. # לכל ציון תקן ניתן להתאים אחוזון. למשל, ס"ת 1- היא בקירוב האחוזון ה- 16, בעוד סטית תקן 1+ היא בקירוב האחוזון ה- 84.

42. לוח Z • כאשר נרצה למצוא הסתברויות לקבלת ערכים בתחומים שאינם נופלים על סטיות תקן שלמות, נשתמש בלוח Z. בין אחוזון לציון Z: התפלגות Z יוצרת קשר קבוע בין אחוזונים לערכי z. כלומר, ניתן להתאים לכל ציון תקן את האחוזון בו הוא נמצא. לוח z מאפשר לנו לחשב איזה פרופורציה מהמקרים נמצאת בין ציוני z שונים. תרגול!

43. תרגיל 1 1 בהתפלגות נורמלית נתונה מצאו את ההסתברות לכך שערכו של Z יהיה גבוה מ- 1.82- :          א.         0.9656           ב.         0.0344           ג.          0.0344-           ד.         0.4656

44. 1.התשובה הנכונה היא א'. נתונה התפלגות נורמלית. ראשית נבדוק איזה שטח אנו צריכים למצוא: אנחנו צריכים למצוא את ההסתברות ש- Z יהיה גבוה מ -1.82-. (השטח המקווקו שמימין ל -1.82-). מכיוון שזו התפלגות נורמלית נשתמש בטבלת Z: אך בטבלת Z מופיעים רק Z חיוביים. נשתמש בתכונת הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית, ונראה שהשטח בהתפלגות שמעל 1.82-=Z זהה לשטח ההתפלגות שמתחת ל 1.82=Z. שטח זה הוא השטח המופיע בטבלת Z: עד Z=1.82 יש 96.56% מערכי ההתפלגות. כלומר ההסתברות לכך שערכו של Z יהיה מתחת ל 1.82 (שווה להסתברות לכך שערכו של Z יהיה מעל 1.82-) היא 0.9656. (זו בעצם ההסתברות שיהיו בהתפלגות ערכים שציון התקן שלהם גדול מ 1.82-).

45. תרגיל 2: 1.ציוני IQ מתפלגים נורמלית עם ממוצע 100 וסטיית תקן 15. במדגם אקראי של 9000 נבדקים לכמה אנשים בקירוב יהיו ציוני IQ הנעים בין 85 לבין 120?          א.         3674           ב.         750           ג.          6143           ד.         6746. • תשובה: • ד'.

46. תרגיל 3: 1.ביישוב מסוים נמדד הזמן הדרוש לתושבים כדי להגיע למקלט מרגע השמעת האזעקה. נמצא כי זמן זה מתפלג נורמלית עם ממוצע 110 ועם סטיית תקן של 30 שניות. מה אחוז התושבים שיידרש להם:          א.         למעלה מ-120 שניות כדי להגיע למקלט?           ב.         למעלה מ-180 שניות כדי להגיע למקלט?           ג.          בין 120 ל-180 שניות כדי להגיע למקלט?           ד.         בין דקה אחת לשתי דקות כדי להגיע למקלט?          ה.         אם ייפול טיל כעבור 150 שניות מרגע השמעת האזעקה, מה אחוז התושבים שלא ימצאו מקלט בעת נפילת טיל?

47. שאלה 4: 1.מהו התחום, בציוני תקן, שבתוכו נמצאים:          א.         20% המרכזיים של האוכלוסייה           ב.         25% הנמוכים ביותר באוכלוסייה           ג.          10% הגבוהים ביותר           ד.         30% מסביב לנקודה שהיא ציון תקן 0.5.          ה.         20% מעל הממוצע ו-30% מתחת לממוצע

48. תשובה 4: א.20% המרכזיים הם 10% מעל הממוצע ו-10% מתחת לממוצע. לפי לוח z, ציון z שעד אליו מתפלגים 60% (50% עד הממוצע ועוד 10% מעל הממוצע) הוא z=0.25 התשובה היא z=±0.25. התחום שבו נמצאים 20 האחוזים המרכזיים הוא 0.25>Z> 0.25-. ב.כדי למצוא את ציון התקן 25% הנמוכים ביותר באוכלוסייה יש לחפש בלוח z את ציון התקן שעד אליו מתפלגים 75% מהמקרים: z=0.67. ציון התקן שעד אליו מתפלגים 25% מהמקרים הוא z=-0.67. התחום הוא Z< 0.67-. ג.כדי למצוא את ציון התקן שעד אליו מתפלגים 10% הגבוהים ביותר, יש למצוא את בלוח z את ציון התקן שעד אליו מתפלגים 90% מהמקרים: z=1.28. התחום בו נמצאים ה- 10% הגבוהים הוא Z>1.28. ד.כדי למצוא את ציוני התקן הדרושים, יש לחפש את השטח עד z=0.5 (.6915) ולהוסיף אליו 15% מצד שמאל ו-15 מצד ימין. השטח שאנו מחפשים מצד ימין הוא .6915+0.15=0.8415. ציון התקן התואם את השטח הזה הוא z=1 השטח שאנו מחפשים מצד שמאל ל- z=0.5 הוא 0.6915-0.15=0.5415 ציון התקן התואם את השטח הזה הוא z=0.1 התשובה היא 0.1<z< ה.השטח התואם 20% מעל הממוצע לפי לוח z הוא 50%+20%=70%. ציון התקן התואם לשטח זה הוא 0.52. כדי למצוא את ציון התקן התואם את השטח של 30% מתחת לממוצע, יש לחפש בלוח z את ציון התקן התואם את השטח 30%+50%=80% ציון התקן הוא z=0.84 כיוון שאנו מחפשים ציון תקן המצוי מתחת לממוצע, הציון הוא z=-0.84. התשובה היא -0.84<z<0.52

49. תרגיל 5, 6 5. במחלקה מסוימת מתפלגים ציוני שנה א' כך: X~N(74, 6). אם רוצים לקבוע ציון שיהיה תנאי מעבר לשנה ב', כך שרק 40% מהנבחנים יעברו, מה יהיה הציון? 6. באוכלוסייה בעלת התפלגות נורמלית ממוצע הציונים הוא -10 וסטיית התקן היא 10. מהו אחוז המקרים בעלי ציון חיובי?

50. פתרון 5, 6 1. 5.מחפשים את 40% העליונים. לצורך כך, יש לחפש בלוח זה את ציון התקן שעד אליו מתפלגים 60% מהמקרים: z=0.25 הציון יחושב כך: 2.  6.  יש לחשב את אחוז המקרים המצויים מעל סטיית תקן אחת (ציון 0 ומעלה): לצורך כך,בלוח z יש למצוא את השטח מתחת ל- z=1: 0.8413. חישוב אחוז המקרים מעל z=1: 1-0.8413=0.1587 .0.1587*100=15.87