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1. Métodos e Software Numéricos Resolução de Sistemas de Equações Lineares Prof.:José Eustáquio Rangel de Queiroz rangel@dsc.ufcg.edu.br rangeldequeiroz@gmail.com Carga Horária:60 horas

2. Considerações Iniciais I Sistemas Lineares - Forma Geral na qual: aijcoeficientes xiincógnitas

3. Sistemas Lineares - Exemplo 01 2,4,-5,4,1,-5,2,4e5 coeficientes x1,x2ex3 incógnitas Considerações Iniciais II

4. Considerações Iniciais III Matriz de coeficientes Vetor de variáveis (incógnitas) Vetor de termos independentes Ax = b Sistemas Lineares -Forma Matricial na qual:

5. Sistemas Lineares - Exemplo 02 Forma Geral Forma Matricial Considerações Iniciais IV

6. Considerações Iniciais V Sistemas Lineares -Classificação I • ImpossívelNão possui solução • Exemplo 03

7. Considerações Iniciais VI Sistemas Lineares -Classificação II • Possível Possui 1 ou mais soluções • Determinado Solução única • Exemplo 04

8. Considerações Iniciais VII Sistemas Lineares -Classificação III • Possível Possui 1 ou mais soluções • IndeterminadoMais de uma solução • Exemplo 05

9. Considerações Iniciais VIII Sistemas Lineares -Classificação IV • Possível Possui 1 ou mais soluções • Homogêneo Termos independentes de todas as equações nulos • Vetor b=0 (admite pelo menos a solução conhecida como trivial xi=0) • Exemplo 06

10. Considerações Iniciais IX Sistemas Lineares -Sistemas Triangulares • Possibilidade de resolução de forma Retroativa • Superior

11. Considerações Iniciais X Sistemas Lineares -Sistemas Triangulares • Possibilidade de resolução de forma Retroativa • Inferior

12. Solução Retroativa I Sistemas Lineares -Exemplo 07 I • Dado o sistema: • Primeiro passo para sua resolução:

13. Solução Retroativa II Sistemas Lineares -Exemplo 07 II • Segundo passo: • Terceiro passo:

14. Solução Retroativa III • Sistemas Lineares -Exemplo 07 III • Último passo:

15. Métodos Numéricos I Diretos • Solução pode ser encontrada através de um número finito de passos • Método de Gauss • Método da Eliminação de Jordan • Fatoração LU

16. Métodos Numéricos II Iterativos • Solução a partir de uma seqüência de aproximaçõespara o valor do vetor solução x, até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida • Método de Gauss–Jacobi • Método de Gauss–Siedel

17. Métodos Numéricos III Diretos – Método de Gauss I • Propósito • Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangular; e • Resolução do sistema linear triangular de forma retroativa.

18. Métodos Numéricos IV Diretos – Método de Gauss II • Transformação do Sistema Linear • Troca da ordem das linhas; • Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo; • Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela própria com outra equação.

19. Métodos Numéricos V Diretos – Método de Gauss III • Passos do Método de Gauss I • Passo 0 • Construção da matriz aumentada Ab

20. Métodos Numéricos VI Diretos – Método de Gauss IV • Passos do Método de Gauss II • Passo 1 • Eliminação dos coeficientes dex1presentes nas linhas 2, 3, ..., n da matriz, i.e., a21= a31= ... = an1= 0 • a11 pivô da coluna • Substituição da linha 2,L2, pela combinação linear , sendo

21. Métodos Numéricos VII Diretos – Método de Gauss V • Passos do Método de Gauss III • Passo 1 • Substituição da linha 3,L3, pela combinação linear , sendo • Repetição do processo de substituição até a linha n

22. Métodos Numéricos VIII Diretos – Método de Gauss VI • Passos do Método de Gauss IV • Passo 1 • Observação Importante • Se algum elemento app= 0  Troca da linha p por outra linha k na qual akp≠ 0 • Inexistência de uma linha k que satisfaça a condição da troca  Inexistência de solução para o sistema linear

23. Métodos Numéricos IX Diretos – Método de Gauss VII • Passos do Método de Gauss V • Passo 2 • Eliminação dos coeficientes dex2presentes nas linhas 3, 4, ..., n da matriz, i.e., a32= a42= ... = an2= 0 • Eliminação dos coeficientes dex2presentes nas linhas 4, 5, ..., n da matriz, i.e., a43= a53= ... = an3= 0 • Repetição do processo até a eliminação dos coeficientes de xn

24. Métodos Numéricos X Diretos – Método de Gauss VIII • Resolução a partir de substituições recursivas I

25. Métodos Numéricos XI Diretos – Método de Gauss IX • Resolução a partir de substituições recursivas II • Generalização

26. Métodos Numéricos XII Método de Gauss - Exemplo 08 I • Resolver o sistema: • Construção da matriz aumentada Ab

27. Métodos Numéricos XIII Método de Gauss - Exemplo 08 II • Eliminação dos coeficientes dex1presentes nas linhas 2 e 3 da matriz, i.e., a21= a31= 0 • a11= 2  pivô da coluna • Substituição da linha 2,L2, pela combinação linear , sendo  e

28. Métodos Numéricos XIV Método de Gauss - Exemplo 08 III • Eliminação dos coeficientes dex1presentes nas linhas 2 e 3 da matriz, i.e., a21= a31= 0 • a11= 2  pivô da coluna • Substituição da linha 3,L3, pela combinação linear , sendo  e

29. Métodos Numéricos XV Método de Gauss - Exemplo 08 IV • Nova matriz aumentada • Eliminação do coeficiente dex2presente na linha 3 da matriz, i.e., a32= 0 • Substituição da linha 3,L3, pela combinação linear , sendo

30. Métodos Numéricos XVI Método de Gauss - Exemplo 08 V • Eliminação do coeficiente dex2presente na linha 3 da matriz, i.e., a32= 0 • Sendo , tem-se

31. Métodos Numéricos XVII Método de Gauss - Exemplo 08 VI • Nova matriz aumentada • Uso da solução retroativa

32. Métodos Numéricos XVIII Método de Gauss - Exemplo 08 VII • Ou, a partir da generalização (slide25)

33. Métodos Numéricos XIX Método de Gauss - Exercício 01 • Determinar uma solução para o sistema

34. Métodos Numéricos XX Método de Gauss – Considerações I • Casos Particulares • Diagonal da matriz de coeficientes com um dos elementos nulos • Sistema admite infinitas soluções   Quando a equação for 0xi = 0 • Sistema não admite soluções  Quando a equação for 0xi = bi, bi 0).

35. Métodos Numéricos XXI Método de Gauss – Considerações II • Custo computacional do algoritmo • Número de divisões ND = n • Número de somas • Número de multiplicações 

36. Métodos Numéricos XXII Método de Gauss – Considerações III • Síntese • Resolução em 2 etapas • Triangularização • Uso das três operações básicas que não alteram um sistema de equações lineares • Substituição Reversa • Determinação dos valores de x1 a xn em ordem inversa

37. Métodos Numéricos XXIII Método de Gauss – Considerações III • Algoritmo para Substituição Retroativa procedimento SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x); 1 xn bn=ann; 2 para i de n-1 até 1 passo -1 faça 3 SOMA  0; 4 para j de i+1 até n faça 5 SOMA  SOMA + aijx xj ; 6 fim-para; 7 xi (bi - SOMA)=aii; 8 fim-para; 9 retorne x; {Retorne o vetor solução} fim SubstituicaoRetroativa;

38. Métodos Numéricos XXIV Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Introdução • Semelhante ao Método da Eliminação de Gauss • Minimização da amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações • Escolha de um pivô  Elemento de maior módulo em cada coluna

39. Métodos Numéricos XXV Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 I • Resolver o sistema com uma precisão de 3 casas decimais

40. Métodos Numéricos XXVI Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 II • Matriz aumentada original • Matriz aumentada ajustada (maximização do primeiro pivô)

41. Métodos Numéricos XXVII Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 III • Sistema inalterado, elemento pivô 27 • Determinação das novas linhas L2 e L3 L2= L2 - m21.L1 = [1 4 52 57] – (1/27).[27 110 -3 134] L2 = [0 -0,07 52,1 52] L3= L3 - m31.L1 = [2221438] – (22/27).[27110-3134] L3 = [0 -87,6 16,5 -71]

42. Métodos Numéricos XXVIII Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 IV • Nova matriz aumentada • Matriz aumentada ajustada (maximização do segundo pivô)

43. Métodos Numéricos XXIX Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 V • Sistema inalterado, elemento pivô -87,6 • Determinação da nova linha L3 L3= L3 - m33.L2 = [0-0,0752,152] – (0,07/87,6).[0 -87,616,5-71] L3 = [0 0 52,087 52,057]

44. Métodos Numéricos XXX Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 VI • Nova matriz aumentada • Novo sistema

45. Métodos Numéricos XXXI Método de Gauss com Pivoteamento Parcial – Exemplo 09 VII • Valores das incógnitas x3= 52,057/52.087 = 0,999 x2= [-71 – 16,51,0]/(-87,6) = 0,999 x1= [134 – (-3)0,999 – 110.0,999]/27 = 1,004 • Solução muito próxima da solução exata (x1=1, x2=1 e x3=1)

46. Métodos Numéricos XXXII Método de Gauss-Jordan – Introdução I • Complementação ao Método da Eliminação de Gauss • Manipulação das equações do sistema, visando à obtenção de um sistema diagonal equivalente • Sistema diagonal Sistema no qual os elementos ij da matriz de coeficientes []nulos, para i≠j,i, j = 1,2,...,n.

47. Métodos Numéricos XXXIII Método de Gauss-Jordan – Introdução II • Propósito da obtenção do sistema diagonal I

48. Métodos Numéricos XXXIV Formal e genericamente: xi = i/ii Solução imediata do sistema Método de Gauss-Jordan – Introdução III • Propósito da obtenção do sistema diagonal II

49. Métodos Numéricos XXXV Método de Gauss-Jordan – Exemplo 10 I • Resolver o sistema • Matriz aumentada

50. Métodos Numéricos XXXVI Método de Gauss-Jordan – Exemplo 10 II • Passo 1 • Definição do 1º pivô  Elemento a11 = 3 • Substituição da linha 2 por , com L2= L2 - m21. L1 = [0 7/32/3 | 3] • Substituição da linha 3 por , com L3= L3 - m31. L1 = [0 2/37/3 | 3]