要点梳理 1. 直线与圆的位置关系位置关系有三种：、、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（ 1 ）代数法：（ 2 ）几何法 : 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径

§9.4 直线、圆的位置关系 基础知识自主学习要点梳理 1.直线与圆的位置关系位置关系有三种：、、. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：（2）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r 相离. 相离相切相交判别式 Δ=b2-4ac

2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 （1）几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. （2）代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

3.求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程 （1）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：. （2）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数法求解. 说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况. x0x+y0y=r2

4.圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r （r1＞0）, ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r2＞0),则有: |C1C2|＞r1+r2 ⊙C1与⊙C2 ; |C1C2|=r1+r2 ⊙C1与⊙C2 ; |r1-r2|＜|C1C2|＜r1+r2 ⊙C1与⊙C2 ； |C1C2|=|r1-r2|（r1≠r2）⊙C1与⊙C2 ； |C1C2|＜|r1-r2| ⊙C1与⊙C2 . 相离外切相交内切内含

基础自测 1.（2008·陕西）直线 x-y+m=0与圆x2+y2- 2x-2=0相切,则实数m等于（） A. 或- B.- 或3 C.-3 或 D.-3 或3 解析将圆x2+y2-2x-2=0化为标准方程得 +y2=3,直线与圆相切说明圆心到直线的距离等于半径,则有 ∴m=-3 或 . C (x-1)2

2.圆x2+y2-4x=0在点P（1, ）处的切线方程为（ ） A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析圆方程为（x-2）2+y2=4，圆心（2，0），半径为2，点P在圆上，设切线方程为y- =k(x-1), 即kx-y-k+ =0,∴ 解得k= ∴切线方程为y- (x-1),即x- y+2=0. D

3.（2009·陕西理，4）过原点且倾斜角为60°的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（） A. B.2 C. D.2 解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为 x-y=0, 圆x2+(y-2)2=4的圆心（0，2）到直线的距离为d= 因此弦长为 D

4.圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有（） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析 ⊙C1：（x+1）2+（y+1）2=4，圆心C1（-1，-1），半径r1=2. ⊙C2：（x-2）2+（y-1）2=4，圆心C2（2，1），半径r2=2. ∴|C1C2|= ，∴0＜|C1C2|＜r1+r2=4, ∴两圆相交，有两条公切线. B

5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1，则实数b= . 解析由已知可得，圆心到直线x-y-b=0的距离为3， ∴ =3，∴b=±3 .

题型分类深度剖析 题型一直线与圆的位置关系【例1】已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（m∈R）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

用配方法将圆的一般方程配成标准方程， 求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长. 思维启迪

（1）证明配方得：(x-3m)2+［y-（m-1）］2 =25，设圆心为（x，y），消去m得 x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上. （2）解设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为 ∵圆的半径为r=5， ∴当d＜r，即-5 -3<b<5 -3时，直线与圆相交；当d=r,即b=±5 -3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜-5 -3或b＞5 -3时，直线与圆相离.

（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离 d= 且r和d均为常量. ∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

探究提高判断直线与圆的位置关系可以看成它们探究提高判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断. 求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所得方程两根为x1、x2,则弦长d= ·|x1-x2|; 三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.

知能迁移1m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5. （1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直. 解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r= , 圆心到直线2x-y+m=0的距离 ∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即 ∴m＞5或m＜-5. 故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.

（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r2-d2=12，即5- =1. 得m=±2 , ∴当m=±2 时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d= ，即解得m=± 故当m=± 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.

题型二圆的切线及弦长问题 【例2】已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆 (x-1)2+(y-2)2=4. （1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值. 思维启迪

解（1）圆心C（1，2），半径为r=2, 当直线的斜率不存在时，方程为x=3. 由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时，直线与圆相切. 当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0. 由题意知解得k= . ∴方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.

（2）由题意有解得a=0或a= . （3）∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为解得a=- .

探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解.注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要充分运用圆的几何性质.探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解.注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要充分运用圆的几何性质.

知能迁移2已知点A（1，a），圆x2+y2=4. （1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2 ，求a的值. 解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故12+a2=4，∴a=± . 当a= 时,A（1，）,切线方程为x+ y-4=0；当a=- 时,A（1,- ）,切线方程为x- y-4=0， ∴a= 时，切线方程为x+ y-4=0, a=- 时，切线方程为x- y-4=0.

(2)设直线方程为x+y=b, 由于过点A，∴1+a=b，a=b-1. 又圆心到直线的距离d= ∴ +3=4，∴b=± ,∴a=± -1.

题型三圆与圆的位置关系 【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x- 12y+m=0. （1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 利用两圆的连心线的长与两圆半径之间的关系判断两圆的位置关系. 思维启迪

解两圆的标准方程为（x-1）2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为和 . （1）当两圆外切时，解得m=25+10 . （2）当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有 - =5，解得m=25-10 .

（3）两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即4x+3y-23=0, ∴公共弦长为应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定，从而确定切线的条数.求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可. 探究提高

知能迁移3 圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆 心O2（2，1）. （1）若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2 ，求圆O2的方程. 解（1）∵两圆外切， ∴|O1O2|=r1+r2，r2=|O1O2|-r1=2（ -1），故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( -1)2. 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 =0.

（2）设圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=r , ∵圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程： 4x+4y+r -8=0. ① 作O1H⊥AB，则|AH|= |AB|= ，O1H= ，由圆心（0，-1）到直线①的距离得得r =4或r =20, 故圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

题型四直线与圆的综合应用 【例4】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l与圆C：（x-2）2+(y-3)2=1相交于M、N 两点. （1）求实数k的取值范围；（2）求证： · 为定值；（3）若O为坐标原点，且 · =12,求k的值.

（1）由于直线与圆C相交于M、N两点， 故利用直线与圆相交的条件即可求得k的范围. （2） · =| |·| |cos 0° =| |·| |，故而想到切割线定理即可证得结论. （3） · =x1x2+y1y2，联想根与系数的关系即可解决. 思维启迪

（1）解方法一 ∵直线l过点A（0，1）且斜率 为k， ∴直线l的方程为y=kx+1. 2分将其代入圆C：（x-2）2+(y-3)2=1, 得（1+k2）x2-4(1+k)x+7=0. ① 由题意：Δ=［-4（1+k）］2-4×（1+k2）×7＞0，得 4分

方法二同方法一得直线方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0. 2分又圆心到直线距离d= 4分（2）证明设过A点的圆的切线为AT，T为切点，则|AT|2=|AM|·|AN|， |AT|2=（0-2）2+（1-3）2-1=7， ∴| |·| |=7. 6分根据向量的运算： · =| |·| |·cos 0°=7为定值. 8分

（3）解设M（x1，y1），N（x2，y2），则由①得 ∴ · =x1x2+y1y2 =（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 = ∴k=1（代入①检验符合题意）. 12分 10分

探究提高本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后探究提高本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键. 已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0. （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标. 知能迁移4

解（1）将圆C配方得（x+1）2+（y-2）2=2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx,由直线与圆相切得即k=2± ，从而切线方程为y=（2± ）x. ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y-a=0, 由直线与圆相切得x+y+1=0或x+y-3=0. （2）由|PO|=|PM|得x +y =(x1+1)2+(y1-2)2 -2 2x1-4y1+3=0.

即点P在直线l:2x-4y+3=0上，当|PM|取最小值时 即|OP|取得最小值，直线OP⊥l， ∴直线OP的方程为2x+y=0. 解方程组得P点坐标为

思想方法感悟提高 方法与技巧 1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：（1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程. （2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程.

2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长. 4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为 |PO|-r,最大值为|PO|+r（其中r为圆O的半径）.

失误与防范 1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算. 2.注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便.

定时检测 一、选择题 1.（2009·重庆理，1）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是（） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离解析圆心到直线的距离d= ∵d＜r且d≠0, ∴直线与圆相交但不过圆心. B

2.（2008·辽宁理，3）圆x2+y2=1与直线y=kx+2 没有公共点的充要条件是（） A.k∈(- , ) B.k∈(-∞,- )∪( ,+∞) C.k∈(- , ) D.k∈(-∞,- )∪( ,+∞) 解析圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），则O到直线y-kx-2=0的距离为由于直线和圆没有公共点，因此 ∴1+k2＜4,∴ ＜k＜. C

3.设O为坐标原点，C为圆（x-2）2+y2=3的圆心， 且圆上有一点M（x,y）满足 · =0，则等于（） A. B. C. D. 解析 ∵ · =0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线. 设OM的方程为y=kx,由得k=± ，即 =± . D

4.已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0 (k＞0)上一动 点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、 B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（） A. B. C.2 D.2

解析圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1, 圆心C（0，1），半径为1，∴|PC|2=|PA|2+1. 又S四边形PACB=2× ×|PA|×1=|PA|， ∴当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小. 又|PC|最小为C到直线kx+y+4=0的距离 ∴面积最小为2时，有22=  解得k=2（k＞0）. 答案D

5.过点（0，-1）作直线l与圆x2+y2-2x-4y-20=0交于 A、B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为（） A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0或y+1=0 D.3x-4y-4=0或y+1=0

解析圆：(x-1)2+(y-2)2=25,易知直线斜率存在， 设l:y+1=k(x-0)，即kx-y-1=0，圆心（1，2）到l的距离d= 由 +42=52,得4k2+3k=0, ∴k=0或k=- ，当k=0时，l:y=-1; 当k=- 时，l:3x+4y+4=0. 答案C

6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且 | +|=| - |,其中O 为坐标原点，则实数a的值为（） A.2 B.±2 C.-2 D.± 解析如图，作平行四边形OADB，则+=， - = ， ∴| |=| |. 又| |=| |， ∴四边形OADB为正方形，易知| |为直线在y轴上的截距的绝对值，∴a=±2. B

二、填空题 7.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的取值范围是. 解析圆心（0,0）到直线的距离 ∴a2+b2=1.∴|ab|≤

8.（2009·四川理，14）若⊙O：x2+y2=5与⊙O1: (x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是. 解析如图所示，在Rt△OO1A中， OA= ，O1A=2 ，∴OO1=5， ∴AC= ∴AB=4. 4

9.（2009·天津理，14）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ 2ay-6=0(a＞0)的公共弦的长为2 ,则a=. 解析x2+y2+2ay=6,x2+y2=4，两式相减得y= . 联立消去y得x2= (a＞0). ∴ 解得a=1. 1

三、解答题 10.自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切，求光线l所在直线的方程. 解已知圆（x-2）2+(y-2)2=1关于x轴的对称圆C′的方程为（x-2）2+(y+2)2=1,如图所示. 可设光线l所在直线方程为 y-3=k(x+3)，

要点梳理 1. 直线与圆的位置关系 位置关系有三种： 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： （ 1 ）代数法： （ 2 ）几何法 : 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径