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相似形與 SSS 相似性質

A 1. B 1. A. B. D. D 1. C. C 1. DA. AB. BC. CD. A 1 B 1. C 1 D 1. B 1 C 1. D 1 A 1. 相似形與 SSS 相似性質. 在國一「放大圖與縮小圖」的單元中，我們知道放大圖或縮小圖與原圖之間，有什麼的關係呢？. 對應角相等 且 對應邊成比例 的關係。. 四邊形 A 1 B 1 C 1 D 1 為四邊形 ABCD 的 2 倍放大圖時，可知兩圖形的 對應角相等 ， 即. ∠A ＝ ∠ A 1 ，∠ B ＝ ∠ B 1 ， ∠ C ＝ ∠ C 1 ， ∠ D ＝ ∠ D 1.

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相似形與 SSS 相似性質

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Presentation Transcript

  1. 相似形與比例線段 A1 B1 A B D D1 C C1 DA AB BC CD A1B1 C1D1 B1C1 D1A1 相似形與SSS相似性質 在國一「放大圖與縮小圖」的單元中，我們知道放大圖或縮小圖與原圖之間，有什麼的關係呢？ 對應角相等且對應邊成比例的關係。 四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖時，可知兩圖形的對應角相等，即 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1 且對應邊成比例 AB：A1B1＝BC：B1C1＝CD：C1D1＝DA：D1A1 或 ＝ ＝ ＝

  2. 相似形與比例線段 動動腦 上述例題中，A1B1：AB的比值是多少？ 2 像上面四邊形的例子，如果兩個多邊形，它們的對應角相等且對應邊成比例，我們說這兩個多邊形相似，並已符號「～」表示相似關係。 因此上述例子可以記成 四邊形ABCD～四邊形A1B1C1D1

  3. 相似形與比例線段 例題1 已知四邊形ABCD～四邊形PQRS，且∠P是∠A的對應角，∠Q＝760，∠R＝640，∠S＝1000，則∠A是幾度？ Sol ∵相似形的對應角相等， ∴∠A＝∠P ＝3600－∠Q－∠R－∠S (四邊形內角和為3600) ＝3600－760－640－1000 ＝1200

  4. 相似形與比例線段 堂 練 習 隨 D A C B S P 5 AD AD AB 8 PS 6 PQ 30 15 R Q 8 4 已知四邊形ABCD～四邊形PQRS，且PQ是AB的對應邊，PS是AD的對應邊。若PQ＝8cm，PS＝6cm，AB＝5cm，則AD＝？ Sol ∵四邊形ABCD～四邊形PQRS ∴對應邊成比例 5 ∴ ＝ 6 ＝ 8 8×AD＝30 ∴ AD＝ ＝ （cm）

  5. 相似形與比例線段 例題2 兩個正方形是否一定相似？ Sol a 設兩個正方形的邊長分別為 a單位與 b單位 ∵四組對應邊的比均為 a：b ∴它們的對應邊成比例 又四組對應角均為900，也相等 b 所以兩個正方形一定相似

  6. 相似形與比例線段 堂 練 習 隨 兩個長方形是否一定相似？兩個菱形是否一定相似？兩個正三角形是否一定相似？ Sol 兩個長方形其對應角均為900相等，但是對應邊不成比例，所以不一定相似。 3 5 2 2 兩個菱角其四組對應邊成比例，但是其對應角不一定相等，所以不一定相似。 2 1 兩個正三角形其對應角均為600，而且三組對應邊成比例，所以一定相似。 2 1

  7. 相似形與比例線段 練習心得 當兩個四邊形的對應角都相等時，並不能確定它們的對應邊都成比例。 (如兩個長方形不一定相似) 當兩個四邊形的對應邊都成比例時，也不能確定它們的對應角都相等。 (如兩個菱形不一定相似) 也就是說，要檢查兩個四邊形是否相似，哪兩個條件是不可省略其一的？ 「對應角都相等」與「對應邊都成比例」 事實上，我們要檢查兩個邊數相同的多邊形是否相似時，也必須符合 「對應角都相等」與「對應邊都成比例」

  8. 相似形與比例線段 堂 練 習 隨 1.小梅設計一個方向指示牌，如右圖的五邊形ABCDE，其中∠A、∠B均為直角，後來覺得太長而裁掉矩形ABQP的部分，剩下五邊形PQCDE，請問： P E A D B C Q (1)五邊形ABCDE與五邊形PQCDE的對應角是否相等？ 相等 (2)五邊形ABCDE與五邊形PQCDE的對應邊是否成比例？ 不成比例 (3)五邊形ABCDE與五邊形PQCDE是否相似？ 不相似 2.兩個正五邊形是否一定相似？ ∵「對應角相等」且「對應邊成比例」，∴兩個正五邊形一定相似。

  9. 相似形與比例線段 那麼檢查兩個三角形是否相似，是不是也要同時檢查上述兩組條件呢？ 我們在「放大圖與縮小圖」的單元中曾由實測的方式知道，當兩個三角形的三組邊對應成比例時，這兩個三角形的三組對應角也會相等；也就是說， 當兩個三角形有三組邊對應成比例時，這兩個三角形就相似。 一般把這個性質稱為SSS相似性質。 因此要檢查兩個三角形是否相似，可省略對應角的檢查，只要看看它們三組邊是否對應成比例即可。 P A B Q C R △ABC～△PQR (SSS相似)

  10. 相似形與比例線段 A 堂 練 習 隨 B C 2cm 2.4cm 1.6cm 1.5cm 2cm 1.7cm 2.8cm 7 5 cm cm 3 3 60 40 30 36 24 18 1.8cm 1.5cm 1.請勾選出與△ABC相似的三角形。 2.1cm (3) □ (2) □ ˇ (1) □ ˇ 2.已知△ABC的三邊長分別為18mm、36mm、24mm，而△DEF的三邊長分別為3cm、4cm、6cm，則△ABC與△DEF是否相似？為什麼？ ∴相似，根據SSS相似性質 ＝ ∵ ＝

  11. 相似形與比例線段 如果兩個三角形的三組對應角相等，是否可推知這兩個三角形的三組邊也會對應成比例呢？ 我們將會在下一章節討論這個問題。 探索活動 平行線截比例線段 1.已知△ABC與△DEF的三組對應角相等(∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F) ，將一組相等的對應角∠A、∠D如下圖疊合後，這組角所對的邊線段BC與線段EF是否平行呢？為什麼？ D A A 平行。 ∵在疊合圖中∠ABC與∠DEF兩同位角相等∴BC//EF B C B E C F

  12. D 相似形與比例線段 A A B E B C C F 2.將∠B、∠E仿照上面的方式疊合後，這組角所對的邊AC與DF是否平行呢？ 平行 D A A B E B C C F 2.將∠C、∠F仿照上面的方式疊合後，這組角所對的邊AB與DE是否平行呢？ 平行

  13. 相似形與比例線段 由上面的探索活動可知， 當兩個三角形的三組對應角相等時，可疊合任意一組相等的對應角，形成如下圖中PQ、BC兩邊平行的圖形。 A × ˇ P Q ● ˇ C ● B 因此我們要探討「兩個三角形有三組對應角相等時，三組邊是否也會對應成比例」的問題時， 直接探討如上圖中，PQ//BC的兩個三角形(△ABC與△APQ) ，其對應邊長的比例即可。

  14. 相似形與比例線段 隨堂練習 D A 已知△ABC與△DEF如右圖。 600 600 620 580 C B 620 580 (1)若將兩個三角形如右圖疊合，此時BC與EF是否平行？ E F D 是 A C B E F D (2)若將兩個三角形如右圖疊合，此時BC與EF是否平行？ A 否 C B 不能單就直觀來判斷兩線段是否平行，要注意對應角的位置。 E F

  15. 相似形與比例線段 ＝ ×BD×AH： ×DC×AH A ＝ ×3×4： ×5×4 1 1 1 1 2 2 2 2 B H D 我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的關係。 例題3 △ABC中，AH⊥BC於H，D在BC上，且BD＝3，DC＝5，AH＝4，則△ABD與△ADC的面積比是多少？ A Sol △ABD的面積：△ADC的面積 B C H D A ＝3：5 C H D BD：DC也是3：5

  16. 相似形與比例線段 A C H D A ＝ah：bh 1 1 2 2 B H D 在例題3中，△ABD與△ADC分別以BD、DC為底時，有相同的高AH，此時兩個三角形的面積比等於BD：DC(底邊比) 。 而這是否表示任意兩個等高的三角形，其面積比會等於底邊的比呢？ 數學上，由特殊性推導出一般性 乙 甲 甲的面積：乙的面積 h h a b ＝a：b (底邊比) 由此可見，等高三角形的面積比等於其底邊的比。

  17. 我們利用「等高三角形的面積比等於底邊比」的關係，來討論線段長度比的問題。我們利用「等高三角形的面積比等於底邊比」的關係，來討論線段長度比的問題。 相似形與比例線段 A H D C B A ∴比值＝ ∴比值＝ D B 2 4 3 7 C 隨堂練習 1.如右圖，若△ADC的面積是12平方單位，△ABC的面積是18平方單位，且CH⊥AB於H，則AD：DB與AD：AB的比值各是多少？ △CDB面積＝△ABC面積－△ADC面積 ＝18－12＝6 (平方單位) ∴AD：DB＝12：6＝2：1 ∴比值＝2 ∴AD：AB＝12：18＝2：3 2.如右圖，已知AD：DC＝4：3，則△ABD與△ABC面積的比值為何？ △ABD面積：ABC面積＝AD：AC ＝AD： (AD＋DC) ＝4：7

  18. 相似形與比例線段 討論問題 A 如右圖，已知PQ//BC，連接PC、BQ後，請問： Q P (1) △PQB的面積與△PQC的面積是否相等？為什麼？ B C ∵△PQB與△PQC同底等高 ∴面積相等 PC、BQ 稱為「輔助線」 (2)AP：PB和△APQ面積：△PQB面積是否相等？為什麼？ ∵等高的三角形面積比等於底邊的比 ∴AP：PB＝△APQ面積：△PQB面積 (3)AQ：QC和△APQ面積：△PQC面積是否相等？為什麼？ ∵等高的三角形面積比等於底邊的比 ∴AQ：QC＝△APQ面積：△PQC面積 (4)由上面三個問題的結果，是否可知AP：PB與AQ：QC相等？為什麼？

  19. 相似形與比例線段 A Q P B C (4)由上面三個問題的結果，是否可知AP：PB與AQ：QC相等？為什麼？ ∵AP：PB＝△APQ面積：△PQB面積 ∵AQ：QC＝△APQ面積：△PQC面積 且△PQB面積＝△PQC面積 ∴ △APQ面積：△PQB面積＝ △APQ面積：△PQC面積 ∴AP：PB＝AQ：QC ＃

  20. 相似形與比例線段 A Q P B C 我們可以把以上所討論的問題與結果，整理為數學推理證明的方式。 已知：右圖△ABC中，PQ//BC，且分別交AB、AC兩邊於P、Q兩點。 求證：AP：PB＝AQ：QC 證明 ∵PQ//BC ∴△PQB與△PQC以PQ為底時有等高。(平行線間距離相等) ∴△PQB面積＝△PQC面積 (同底等高) 又△APQ面積：△PQB面積＝AP：PB (同高) △APQ面積：△PQC面積＝AQ：QC (同高) ∴△APQ面積：△PQB面積＝△APQ面積：△PQC面積 ∴AP：PB＝AQ：QC ＃

  21. 相似形與比例線段 A Q P B C 我們可以進一步將討論及證明中，思考與推理的步驟說明如下： 平行線間距離相等 △PQB與△PQC有等高 PQ//BC 同底等高 △PQB與△PQC等面積 等高的三角形面積比等於底邊比 AP：PB＝AQ：QC 透過上面的討論，我們發現 「三角形內平行一邊的直線截另兩邊成比例線段」

  22. 相似形與比例線段 A Q P B C 動動腦 在討論問題中，我們已知△PQB與△PQC的面積會相等，請問： (1) △ABQ與△ACP的面積是否相等？為什麼？ ∵△PQB面積＝△PQC面積 ∴ △PQB面積＋△APQ面積＝△PQC面積＋△APQ面積 (等量加法公理) ∴△ABQ面積＝△ACP面積 ＃ (2)AP：AB與AQ：AC是否相等？為什麼？

  23. 相似形與比例線段 A Q P B C (2)AP：AB與AQ：AC是否相等？為什麼？ ∵AP：AB＝△APQ面積：△ABQ面積 AQ：AC＝△APQ面積：△ACP面積 (等高的三角形面積比等於底邊的比) 又 △ABQ面積＝△ACP面積 ∴ △APQ面積：△ABQ面積＝ △APQ面積：△ACP面積 ∴ AP：AB＝ AQ：AC ＃ 「三角形內平行一邊的直線截另兩邊成比例線段」 (1) AP：PB＝AQ：QC (2) AP：AB＝AQ：AC

  24. 相似形與比例線段 21 2 例題4 右圖△ABC中，PQ//BC，且AP＝12cm，PB＝7cm，AQ＝18cm，則QC的長是多少？ 18 A Q Sol 12 C ∵△ABC中，PQ//BC P ∴ AP：PB＝AQ：QC 7 B ∴ 12：7＝18：QC (比例式的內項乘積等於外項乘積) 12×QC＝7×18 QC＝ (cm) ＃

  25. 相似形與比例線段 隨堂練習 右圖△ABC中，PQ//AB，且CP：PA＝7：9，若BC＝32cm，則QC的長是多少？ A 9 ： Sol 7 P ∵CP：PA＝7：9 ∴CP：(CP＋PA)＝7：(7＋9) C ∴CP：CA＝7：16 Q B ∵ 在△ABC中，PQ//AB 32 ∴CQ：CB＝CP：CA ∴CQ：32＝7：16 16×CQ＝7×32 ∴CQ＝14 ＃

  26. 相似形與比例線段 如果將以上的發現反過來說是否也成立呢？ 也就是說， 當一直線截三角形的兩邊成比例線段時，此截線是否會平行於三角形的第三邊？ 我們將利用以下的討論活動來探討這問題。 討論問題 如圖△ABC中，AP：PB＝AQ：QC，且BD和CE分別垂直直線PQ於D、E兩點，請問： A (1) △PQB與△PQC的面積是否相等？為什麼？ Q D E P B C 返回

  27. 相似形與比例線段 A Q D E P B C (1) △PQB與△PQC的面積是否相等？為什麼？ 上一張 ∵△APQ面積：△PQB面積 ＝AP：PB ∵△APQ面積：△PQC面積 ＝AQ：QC (等高的三角形面積比等於底邊的比) 又 AP：PB＝AQ：QC (已知) ∴ △APQ面積：△PQB面積＝ △APQ面積：△PQC面積 ∴ △PQB面積＝ △PQC面積 ＃

  28. 相似形與比例線段 A Q D E P B C (2) BD與CE是否相等？為什麼？ ∵△PQB面積＝△PQC面積 ∴ PQ×BD÷2＝PQ×CE÷2 ∴ BD＝CE ＃ (3) PQ與BC是否平行？為什麼？ ∵ BD⊥DE且CE⊥DE ∴BD//CE 又 BD＝CE (已證) ∴四邊形BCED為平行四邊形 (一組對邊平行且等長) ∴PQ//BC ＃

  29. 相似形與比例線段 A Q D E P B C 我們可以把以上所討論的問題與結果，整理為數學推理證明的方式。 已知：右圖△ABC中，AP：PB＝AQ：QC， 且BD和CE分別垂直直線PQ於D、E兩點。 求證：PQ//BC 證明： ∵△APQ面積：△PQB面積＝AP：PB ∵ BD⊥DE且CE⊥DE △APQ面積：△PQC面積＝AQ：QC ∴BD//CE (等高的三角形面積比等於底邊的比) ∴四邊形BCED為平行四邊形 又 AP：PB＝AQ：QC (已知) ∴PQ//BC ＃ ∴ △APQ面積：△PQB面積＝ △APQ面積：△PQC面積 ∴ △PQB面積＝ △PQC面積 ∴ BD＝CE ∴ PQ×BD÷2＝PQ×CE÷2

  30. 相似形與比例線段 A Q P C B 由上面的討論中，我們發現 「當一直線截三角形的兩邊成比例線段時，此直線平行於三角形的第三邊」 若AP：PB＝AQ：QC，則 PQ//BC。 動動腦 如果只將已知AP：PB＝AQ：QC改為AP：AB＝AQ：AC，其餘的條件均不變，則PQ與BC是否平行？ 我們可以將此問題以幾何推理證明方式來說明。

  31. 相似形與比例線段 A P Q C B 已知：右圖△ABC中，AP：AB＝AQ：AC， 且BD和CE分別垂直直線PQ於D、E兩點。 D 求證：PQ//BC E 連接BQ、CP 證明： ∵△APQ面積：△ABQ面積＝AP：AB △APQ面積：△ACP面積＝AQ：AC (等高的三角形面積比等於底邊的比) 又∵ AP：AB＝AQ：AC ∴ △APQ面積：△ABQ面積＝ △APQ面積：△ACP面積 ∴ △ABQ面積＝ △ACP面積 △ABQ面積－ △APQ面積＝ △ACP面積－△APQ面積 ∴ △PQB面積＝△PQC面積 ∴ BD＝CE 又∵ BD⊥DE且CE⊥DE ∴BD//CE ∴四邊形BCED為平行四邊形 ∴PQ//BC ＃

  32. 相似形與比例線段 A P B Q C 例題5 右圖△ABC中，已知AB＝12cm，AC＝9cm，在AB上取一點P，使AP＝8cm；在AC上取一點Q，使AQ＝6cm。連接PQ，請問PQ與BC是否平行？ Sol 方法一 ＝ 8：4 ＝2：1 12 ∵ AP：PB＝8：(12－8) 8 且 AQ：QC＝6：(9－6) ＝ 6：3 ＝2：1 6 ∴ AP：PB＝AQ：QC 9 ∴ PQ//BC ＃ 方法二 ＝ 2：3 ∵AP：AB＝8：12 且AQ：AC＝6：9 ＝ 2：3 ∴ AP：AB＝AQ：AC ∴PQ//BC ＃

  33. 相似形與比例線段 隨堂練習 右圖△ABC中，AP：PB＝9：11，且AC＝40cm，QC＝22cm，則PQ與BC是否平行？ C Sol AQ＝AC－QC Q ＝40－22 ＝18 A ∴ AQ：QC＝18：22 ＝9：11 P B ∴ AQ：QC＝AP：PB ∴ PQ//BC ＃

  34. 相似形與比例線段 A Q P C B A A Q Q P P C B C B 由以上的討論與探討的結果可知 在左圖△ABC中， (1)若PQ//BC，可知 AP：PB＝AQ：QC 或 AP：AB＝AQ：AC 反過來說， PQ//BC (2)若AP：PB＝AQ：QC 或 AP：AB＝AQ：AC 均可知 PQ//BC 這個現象對任意的三角形都成立，一般將此幾何特性稱為 AP：PB＝AQ：QC AP：AB＝AQ：AC 平行線截比例線段性質

  35. 相似形與比例線段 例題6 已知一線段AB，請用尺規依下面作法，在AB上找出一點C，使得AC：CB＝2：3。 M 利用平行線截比例線段性質 B A C 作法： P1 (1)過A點任意作一直線L。 P2 (2)在L上依序取P1~P5五點，使得AP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 P3 P4 (3)連接P5B P5 L (4)以P2為頂點，AP2為一邊作∠AP2M＝∠AP5B，且P2M與P5B在L的同側。 (5)將直線P2M與AB的交點記為C，則C點即為所求。

  36. 相似形與比例線段 M B A C P1 P2 P3 P4 P5 L 動動腦 如右圖所做出的圖形中， (1) AP2：P2P5＝？ 2：3 (2)AC：CB與AP2：P2P5是否相等？為什麼？ ∵ 在△ABP5中，P2C//P5B ∴ AC：CB＝AP2：P2P5 (平行線截比例線段)

  37. 相似形與比例線段 D A F E C B 自我評量 1.右圖四邊形ABCD為梯形，且EF分別與AD、BC兩底平行，則下列敘述哪些是正確？ (A)四邊形AEFD與ABCD的內角會對應相等。 (B)四邊形AEFD～四邊形ABCD (C)四邊形AEFD與EBCF的內角會對應相等 (D)四邊形AEFD～四邊形EBCF (A) 、(C) ∵對應邊都不成比例 ∴四邊形不相似

  38. 相似形與比例線段 C A B 2.已知△ABC如右圖，請用尺規依下面作法完成剩下的步驟，並回答問題。 作法： (1)過A點任意作一直線L。 D (2)在L上依序取P1、P2、P3三點，使得AP1＝P1P2＝P2P3。 M P1 (3)連接P3B。 P2 (4)以P2為頂點，AP2為一邊作∠AP2M＝∠AP3B，且P2M與P3B在L的同側。 P3 L (5)將直線P2M與AB的交點記為D。

  39. 相似形與比例線段 C A B D M P1 P2 P3 L 3 2 如右圖，回答下列問題： (1) AP2：P2P3＝ 2：1 (2)AD：DB與AP2：P2P3是否相等？為什麼？ 相等；根據平行線截比例線段性質 (3)連接CD，請問△ABC面積：△ADC面積的比值為多少？ ∵ 兩三角形同高 ∴ 兩三角形面積比等於其底邊的比 △ABC面積：△ADC面積＝AB：AD＝3：2 ∴比值＝

  40. 相似形與比例線段 3.下列敘述正確的打「○」錯誤的打「×」。 ( )兩個長方形一定相似。 × ∵對應邊不一定成比例 ( )與長方形相似的四邊形一定是長方形。 ○ ( )兩個六邊形的內角都對應相等時，這兩個六邊形一定相似。 × ∵對應邊不一定成比例 ( )兩個三角形的對應邊都成比例時，這兩個三角形一定相似。 ○ SSS相似性質

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