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Ingeniería de la Salud IMAGEN BIOMEDICA Matemáticas de los sistemas de imagen biomédica. 2013-14. Matemáticas subyacentes en sistemas de imagen médico. Sistemas Lineales, análisis de Fourier, análisis de ondículas, transformadas de Hadamard, Laplace y Radon, optimización.
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Ingeniería de la SaludIMAGEN BIOMEDICA Matemáticas de los sistemas de imagen biomédica 2013-14
Matemáticas subyacentes en sistemas de imagen médico Sistemas Lineales, análisis de Fourier, análisis de ondículas, transformadas de Hadamard, Laplace y Radon, optimización. Son herramientas de análisis general para todas las modalidades. Son aplicables más allá de la imagen médica. Herramientas de comprensión y diseño; Base para futuras mejoras de los sistemas; Construidos sobre el conocimiento de la teoría uno-dimensional. Communicaciones: tiempo↔frecuencia (1 dimensión) Imagen : espacio ↔ frecuencia espacial Trabajaremos en dos-dimensiones. El cuerpo humano es tres-dimensional La extensión de la teoría 2D a tres dimensiones es automática
Condiciones de linearidad f1(x,y) y f2(x,y) describen dos objetos que queremos visualizar a través de un sistema de imagen. f1(x,y) puede ser cualquier objeto y representar cualquier característica del mismo (e. g color, intensidad, temperatura, textura, absorción de rayos-X, etc. ). Supongoamos que ambos son visualizados a traves de algún sistema o aparataje de imagen. f1(x,y) → g1(x,y) f2(x,y) → g2(x,y) Escalemos cada objeto y combinémoslos para formar un nuevo objeto a f1(x,y) + b f2(x,y) ¿Cuál es la salida del algoritmo? Si es sistema es lineal, el output es a g1(x,y) + b g2(x,y)
Ejemplo en Imagen Médica: convertidor analógico-digital Si doblamos los fotones de rayos-X → doblamos aquellos transmitidos Si doblamos la dosis de medicina nuclear → doblamos la recepción Fuente de energía RM: El máximo voltaje de salida es 4 V. Ahora doblamos la cantidad de agua: El sistema convertidor de analógico a digital es no lineal después de 4mV (fuera de rango).
Sistemas lineales discretos y continuos La linearidad permite la descomposición de funciones en funciones elementales. La salida del sistema es la suma de las respuestas a esas funciones básicas. Función elemental: la función de impulso unidad 2-dimensional δ(x,y) δ(x,y) tiene una anchura infinitesimal y una amplitud infinita. Clave: El volumen bajo la función es 1.
Imagen continua analizada con operadores de sistema Suma= Integral Sea el operador del sistema (modalidad de la imagen) Entonces, Generalmente Sistema operando sobre el objetocompleto objetoemborronado g1 (x1,y1) Porlinearidad, podemosconsiderar el output como la suma de lassalidas de todaslasfunciones de impulsounidad con peso.
Respuesta del sistema continuo a una función delta 2D Salida en el punto (x2 , y2) depende de la localización de la entrada (ε,η). Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos finalmente la integral de superposición La imagen resultado del sistema de imagen es no-local, es decir, cada punto de la imagen original cuenta en la salida
Ejemplo en imagen médica Consideremos un estudio nuclear para un hígado con un tumor en el punto x1= ε, y1= η La radiación se detecta en el plano de detección Para obtener un resultado general, necesitamos conocer todas las combinaciones h(x2, y2; ε,η ) Por “resultado general”, entendemos aquel que puede calcular la imagen I(x2, y2) para cualquier fuente de entrada S(x1, y1)
Invariancia en el tiempo y en el espacio Un sistema es invariante en el tiempo si su salida depende sólo del tiempo relativo de la entrada y no del tiempo absoluto. Si f(t) → g(t), entonces f(t – to) → g(t – to) retraso entrada retraso salida Un sistema es invariante en el espacio si su salida depende sólo de la posición relativa de la entrada pero no de su posición absoluta. Si el sistema es invariante en el espacio, h(x2, y2; ε,η ) = h(x2-ε , y2-η) y la integral de superposición se convierte en la función de convolución 2D: Notación:g = f*h Nota: la convolución es conmutativa f*h= h*f
Tipos de operaciones de imagen • OPERACIONES PUNTUALES. El valor de salida en una coordenada específica depende sólo del valor de entrada en la misma coordenada. • OPERACIONES LOCALES. El valor de salida en una coordenada específica depende de los valores de entrada de un conjunto de pixeles vecinos de dicha coordenada. • OPERACIONES GLOBALES. El valor de salida en una coordenada específica depende de todos los valores de la imagen original.
Tipos de operaciones de imagen (segunda clasificación) Diferenciar: • Operaciones matriciales(algebra matricial). • Operaciones de array, que se realizan pixel a pixel. En general consideramos operaciones de array: producto de array de dos imagenes (arrays 2-D o matrices), suma de arrayde dos imagenes, potencia de una imagen, etc.
Transformada de Fourier 1D La convolución es conmutatitva. f*g = g * f Convolución en el dominio espacial = Producto en el dominio de la frecuencia
Transformada discreta de Fourier 1D Ilustración gráfica de la transformada de Fourier discreta
Transformada continua de Fourier 2D Original image log(amplitud) Fase
MUESTREO Muestreo Fourier 2D RECONSTRUCCION La información de magnitud sola ni la información de fase sola son suficientes para recuperar la imagen. Información de fase con magnitud constante Información de magnitud con fase igual a cero
