ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones

1. LEY DE HOOKE ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensión (s) y la deformación unitaria (e) producidas. Representando gráficamente se obtiene el siguiente diagrama. Ensayo de tracción. Ley de Hooke. E: Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young Cte. Para cada material En el Acero: E = 2,1 · 106 kp/cm2 Particularizada para las direcciones x, y, z

2. Siempre se cumple que: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Criterio de signos: Alargamientos + Acortamientos- Deformaciones transversales. Coeficiente de Poisson Cuando a un sólido le aplicamos una carga en una dirección, se producen deformaciones no solo en esa dirección, sino también en dirección transversal pero de signo contrario. Ambas deformaciones están relacionadas por una constante denominada Coeficiente de Poisson (m) Si por ejemplo la carga está aplicada en la dirección del eje x, la deformación principal será ex. Las deformaciones transversales se expresan:

3. (G= cte.) En la zona lineal se cumple: Los parámetros E, G y m definen las características mecánicas del material. No son independientes están relacionados por: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Sometemos a un estado de cortadura pura una zona rectangular de un material determinado. Medimos las tensiones cortantes (t) y las deformaciones angulares (g) que se producen, y las representamos gráficamente. Deformaciones angulares. Coeficiente de elasticidad transversal (G) G = Coeficiente de elasticidad transversal. (Acero G=8,44·105 kp/cm2)

4. ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Debido a que la ley que relaciona tensiones con deformaciones es una ley lineal, se cumple el principio de superposición cuando estamos en régimen elástico. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El estado tensional de un sólido, debido a varias acciones exteriores que actúan sobre él, es igual a la suma lineal de los estados tensionales que producen cada una de las acciones actuando por separado e independientemente del orden en que actúen. Principios de: SUPERPOSICIÓN y de RIGIDEZ RELATIVA Este principio no se verifica si las deformaciones producidas por un sistema de cargas hacen que, otro sistema, actuase de forma diferente que si lo hace solo . Por tanto es necesario complementarlo con el de Rigidez Relativa que dice: PRINCIPIO DE RIGIDEZ RELATIVA Las deformaciones provocadas en los sólidos por las cargas exteriores son lo suficientemente pequeñas para que no modifiquen la forma de actuar de las cargas, y estas siguen produciendo los mismos efectos que antes de la deformación.

5. Estado MONOAXIAL de tensiones Estado TRIAXIAL de tensiones Leyes de Hooke Generalizadas ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Deformaciones lineales en el estado monoaxial de tensiones: Las tres tensiones NO actúan simultáneamente Leyes de HOOKE GENERALIZADAS Teniendo en cuenta que las deformaciones producidas por las tensiones cortantes no afectan a las deformaciones provocadas por las tensiones normales, y aplicando el principio de superposición se demuestra que:

6. Ecuaciones de LAMÉ Donde es: Dilatación volumétrica unitaria: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Las leyes de Hooke dan explícitamente las deformaciones en función de las tensiones. Al ser seis ecuaciones y seis las tensiones independientes se pueden expresar explícitamente las tensiones en función de las deformaciones. Se obtiene: Ecuaciones de LAMÉ Las leyes de Hooke y las ecuaciones de Lamé, son las mismas ecuaciones pero escritas de forma diferente.

7. Cuando un sólido sufre variaciones térmicas ( DT ) se producen deformaciones que son uniformes si las variaciones de temperatura lo son. Si se considera una longitud “L” en una dirección cualquiera, la deformación ( DL )está dada por: Deformación unitaria: Matriz de deformaciones: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Deformaciones y tensiones de origen térmico I a = Coeficiente de dilatación. Cte. que solo depende del material (Acero: a = 0,117·10-4 (ºC-1) Las variaciones de temperatura no originan tensiones a no ser que se impidan las deformaciones producidas por ellas. Si se impide totalmente la deformación en una dirección, cuando la variación de temperatura es positiva (calentamiento), se tiene:

8. ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Las leyes de Hooke y las ecuaciones de Lamé,utilizando el principio de superposición, se escribirán ahora: Leyes de Hooke Deformaciones y tensiones de origen térmico II Ecuaciones de Lamé Si las deformaciones no están impedidas, total o parcialmente, las tensiones son nulas.

9. De donde se obtiene: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones En la práctica es frecuente el caso en el que todos los planos paralelos a uno dado (Plano Director), tienen el mismo estado tensional. Basta con estudiar lo que ocurre en un plano. Se denominan ESTADOS PLANOS. Estados planos. Definición Estado de deformación plana Nada en deformaciones depende de la coordenada “z” Estado tensional plano Nada en tensiones depende de la coordenada “z” De estas condiciones se tiene:

10. Siendo: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Estado tensional plano Estado de deformación plana Estados planos. Matrices de tensiones y deformaciones.

11. ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Utilizando la matriz de tensiones, tenemos: Estados planos. Tensiones y direcciones principales. La dirección “z” es una dirección principal (III), las otras dos están contenidas en el plano “xy” y se determinan por el procedimiento general.

12. ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Nuevo criterio de signos para tensiones cortantes: Positivas cuando el vector momento asociado tiene la dirección contraria al eje “z” negativas en caso contrario. Una de las direcciones principales es el eje “z” (sea la III) las otras dos están en el plano “xy” y sus planos asociados pertenecen al haz III, estarán representados en el circulo C3. Estados planos. Tensiones y direcciones principales mediante los círculos de Mohr.

13. Teniendo en cuenta que: Se obtiene: ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones Estados planos. Tensiones y direcciones principales mediante los círculos de Mohr. Los círculos de Mohr permiten además calcular la orientación de las tensiones principales respecto a los ejes utilizando la regla del ángulo doble . En la figura se comprueba que la tensión principal s1 forma con el eje x un ángulo mitad del dado por: Al ser s1 y s2 perpendiculares, s2 formará con el eje x un ángulo de: 90 –q1

14. En la referencia principal, en la que: Las expresiones anteriores se transforman en: Siendo ahora 2q el ángulo de la normal del plano con la dirección principal I. ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones En estados planos el plano “xy” es el director. Se puede demostrar que para un plano “p” perpendicular al director, las componentes intrínsecas de su vector tensión asociado están dadas por: Estados planos. Componentes intrínsecas para un plano perpendicular al director.